发布时间：2023-03-07 15:04:09
序言：写作是分享个人见解和探索未知领域的桥梁，我们为您精选了8篇的数学课程标准样本，期待这些样本能够为您提供丰富的参考和启发，请尽情阅读。
一、“基本理念与设计思路”变了
1.对数学的意义、数学教育的作用等的表述变了。
重新阐述了数学的意义与性质，进一步明确了数学教育的作用和义务教育阶段数学课程的特征。
《标准（修改稿）》指出：“数学是研究数量关系和空间形式的科学。数学与人类发展和社会进步息息相关，特别是随着现代信息技术的飞速发展，数学更加广泛应用于社会生产和日常生活的各个方面。数学作为对于客观现象抽象概括而逐渐形成的科学语言与工具，不仅是自然科学和技术科学的基础，而且在人文科学与社会科学中发挥着越来越大的作用。”
义务教育阶段的数学课程是培养公民素质的基础课程，具有基础性、普及性和发展性。数学的抽象性、严谨性和应用广泛性，决定了数学课程在义务教育阶段的独特作用。
义务教育的数学课程是学生未来生活、工作和学习的重要基础。数学课程有助于学生掌握必备的基础知识和基本技能；有助于培养学生的抽象思维和推理能力；有助于培养学生的创新意识和实践能力；有助于学生在情感、态度与价值观等方面得到发展。
2.“基本理念”变了。
《标准》提出的基本理念总体上反映了基础教育改革的方向，因此，这次修改基本保持了《标准》的结构，对某些表述进行了修改。
实验稿的“三句话”：人人学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。
修改稿变为了“两句话”：人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展。
实验稿：数学课程――数学――数学学习――数学教学――评价――信息技术。
修改稿：数学课程――课程内容――教学活动――学习评价――信息技术。
将实验稿的“数学学习”和“数学教学”两条合并成一条“教学活动”，整体上阐述数学教学活动的特征，并就数学教学、学生学习、教师教学进行了进一步阐述。《标准（修改稿）》指出：“教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的数学教学活动是学生学与教师教的统一，学生是数学学习的主体，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。”
3.“设计思路”变了。
《标准》中设计思路表述得不够清晰，《标准（修改稿）》对设计思路做了较大的修改，主要体现在课程内容中。
对“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”、“综合与实践”四个方面的课程内容做了明确的阐述。将“空间与图形”改为“图形与几何”、“实践与综合应用”改为“综合与实践”。确立了“数感”、“符号意识”、“运算能力”、“模型思想”、“空间观念”、“几何直观”、“推理能力”、“数据分析观念”等八个义务教育阶段数学教育的关键词。
二、“课程目标”变了
对课程目标进行了完善，在具体表述上变了，更加凸显了课程改革倡导的使学生经历数学学习过程、学会数学思考等。
1.将“双基”改为“四基”。
实验稿：“双基”即基础知识、基本技能。
修改稿：改为“四基”，即基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验。
将“双基”改为“四基”，对数学教师提出了更高的要求，要求数学教师必须为儿童的学习和个人发展提供最基本的数学基础、数学准备和发展方向，促进儿童的健康成长，使人人获得良好的数学素养，不同的人在数学上得到不同的发展。
2.提出了发现和提出问题的能力。
修改稿提出了培养学生发现问题、提出问题、分析问题和解决问题的能力。在实验稿分析和解决问题能力的基础上，进一步提出培养学生发现和提出问题的能力。突出了“培养学生创新精神和实践能力”的改革方向和目标价值取向。
3.完善了一些具体目标的描述。
目标具体从“知识技能”“数学思考”“问题解决”“情感态度”四个方面阐述。
如对于学习习惯，明确指出使学生养成“认真勤奋、独立思考、合作交流、反思质疑等学习习惯”。
对于分段目标的表述，尽量使用了《标准（修改稿）》规定使用的课程目标的术语。
三、“内容标准”变了
在小学两个学段中，对“数与代数”、“图形与几何”、“统计与概率”和“综合与实践”四个方面的内容及要求进行了适当的调整，各领域知识点的数量有增有减，但整体数量上没有明显变化。
（一）数与代数
第一学段（1~3年级）
1.增加的内容。
①“在现实情境中理解万以内数的意义”。
②“知道用算盘可以表示数”。
③“能结合具体情境比较两个一位小数的大小，能比较两个同分母分数的大小。”
④“能口算一位数乘除两位数”。
⑤“能进行简单的整数四则混合运算（两步）”。
2.使一些目标的表述更加准确和完整。
①“结合现实素材感受大数的意义”改为“在生活情境中感受大数的意义”。
②“能结合具体情境进行估算，并解释估算过程”改为“能结合具体情境，选择适当的单位进行简单的估算，体会估算在生活中的作用”。
③“能灵活运用不同的方法解决生活中的简单问题，并能对结果的合理性进行判断”改为“能运用数及数的运算解决生活的简单问题，并能对结果的实际意义做出解释”。
④“发现给定的事物中隐含的简单规律”改为“探索简单情境下的变化规律”。
第二学段（4~6年级）
1.增加的内容。
①“经历与他人交流各自算法的过程，并能表达自己的想法”。
②“了解公倍数和最小公倍数；了解公因数和最大公因数”。
③“在具体情境中，了解常见的数量关系：总价=单价×数量、路程=速度×时间，并能解决简单的实际问题”。
④“结合简单的实际情境，了解等量关系，并能用字母表示”。
⑤“结合现实情境感受大数的意义，并能进行估计”。
⑥在了解运算定律后增加“加法的交换律和结合律、乘法的交换律和结合律、乘法分配律”。
⑦“认识中括号”。
⑧“了解自然数”。
2.删除的内容。
①“会口算百以内一位数乘、除两位数。”
②“比较百分数的大小。”
③“能借助计算器进行较复杂的运算”中删去了“较复杂的”。
④“能根据给出的有正比例关系的数据在有坐标系的方格纸上画图”中删去了“有坐标系的”。
3.使一些目标的表述更加准确和完整。
①将“理解等式的性质”改为“了解等式的性质”。
②将“会用等式的性质解简单的方程（如3x+2＝5，2x-x＝3）”改为“能解简单的方程（如3x+2＝5，2x-x＝3）”。
③将“会用方程表示简单情境中的等量关系”改为“能用方程表示简单情境中的等量关系，了解方程的作用”。
（二）图形与几何
第一学段（1~3年级）
1.删除的内容。
①“能在方格纸上画出一个简单图形沿水平方向、竖直方向平移后的图形”。（将相关要求放在第二学段）
②“能在方格纸上画出简单图形的轴对称图形”。（将相关要求放在第二学段）
③“会看简单的路线图”。（将相关要求放在第二学段）
④“体会并认识千米、公顷”。（将相关要求放在第二学段）
2.降低要求。
对于“东北、西北、东南、西南”四个方向，不要求给定一个方向辨认其余方向，降低要求为“知道这些方向”。
3.使一些目标的表述更加准确和完整。
①将“通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等立体图形”中的“立体图形”改为“几何体”。
②“辨认从正面、侧面、上面观察到的简单物体的形状”改为“能根据具体事物、照片或直观图辨认从不同角度观察到的简单物体的形状”。
③将“通过观察、操作，能用自己的语言描述长方形、正方形的特征”改为“通过观察、操作，初步认识长方形、正方形的特征”。
④将“体会千米、米、厘米的含义”改为“体会并认识长度单位千米、米、厘米”。
⑤将“指出并能测量具体图形的周长”改为“结合实例认识周长，并能测量简单图形的周长”。
⑥将“能估计给定的长方形、正方形的面积”改为“能估计给定简单图形的面积”。
⑦将“结合实例，感知对称现象”改为“结合实例，感知轴对称现象”。
第二学段（4~6年级）
1.增加的内容。
①“会绘制并描述简单的路线图”。
②“能在方格纸上用数对来表示位置，知道数对（限于整数）与方格纸上点的对应。在具体情境中，体验利用方格纸确定数对位置的过程”。
③“知道扇形”。
④“认识面积单位：千米2、公顷”。
⑤“能在方格纸上补全一个图形的轴对称图形”。
2.删除的内容。
①“了解两点确定一条直线和两条相交直线确定一个点。”
②“体会图形的相似”。
3.使一些目标的表述更加准确和完整。
①将“能区分直线、线段和射线”改为“结合实例了解线段、射线和直线”。
②将“能辨认从不同方位看到的物体的形状和相对位置”改为“能辨认从不同方向（前面、侧面、上面）看到的物体的形状图”。
③将“探索并掌握圆的周长公式”改为“通过操作，了解圆的周长与直径的比为定值，掌握圆的周长公式”。
④将“用折纸等方法确定轴对称图形的对称轴，能在方格纸上画出一个图形的轴对称图形”改为“进一步认识轴对称图形及其对称轴，能在方格纸上画出轴对称图形的对称轴；能在方格纸上补全一个简单的轴对称图形”。
⑤将“通过观察实例，认识图形的平移与旋转，能在方格纸上将简单图形平移或旋转90”改为“通过观察实例，在方格纸上认识图形的平移与旋转，能在方格纸上按水平或垂直方向将简单图形平移，能在方格纸上将简单图形旋转90”。
⑥将“欣赏生活中的图案，灵活运用平移、对称和旋转在方格纸上设计图案”改为“能从平移、旋转和轴对称的角度欣赏生活中的图案，运用它们在方格纸上设计简单的图案”。
⑦将“能根据方向和距离确定物体的位置”改为“能根据物体相对于参照点的方向和距离确定其它位置”。
⑧将“在具体情境中，能用数对来表示位置，并能在方格纸上用数对确定位置”改为“能在方格纸上用数对表示位置，知道数对（限于正整数）与方格纸上点的对应；在具体情境中，体验利用方格纸确定数对的位置的过程”。
（三）统计与概率
1.内容结构变化。
《标准（修改稿）》对统计与概率内容结构做了较大调整，使每个学段内容学习的层次性方面更加明确。强调培养数据分析观念，与学生的现实生活联系得更加紧密。
2.具体内容变化。
第一学段（1~3年级）
（1）删除的内容。
①“通过实例，认识统计表和象形统计图、条形统计图（1格代表1个单位），并完成相应的图表。”
②“通过丰富的实例，了解平均数的意义，会求简单数据的平均数（结果为整数）。”（相关要求放在了第二学段）
③“知道可以从报纸、杂志、电视等媒体中获取数据信息。”
④不确定现象的所有具体目标。（相关要求放在了第二学段）
（2）使一些目标的表述更加准确和完整。
①能根据给定的标准或者自己选定的标准，对事物或数据进行分类，感受分类与分类标准的关系。
②经历简单的数据收集和整理过程，了解调查、测量等收集数据的简单方法，并运用自己的方式（文字、图画、表格等）呈现整理数据的结果。
③通过对数据的简单分析，体会运用数据进行表达与交流的作用，感受数据蕴涵的信息。
第二学段（4~6年级）
（1）增加的内容。
①“能选择适当的方法（如调查、试验、测量）收集数据。”
②“能体会平均数的意义，能计算平均数，能用自己的语言解释其实际意义。”
（2）降低的要求。
“可能性”部分只要求学生体会随机现象，并能对随机现象发生的可能性大小做定性描述，定量描述放入第三学段。
（3）删除的内容。
①与中位数、众数有关的内容。（相关要求放在了第三学段）
②“能设计统计活动，检验某些预测。”
③“初步体会数据可能产生的误导”。
④可能性部分，“能设计一个方案，符合指定的要求”。
统计内容主要变化：加强体会数据的随机性。原来学生主要是依靠概率来体会随机思想的，现在希望通过数据分析使学生体会随机思想。
第一学段与《标准》相比，最大的变化是鼓励学生运用自己的方式（包括文字、图画、表格等）呈现整理数据的结果，不要求学生学习“正规”的统计图（一格代表一个单位的条形统计图）以及平均数（这些内容放在了第二学段）。
第二学段与《标准》相比，在统计量方面，只要求学生体会平均数的意义，不要求学生学习中位数、众数（这些内容放在了第三学段）。
概率内容主要变化：
第一学段、第二学段的要求降低。在第一学段，去掉了《标准》对此内容的要求。第二学段，只要求学生体会随机现象，并能对随机现象发生的可能性大小做定性描述。明确指出所涉及的随机现象都基于简单随机事件：所有可能发生的结果是有限的、每个结果发生的可能性是相同的。
（四）综合与实践
根据课程改革实验积累的经验和进一步的研究，这部分内容做了较大修改。
1.明确了“综合与实践”的内涵和要求。
《标准（修改稿）》指出：“综合与实践”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动。“综合与实践”的教学目标是帮助学生积累数学活动经验，培养学生应用意识和创新意识。教学中应强调问题情境与学生所学的知识和生活经验相结合，鼓励学生独立思考、合作交流，自主设计解决问题的思路。经历发现和提出问题、分析和解决问题的全过程，感悟数学与生活实际、数学与其他学科、数学各部分内容之间的联系，加深对所学数学内容的理解。
“综合与实践”的教学活动应当保证每学期至少一次，可以在课堂上完成，也可以课内外相结合。
新修订的《小学数学课程标准》提出：义务教育阶段的数学课程要面向全体学生，适应学生个性发展的需要。课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验、思考与探索。有效的数学教学活动是学生学与教师教的统一，学生是数学学习的主体，教师是数学学习的组织者、引导者与合作者。数学教学活动应激发学生兴趣，调动学生积极性，引发学生的数学思考，鼓励学生的创造性思维；要注重培养学生良好的数学学习习惯，掌握有效的数学学习方法。学生学习应当是一个生动活泼的、主动的和富有个性的过程。教师教学应该以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，注重启发式和因材施教。教师要发挥主导作用，处理好讲授与学生自主学习的关系，通过有效的措施，引导学生独立思考、主动探索、合作交流，使学生理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法，得到必要的数学思维训练，获得基本的数学活动经验。
作为教师，理所应该认真学习新修订的《课程标准》内容，领悟《课程标准》精髓，并能清楚知道《课程标准》修订前后的明显变化，然后用《标准》要求来指导和规范自己的教学，从而促使自己的教学更富有实效。而作为一名一线教学的数学教师，我细心研读了新修订的《小学数学课程标准》，学习后感触最深的是新修订的《小学数学课程标准》在具体内容和表述方式进行了必要的修改，总体说难度降低的成分较多，更利于教师的教学。
2007年9月，我从教以来第一次教学一年级，且是改编后的新教材。而今，这个一年级已经结束小学课程的学习。六年来的教学中，我不断转变教学观念，不断改进自身的教学方法，不断提高自己的教学技能，接受新课程理念的洗礼，但教学中仍然有许多的疑难困惑，仍然遇到许多的教学难题，在与同仁的不断探讨学习中仍有一些教学难点无法突破。而今，《小学数学课程标准》的修订使我教学中的一些疑难困惑迎刃而解，以下是个人的粗浅看法。
1 "图形与几何"部分是学生学习的难点。
六年教学中，我教学最吃力的内容是二年级四册的"平移和旋转"。在教学中，学生能结合自己的生活经验，理解生活中的各种平移和旋转现象，并做出准确的判断。但在方格纸上画出简单图形沿水平方向、垂直方向平移后的图形，对于很多孩子来说，还是很难。（数学二年级下册练习十）即使作为教师，我手把手的、一个一个地对孩子辅导，花费了大量的课余时间，但仍然有少部分孩子在实际个人独立作业中存在很大的问题，真正让我感觉到了什么是教学上的举步维艰。
其次，画对称轴也是学生的一大难点。作为二年级上册的学生，他们通过折一折的活动，能理解长方形有两条对称轴、圆有无数条对称轴，也能找出正方形有四条对称轴……对他们来说，难在如何准确地在这些平面图形上把对称轴画出来。（数学二年级上册练习十五第2题）二年级上册的学生还未学法中的平均分，要找到长方形、正方形这些平面图形边长的中点（图形的边长通常情况下都不是整厘米数）实在是太难，更何况圆的圆心在没有标出的情况下，学生如何能将圆的对称轴准确画出？现在好了，《小学数学课程标准》将实验稿中第一学段将"能在方格纸上画出简单图形沿水平方向、垂直方向平移后的图形"内容的教学放在了第二学段，将"能在方格纸上画出简单图形的轴对称图形"也放在了第二学段，使我过往的教学难点都烟消云散。当有机会再次教学这些内容时，我相信自己将更能把握住教材要求，让学生把这些所学的知识掌握的更好，更能运用到生活中去。
2 "统计与概率"部分。
新课程的一个最大的特点是统计知识贯穿整个小学六年的数学课程，从一年级一册开始，便向学生渗透统计思想；从二册开始，学生开始接触简单的条形统计图，一直到六年级学习扇形统计图。其中新增添的许多知识是我们当老师的在学生时代都没有接触过的内容，比如说中位数、众数。在教学众数这部分内容之前，我认真钻研教材，学习教师用书，结合内江市教科所的培训资料，认真学习众数这部分知识。众数这个概念容易理解，学生也能在一组数据中很快找出其中的众数，关键是在统计这部分知识中我们已经学习了平均数、中位数、众数三个统计量。出示一组数据，算出平均数、中位数、众数三个统计量，思考用哪个统计量能代表这组数据的一般水平，为什么，这才是教学难点。案例：五年级下册 练十四2.1 第5题。某公司全体员工工资情况如下表。
（1） 这组数据的平均数、中位数和众数各是多少？
（2） 你认为哪个数据代表这个公司员工工资的一般水平比较合适？
像此类题目，学生容易找出这组数据的平均数、中位数和众数，也能理解在这里应该用众数2000代表这个公司员工工资的一般水平比较合适，因为普通职员占整个公司人数的80%，适合小学阶段学生的理解能力。
2.2 第2题。一个射击队要从两名运动员中选拔一名参加比赛。在选拔赛上两人各打了10发子弹，成绩如下：
甲：9.5 10 9.3 9.5 9.6 9.5 9.4 9.5 9.2 9.5
乙：10 9 10 8.3 9.8 9.5 10 9.8 8.7 9.9
（1） 甲、乙成绩的平均数、众数分别是多少？
（2） 你认为谁去参加比赛更合适？为什么？
在教学中，学生很快就完成了习题第一小问，答案是：甲成绩的平均数是9.5环，众数是9.5；乙成绩的平均数是9.5环，众数是10。但在习题第二小问上，学生的意见就不一致了：大部分同学认为应该让甲去参加比赛，理由是甲、乙成绩的平均数都是9.5环，但甲发挥更稳定，成绩中没有低于9环的，说明甲的心理素质更好，参加比赛更合适；另一部分同学则认为应该让乙去参加比赛，理由是甲、乙成绩的平均数都是9.5环，总成绩相等，但乙成绩的众数是10，说明乙的射击水平更高，虽有一些小小的失误，但总体成绩不比甲差。两种观点，不能说不对；两个运动员，派谁参加比赛，运动员都有各自的优势。而比赛本身就存在各种影响因素，到底该让谁参加比赛，作为教师，我也很困惑……教材培训曾对此部分内容做过专门培训：当一组数据中平均数、众数相等时，用众数代表这组数据的一般水平，那么能代表甲射击水平的应该是众数9.5；当一组数据中平均数、众数不同，但相差不大时则选择众数，相差大时则选择平均数，乙成绩的平均数与众数相差0.5，这算相差大还是小呢？到底哪个数据才能代表乙的射击水平呢，我很困惑……
现在好了，《小学数学课程标准》第二学段与《实验稿》相比，在统计量方面，只要求学生体会平均数的意义，不要求学生学习中位数、众数（这些内容放在了第三学段）。这样的变化就解决了我们一线数学教师教学的疑难困惑。我想，课程标准这样要求，原因一是平均数是一个非常重要的刻画数据平均水平的统计量，需要学生重点体会，而学生从理解上更容易；二是考虑到学生的特征，其他刻画数据平均水平的统计量不宜集中学习，以免学生在知识的理解上发生混淆。
3 《小学数学课程标准》提出：课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验、思考与探索。
但在实际教学中，我发现在第一学段的教学内容越是接近学生生活实际，学生越是学的吃力，例如一年级下册的认识时间、认识人民币，三年级的认识时、分、秒，学习24时计时法，学习年、月、日。 《小学数学课程标准》对这些有关量的知识，提出了以下要求： （1） 在现实情境中，认识元、角、分，并了解它们之间的关系。 （2） 能认识钟表，了解24时记时法；结合自己的生活经验，体验时间的长短。 （3） 认识年、月、日，了解它们之间的关系。 （4） 结合生活实际，解决与常见的量有关的简单问题。教学难点就在于要求的第四点：结合生活实际，解决与常见的量有关的简单问题。
3.1 教学"认识人民币"时，学生认识了元、角、分，并了解它们之间的关系，但在解决问题时，问题颇多。
如：在教材第二册第54页第6题、第55页的第11题，这些题目看似简单，但解决问题的过程中，要运用100以内的加减法的计算，而100以内的加法和减法，是下个单元的内容。再加上一年级的孩子识字量不大，做题跟生活中真正用钱买东西时付钱、找钱有区别，真是生活有用教学难呀！
3.2 一年级下册"认识时间"。
此单元要求学生在认识半时、整时的基础上，认识几时几分。由于学生还没有学习5的乘法口诀，所以要求学生根据时钟分针的指向准确说出几分成了这部分内容的教学难点。
3.3 三年级的认识时、分、秒，学习24时计时法，学习年、月、日，这些知识与学生生活紧密相连，学生学习起来是知道但却不会用，运用非常吃力。
胡家镇中心学校 陈恩学
随着基础教育课程改革不断深入,越来越多的人关注新课程,并且深入了解新课程,参与新课程的改革与实践。数学课程标准作为本次基础教育课程的重要组成部分，同样受到普遍的关注。教学课程标准的出了一系列适应时展的理念，在目标体系、内容结构、教学方式与评价方法等方面都有很大的变化。对这些变化如何理解与认识，并且如何将新的理念与目标付诸实践，是关系到课程改革能否成功的重要一环。标准的公布只是课程改革的第一步，正确地理解课程标准的理解与方法，创造性地将新的理解与方法体现在教学过程中，是新课程是否具有生命力的关键所在。从这个意义上说，我作为一位课改一线教师在课程标准、实践过程中，有了自己的一点认识和看法。
1、更加注重学生的学习情感。《大纲》注重知识传授，看重的是“基础与基本技能”和“数学知识的抽象性、严密性、逻辑性，”而新课程标准中强调的是“数学思考、解决问题、情感与态度的发展离不开知识与技能的学习，同时，知识与技能的学习必须以有利于其他目标的实现为前提。”可见，新课程标准强调形成积极主动的学习态度，使获得基础知识与基本技能的过程成为学会学习和形成正确价值观的过程。让学生把数学学习作为一种乐趣、一种享受、一种数学奇境的探索和渴望。
2、更加密切联系实际。所谓“学以致用”，数学来源于生活，必然应当服务于生活。过于注重书本知识会使数学脱离生活，变得枯燥乏味，从而影响到学生的学习热情。新课程标准中对这一方面也做了强调，例如：倡导引进大量的现代信息技术，让学生学习符合时代特点的数学，大力开发并向学生提供更为丰富的学习资源，把现代信息技术作为学生学习数学和解决问题的强有力工具，如：计算器、计算机的引入。从一年级的教学目标来看，新课程标准增加了估算能力的训练，比如出示一些草莓，让学生猜大约有多少？再实际数一数，这样的估算练习让学生体验了数学是可以用到生活中的知识，从而激发学生的学习兴趣，同时积累经验，形成终身学习必备的基础知识和技能。
3、倡导让学生体验知识的形成过程。《大纲》更多是要求学生通过老师的讲解获取知识，掌握技能，学生大多通过死记硬背等机械的方法进行学习。新课程标准倡导学生主动参与，乐于探究，勤于动手，经历将一些实际问题抽象为数与代数问题的过程；经历提出问题、收集和处理数据、作出决策和预测的过程。在经历、体验中培养学生搜集和处理信息的能力、获取新知识的能力、分析和解决问题的能力，以及交流合作的能力。
4、评价的革新。《大纲》中只涉及基础知识和基本技能的考查与评定，与之比较，新课程标准的评价要求就更能全面地反映学生的发展情况。新的评价体系既关注学生对知识与技能的理解和掌握，更关注他们在学习过程中的变化和发展。这样的评价真正发挥了评价对学生发展的促进作用。
总之，新课程标准中的革新，真正体现了学生本位，使人人都学有价值的数学，人人都能获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展。
对小学数学第一册教材的认识
㈠初步认识教材
1、新教材注重问题的探索性，题材丰富多彩，信息呈现多样并且有可选择性，解决问题的策略多样化，答案不唯一等。所有的这一些都是为了培养学生自主地进行探索性学习，发展他们的创新意识和实践能力。
2、教材内容的呈现注意体现儿童的已有经验和兴趣特点，提供丰富的与儿童生活背景有关的素材。例题、习题的形式多样，所选素材尽量符合实际。图文并茂，版式多样，风格活泼，色彩明丽，能吸引学生阅读，激发学生学习兴趣。
3、教材与以往一开始就学习数字的老教材不同，在教材的一开始讲授“数一数”“比一比”、“分一分”、“认位置”这样的内容，这种编排更注重从实际出发，具有较强的实效性。在教学中，教师可以引导学生进行自主的学习活动，在积极思考与合作交流中获得知识，培养能力，积累学习方法。
4、新教材改变了过去强调接受学习、死记硬背、机械训练的现状，倡导学生主动参与，乐于探讨，积极动手，培养学生收集和获取新知的能力和交流合作的能力。
5、计单元的出现，充分体现了课程改革的新理念。通过教师的引导，可以提高学生的观察力和解决实际问题的能力，从而使数学学习与生活实际相联系，增强数学学习的趣味性。
㈡就“给学生一碗水，教师自己要有一桶水”的讨论
观点一：放手让学生自己“找水”。在教学中善于引导学生发现问题，探索问题，在学生遇到问题时，教师可以加以适当引导，在教学中，教师要进行角爱莫能助转换，让学生在教学中发挥自己的创新能力。
观点二：教学中教师要注重培养学生的自学能力。让学生能学会主动学习，为学会其它知识打下好的基础。其实，我们教育的最终目的是让学生掌握学习的方法，也就是说学生要学会自己找水喝，这就要求教师首先要转变观念，找出合适的教学方法。
观点三、要给学生一碗水，教师必须成为一条流动的小河。如今的衬会，信息高速发展，外界事物对学生的诱惑力太大，教师单凭一本书是无法满足学生的求知欲的，必须首先给自己充电，丰富知识，提高内涵，让自己的知识犹如一条流动的小河，而并非一潭死水，只有这样，才能满足学生的需要。从另一个角度来看，学生接触面广了，获取知识的途径也多了，有时候，老师也有解决不了的问题，那么遇到这种情况，我们认为教师就应该教给学生自主地进行探究性学习，发现问题，解决问题，教师可以和学生一起学习。
观点四：教师知识不能单一，要有综合性知识。如果单纯要求教师学历，势必影响知识多样性。如果一味向学生硬灌，学生的思维得不到发展，从单一的知识中学不到其它知识，不会融会贯通。教师的一碗水应该是多滋多味的，流之不尽，用之不完，这样才能调动学生积极性。社会各方面也应配合校和教师身上。另外，上级部门也应该多提供给教师开阔视野的机会，闭门造车是教不出合格人才的。
观点五：教学中应加强教师与学生之间，学生与学生之间的交流和互动。教师应深入到学生中间，成为孩子们的朋友，学生之间的互相学习将成为学生学习的主要方式。这样将减少学生的心理压力，同时培养学生的自学能力，做到叶圣陶先生说的：“教学，教学，就是教给学生学，主要不是把现成的知识教给学生，而是把学习的方法教给学生，学生可以受用一辈了。”
观点六：在教学中，教师应跳出固定的框框架架，努力寻找与学生在学习过程中的切入点。教师应更加关 注学生终身的发展，关注不同学生的需求，允许学生自主地学习和选择不同的学习内容，同时尊重每一学生，公平地对待每一个学生。
㈢建立正确的评价体系”讨论
观点一：教师对学生的评价是为了促进学生身心的发展和成长，应在尊重学生人格，保护其自尊心的基础上进行。要善于探究心理根源，多表扬鼓励，因势力导，要让学生愿意接受你的评价。通过教师的引导，让学生认识到错误，而不是直接批评。让学生知其然，知其所以然。
观点二：在处理问题上要冷静，找出问题的结症所在。教师必须了解学生，抓住学生特点。正象陶行知先生所说：发现学生优点，然后引导，使学生自己认识缺点。我们用此方法时，必须弄清学生的特点，以免巧成拙，让学生感觉老师纵容自己的缺点。
观点三：对学生的评价要全面，避免片面评价。要以点带面，牵动学生更大的进步。无论对于什么样的学习，不能只看一面。如学习差的，应看到他可能纪律好，让他也有受表扬的的机会，把学生的优点摆在他们面前。建立自信，学生会进步的更快。我们经抛弃陈旧观念，建立完整合理的评价体系。不仅要注重学业，而且要发现、发展学生多方面的潜能，促进学生全面发展。
观点四：教师、家长学校共同参与，统一标准。教师在其要多方获得信息，做好协调工作。教师也要注意对自己的评价多进行反思。不同的学生要有不同的标准，评价学生的教育观念应改革。
观点五：评价要注重多点式：评价不仅要关注学生的成绩，而且要发现和发展学生多方面的潜能，了解学生发展中的要求。要帮助学生认识自我，建立自信，促进学生在原有水平上的发展。要充分发挥评价的教育功能。
㈣目前存在的主要困惑
a)个别课时容量过大，学生吸收、消化是否有困难，能否全面掌握理解；
b)新教材的教学活动与学生的实践活动，在目前大班额与小班额两种现象并存的情况下，如何操作大班额的小组活动；
c)学生的基础知识，能力通过什么形评价？学生在学习时允许有差异，对这一部分学生如何评价；
一、内容结构
《标准》通盘设计义务教育阶段的数学课程，将九年划分三个学段；1 ～ 3 年级、4 ～ 6 年级、7 ～ 9 年级，明确了学生在相应学段应该达到的数学学习目标，而对内容呈现的顺序不作限定，为教材的多样化和教师创造性地教学留下了较大的空间。《标准》将“统计与概率”、“实践与综合应用”作为与“数与代数”、“空间与图形”并列的两大学习领域，分学段提出了具体目标，有利于学生对数学形成更为全面的认识。
二、课程内容
1. 加强的内容
注重使学生经历从实际背景中抽象出数学模型、探索数量关系和变化规律的过程，重视发展学生的数感符号感；重视口算，加强估算，提倡算法多样化，强调用计算器来进行复杂的运算并探索规律；重视引导学生运用所学知识和技能解决实际问题。从第一学段起，逐步丰富学生对现实空间的认识，注重引导学生从多种角度认识图形的形状、大小、变换和位置关系，发展学生的空间观念；重视通过观察、操作、推理、交流等活动，发展学生有条理的思考；注重引导学生体会证明的必要性、理解证明的基本过程，掌握演绎推理的基本格式，初步感受公理化思想。
三个学段都安排了统计与概率的内容，强调使学生经历统计的全过程，认识统计的作用；重视引导学生根据数据作出推断和预测，并进行交流；注重学生对可能性的感受和认识。
加强实践与综合应用。《标准》在第一学段设立了“实践活动”、第二学段设立了“综合应用”、第三学段设立了“课题学习”，便于教师结合不同学段学生的生活经验和知识背景，引导学生以自主探索与合作交流的方式，理解数学，发展解决问题的策略，体会数学与现实生活的联系。
重视新技术的应用。《标准》在第二学段要求所有学生应学会使用计算器处理复杂数据，并利用计算器探索规律，解决更为广泛的实际问题。同时，《标准》鼓励有条件的地区引导学生利用现代教育技术( 包括计算机) 进行学习和探索数学的活动。
2. 削弱的内容
进一步控制计算的难度和速度，第一、二学段控制整数四则混合运算的步骤( 不超过三步)，不要求学习小数与分数的四则混合计算；第三学段有理数的混合运算不超过三步。不独立设置“应用题”单元，取消对应用题的人为分类。
删除根式的运算、无理方程、可化为一元二次方程的分式方程和二元二次方程组、三元一次方程组。
“教师为主导”，“学生为主体”，这两句口号，我们喊了许多年，至今越来越多的教师提出质疑：教师和学生一个是“主导”，一个是“主体”，究竟谁更重要?到底怎么处理“主导”和“主体”的关系?其实。我们长期以来一直误解了这两句话。这里的“主导”和“主体”是不同范畴的两个不同的概念。
1 从教师和学生的关系来看，教师和学生是一个矛盾的统一体。在这对矛盾中，起主导作用的是教师。教师决定着学生学习效果的好坏，决定着课堂教学效率的高低，决定着班级风气的优劣……从这个意义上讲，教师是“主导”。教师必须增强责任意识，加强对自身教学工作的反思，要形成这样的常规思维模式：当我们的教学效果不够理想时，在任何情况下，都要在教师自己身上找原因。只有这样，才能有利于课堂教学效率的提高，有利于我们教师自身素质的发展。
2 从教学的过程来看，学生在这个运动的过程中居于“主体”地位。教师要千方百计地让学生自始至终成为主角，而不是教师的“自我表现”。从这个意义上讲。教师同样需要形成这样的常规思维模式：在任何时候，任何情况下，都要在学生身上打主意。课堂教学的各个环节都要尽量地让学生去思、去做、去发展。
二、处理好基础知识的教学
这里所讲的知识是一个扩大了的概念，它包括三种：一是概念；二是原理，即概念之间的联系；三是策略，指解决问题的方法。
在课堂教学中要展示知识的全过程。除了要搞清楚知识本身(回答：我是谁?)外，还要揭示知识的形成(回答：我从哪里来?)、知识的应用(回答：我到哪里去?)。
知识教学要力求深入浅出。要做到深入浅出，必须贯彻一个很重要的教学原则：联系旧知，联系生活。优秀教师课堂教学的真功夫就在于能用很浅近的方式揭示较深奥的内容。他们往往都能很巧妙在新旧的知识之间。在知识与生活之间架起一座贯通的桥梁。
知识是暂时的、变化的、零碎的，而情感态度、价值观却是持久的，影响学生终身的。在课堂教学中，要将知识作为一个载体。教师在引导学生求知的过程中。须有意识地培养学生学习的兴趣，激发学生自主探索的欲望。增强学生的自信心，形成正确的价值观，真正将“教学”的过程变为“育人”的过程，教书的目的在于育人。
三、加强课堂教学的综合性
加强课堂教学的综合性的过程，就是提高课堂教学效率的过程。加强课堂教学综合性的渠道主要有两条：
一是加强学科内教学内容的融合。教师要深入钻研教材，把握教材的前后联系，做好归类、合并工作，增大课堂教学的容量。
二是加强学科间教学内容的整合。教师要有意识地将不同学科的教学内容“整合”到课堂教学中去。促进学生融会贯通，有利于培养学生开阔的视野和多维的思维方式。
四、有效地向课外扩展
课堂的时间和空间是有限的，而课外学习的空间是无限的，时间是终身的。我们要树立“大教育”的观念。将课堂学习作为一个示例，积极地向课外扩展。真正做到让学生“功”形成于课外。课堂教学如何向课外扩展?我认为可从以下几方面加以考虑：
1 维护良好的学习兴趣。“兴趣是最好的老师”，教师要想方设法把学生在课堂上培养起的学习兴趣延续到课外去。并不断地用“任务驱动”的方式，使这种兴趣得以巩固和升华。如果学生在课余时间仍很迷恋这门学科的学习，那么教师的教学一定是成功的。
2 训练坚定的毅力。学习的过程并不全是轻松愉快的。学习中有困难。也有挫折。要有意识地训练学生的坚定的意志。让学生在克服困难的过程中体验成功的快乐。
3 开展研究性学习。研究性学习的显著特点是自主性、综合性、开放性。课外学习的广阔空间。灵活的时间更有利于研究性学习的开展。教师引导学生自主选题。自主展开学习过程，自主总结学习成果。这是自主探究性学习方式的具体实践，有利于培养学生的创新精神、实践能力、有利于提高学生的综合素养。
关键词：新课标；数学；学习动机；课程目标；实施建议
中图分类号：G642 文献标志码：A 文章编号：1002-2589（2013）21-0255-02
学习动机是激发个体进行学习活动、维持已引起的学习活动，并致使个体的学习活动朝向一定的学习目标的一种内部启动机制[1]。由弗罗姆的期望价值公式：激励水平高低=期望值×效价（M=E×V），我们可以通过提高学生主观感知学习成功的可能性和学习的价值来提高学生学习的动机。动机心理学家依据行为的原因出自活动任务本身或是活动任务之外的报偿把动机划分为内部动机（intrinsicmotivation）和外部动机（extrinsicmotivation）两类，而且内部动机对个体活动的激励作用是长期、持续的，而外部动机的作用往往是临时和短暂的[2]。所以，我们希望将学生的外部学习动机转化成内部学习动机；内部动机的种类有三种：对于活动本身的兴趣、完成活动的乐趣和任务对人能力的挑战。要提高学生的学习动机，必须要帮助学生建立需要，形成动机，然后利用情感，强化动机[3]，具体可从这几个方面着手：1）突出所学知识的实用性和价值性；2）提高学生的学习兴趣、好奇心和求知欲；3）提高学生学习的自主性，给予学生一定的时间和空间思考，充分尊重学生；4）重视学习过程，关注学生情感态度的发展，让学生体会到学习的乐趣；5）适当提供有挑战性的任务，让学生乐于思考、勇于质疑。本文基于学习动机理论，从前言、课程目标和实施建议三部分对《义务教育数学课程标准（2011年版）》（以下简称：《新课标》）进行解读。
一、对前言的解读
（一）在课程性质中
数学课程应让学生真正热爱数学并树立学习数学的自信心，必须彰显数学的文化价值[4]。数学是人类文化的重要组成部分，数学素养是现代社会每一个公民应该具备的基本素养[5]1。这表明要通过数学教育让每位学生都具备数学素养，而这前提是学生不讨厌数学不觉得数学是他们学习的束缚，将他们的外部动机转化成内部动机是最好不过的做法。所以，有必要在课程性质中强调数学课程要促进学生在情感、态度与价值观等方面的发展。通过关注学生学习的情感态度变化，教师应及时进行教学的适当调整。
（二）在课程基本理念中
课程内容的选择要贴近学生的实际，有利于学生体验与理解、思考与探索。课程内容的组织要重视过程，处理好过程与结果的关系[5]2。研究表明，当个体不必担心失败，当他们意识到自己所学的东西是很有意义的，或当他们在学习的过程中得到教师的支持和尊重时，自然会以很高的热情投入学习[6]16。而《新课标》正强调了数学探究的过程，让学生在不必过于担心成败的轻松氛围中学习，提高自我感觉成功的可能性，间接地提高学生的内部动机。《新课标》还要求内容要贴近学生生活，这有利于学生去体验和理解数学，领悟数学的价值，进而让学生主动地去思考与探索数学，将学习数学当作是自己生活的一部分。
认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索与合作交流同样是学习数学的重要方式。学生应当有足够的时间和空间经历观察、实验、猜测、计算、推理、验证等活动过程[5]2-3。詹姆斯・康奈尔、查理德・瑞安等人的研究表明，当教师给予学生更多自己做决定或自主地控制学习进程的机会时，学生的学习动机就会大大提高[6]16-17。《新课标》强调学生的主体地位，要求教师给予学生足够的时间和空间思考，有利于提高学生学习的自主性，从而提高学习动机。资料表明，合作性的学习活动有助于激发学生潜在的动机，因为它们直接满足学生的关联需要；同时它们也能促进学习，因为它们让学生进行知识的社会建构[7]。《新课标》突出合作学习在学习过程中的重要性，希望在学习的过程中满足学生的关联需要，也以此提高学习动机。
评价既要关注学生学习的结果，也要重视学习的过程；既要关注学生数学学习的水平，也要重视学生在数学活动中所表现出来的情感与态度，帮助学生认识自我、建立信心[5]3。学习评价是学生学习与教师教学的准绳，应体现学生在学习过程中的情感态度。关注学生的情感态度，重视学习的过程有助于提高学生的自我存在感。
（三）在课程设计思路中
数学课程目标包括结果目标和过程目标。结果目标使用“了解、理解、掌握、运用”等术语表述，过程目标使用“经历、体验、探索”等术语表述[5]4。在过程目标中使用的是“经历、体验、探索”，这都离不开学生这个主体的，可见《新课标》强调学生的主体地位和学生学习的过程体验。
“综合与实”是一类以问题为载体、以学生自主参与为主的学习活动[5]5。这就要求教师创设问题探究的情景，给学生提供挑战自我的机会，让学生在学习的过程中提高自我效能感，逐步领略到学习数学的趣味。
二、对课程目标的解读
（一）在总目标中
《新课标》与《义务教育数学课程标准（实验稿）》明显的不同在于从原来的“二基”变成“四基”，即增加了“基本思想”和“基本活动经验”。这强调了数学思想和学生体验探索数学过程的重要性，而要想培养学生的数学思维，就要学生产生学习数学的需要，主动去学，形成学习数学的动机。在数学学习过程中，体验获得成功的乐趣，锻炼克服困难的意志，建立自信心[5]9。这也强调学生在学习过程中体验快乐，建立自信心的重要作用，是养成良好学习习惯的前提。
（二）在学段目标中
在各个学段目标中的情感态度都有与总目标类似的表述，特别是在第二学段中。这就更突出了学生学习的过程、学生学习的自主性以及让学生在其中体会数学的价值。
三、对实施建议的解读
（一）在教学建议中
教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程[5]42。所以，教师要尊重学生的学习主体性，引导学生积极思考、合作探究、挖掘潜能，鼓励学生大胆创新与实践、挑战自我，在学习的过程中提高自我效能感，从而提高学习动机。“重视学生在学习活动中的主体地位”[5]43、“感悟数学思想，积累数学活动经验”[5]46。只有在教学中重视学生思考的过程，给予学生积累数学活动经验的机会，才能提高学生的数学素养。“综合与实践”是积累数学活动经验的重要载体[5]47。这一部分是学生在教师的引导下自主探索数学问题的好机会。如何使他们愿意学，喜欢学，对数学感兴趣？如何让学生体验成功的喜悦，从而增强自信心？[5]47-48这强调了学生兴趣培养的重要性，在学习过程中学生所表现出来的情感态度也是教师不可忽视的。
（二）在评价建议中
注重对学生数学学习过程的评价[5]55。过程性评价更有利于调动学生学习的积极性，促进师生之间及学生之间的交流，激发学生学习数学的热情[8]64。奥苏伯尔提出：“成就动机主要有三个方面的内驱力组成，认知内驱力、自我提高内驱力和附属内驱力。”[1]学生在不同学段会显现出不同的内驱力，所以，在儿童早期，附属内驱力突出，随着年龄的增长，认知内驱力和自我提高内驱力会增强。因此，在第一学段一般以鼓励性的语言评价为主，而到后两个学段逐渐应以鼓励为主，批评指正为辅，这样往往能取得更好的效果。如果只一味强调鼓励的一面，有时非但不能正确体现真实情况，反而容易滋生学生骄傲的情绪[8]65。体现评价主体的多元化和评价方式的多样化[5]56。资料表明，当学生知道自己所取得的成绩将会以一种适当的方式来评价时，学生的学习动机将会维持在一个很高的水平上[6]20。不同的评价群体对学生的促进作用是不同的，多方式的评价有利于学生多方面地发展自我，且多样化的评价方式更利于学生体会评价的合理性，从而让学生维持较高的学习动机。可见，多元化的评价主体与多样化的评价方式是有必要的。
因《新课标》在“教材编写建议”和“课程资源开发与利用”中同样是符合上述的分析，所以不在此做重复的解读。
综上可见，《新课标》多处强调要提高学生的学习兴趣和自主性，给予学生足够的时间和空间思考，重视学习的过程，关注学生情感态度的发展，让学生体会到学习的乐趣。从教学方式到教学内容，《新课标》都希望学生能自愿学数学、热爱数学，提高数学素养。当然，《新课标》所强调种种利于提高学生学习动机的理念还依赖于教师在实际教学中的合理运用，只有这样才能在真正意义上提高学生学习数学的动机。
参考文献：
[1]冯忠良，姚梅林.教育心理学[M].北京：人民教育出版社，2000.
[2]王振宏.学习动机的认知理论与应用[M].北京：中国社会科学出版社，2009：122，124.
[3]刘旭繁，杨守斌.试论动机理论在素质教育中的作用及应用[J].思想政治教育研究，2000，（4）：30-31.
[4]杨豫晖.义务教育课程标准（2011年版）案例式解读小学数学[M].北京：教育科学出版社，2012：8.
[5]中华人民共和国教育部.义务教育数学课程标准：2011年版[M].北京：北京师范大学出版社，2012.
[6]（美）BarbaraL.McCombs，JamesE.Pope.学习动机的激发策略：提高学生的学习兴趣[M].伍新春，等，译.北京：中国轻工业出版社，2002.
一、课程标准2011年版的主要变化
1. 对数学意义的修订
课程标准实验稿认为“数学是人们对客观规律的定性把握和定量刻画、逐步抽象概括，形成方法和理论，并进行广泛应用的过程”，课程标准2011年版对此修订为“数学是研究数量关系和空间形式的科学”，这种修订进一步明确了数学不仅仅是一个过程，而是一门科学.
2. 对数学课程的修订
将原来“人人学有价值的数学，人人获得必需的数学，不同的人在数学上得到不同的发展”改为“人人都能获得良好的数学教育，不同的人在数学上得到不同的发展”，进一步阐述了数学课程的本质.
3. 对课程目标的修订
课程标准实验稿认为课程目标是“学生获得适应社会生活和进一步发展所必需的重要数学知识（包括数学事实、数学活动经验）以及基本的数学思想方法和必要的应用技能”， 课程标准2011年版对此修订为“学生获得适应社会生活和进一步发展所必需的数学的基础知识、基本技能、基本思想、基本活动经验”. 此次修订在双基的基础上增加了基本思想和基本活动经验，是对十年改革经验的提升，更加凸显了数学对人的发展的特殊作用.
课程标准实验稿认为“学生初步学会运用数学的思维去观察、分析现实社会，去解决日常生活和其他学科学习中的问题，增强应用数学的意识”， 课程标准2011年版对此修订为“体会数学知识之间、数学与其他学科之间、数学与生活之间的联系，运用数学的思维方式进行思考，增强发现和提出问题的能力、分析和解决问题的能力”. 这种改变不仅变间接为直接，提出了能力培养目标，而且增加了“发现问题、提出问题”的能力要求，对培养学生的创新精神有了明显的提高.
4. 对课程内容结构的修订
课程标准2011年版对“数与代数”，“图形与几何”，“统计与概率”，“综合与实践”四个方面的课程内容做了明确的阐述，将“空间与图形”改为“图形与几何”、“实践与综合应用”改为“综合与实践”. “数与代数”部分内容结构没有变化. “图形与几何”第一、二学段内容结构没有变化，第三学段将原来的四个部分调整为三个部分，第三部分“图形的性质”基本上是整合了课程标准实验稿中的第一和第四部分.
“统计与概率”内容结构做了较大调整，使三个学段内容学习的层次更加分明，例如4-6学年段课程标准实验稿中的基本要求是“通过丰富的实例，理解平均数、中位数、众数的意义”，而课程标准2011年版只保留了“体会平均数的作用，能计算平均数”，并且将“计算中位数、众数、加权平均数，了解它们是数据集中趋势的描述”放在了7-年段中提出. “综合与实践”内容作了较大修改，明确了综合与实践是一类以问题为载体，以学生自主参与为主的学习活动.
课程标准2011年版根据课程内容，将课程标准实验稿的6个核心词进行了进一步梳理，明确提出了10个核心词，并给出具体描述. 增加了 “几何直观”、“运算能力”、 “模型思想”、“创新意识”和“应用意识”，并将“几何直观”和“推理能力”作为图形与几何领域的核心目标； 对“数感”、“空间观念”的内涵作了修订；将“符号感”修订为“符号意识”，强化其从感性到理性转化的重要作用与基础地位.
1 推理的意义
推理是从一个或几个已知判断中推出一个新的判断的思维形式,是人们学习和生活中经常使用的思维方式.例如,下面的三个例子就是数学中常见的推理:
例1 若两个角是对顶角,则这两个角相等.所以,如果两个角不相等,那么这两个角一定不是对顶角.
例2 因为平行四边形的对角线互相平分,而正方形是平行四边形,所以正方形的对角线互相平分.
例3 积的乘方法则的发现过程.
积的乘方法则是在学习了乘方的意义的基础上安排的,我们可以这样引导过程:
通过给定问题情境,让学生计算下面的结果:
在例1中,“若两个角是对顶角,则这两个角相等”是已知判断.根据“逆否命题相互等价”这一原理(已经知道的判断),得到“如果两个角不相等,那么这两个角一定不是对顶角”这一新的判断.从而使学生加深了对对顶角的性质的认识.
例2由“平行四边形的对角线互相平分”和“正方形是平行四边形”这样两个已知的判断,得出新的判断“正方形的对角线互相平分”,让学生知道可以利用一般原理推出特殊情况下的知识.
任何一个推理都是由前提和结论两部分所组成的,都是由一定的前提推出一定的结论的过程.所谓前提,就是推理过程中所依据的已知判断.已知判断可以是前提明确给出的,也可以是大家已经知道的判断,对于这样的判断,其前提就不用再明确“点出”来,在具体推理的过程中,我们可随时“调用”.例如,例1中的“若两个角是对顶角,则这两个角相等”就是前提明确给出的已知判断,而“逆否命题相互等价”就是一个前提没有给出,但我们可直接引用的已知判断.例3的前提是“(ab)m”
所谓结论,就是通过推理得到的新判断.推理的结论告诉我们推出的知识是什么.例如,例1中的结论是“这两个角不是对顶角”;例2的结论是“正方形的对角线互相平分”;例3的结论是“ambm”.
这三个例子反映了两种常见的推理:
演绎推理:即从已知的事实(包括定义、公理、定理等)出发,按照规定的法则(包括逻辑和运算)推出特殊结论.演绎推理用于证明结论的正确性.例1和例2属于演绎推理,演绎推理也叫论证推理,
合情推理:即从已有的事实出发,凭借经验和直觉,通过归纳和类比等方法推测某些结果.在解决问题的过程中,合情推理有助于探索解决问题的思路,发现结论.例3则属于合情推理.
我们以往的教学比较强调、重视论证推理,而对合情推理的教学与研究是不够的.要全面贯彻新课程改革的理念,培养具有创新性的人才,必须大力加强对合情推理的教学与研究.深孚众望的数学教育家波利亚曾说过:“一个认真想把数学作为他终身事业的学生必须学习论证的推理;这是他的专业也是他那门学科的特殊标志.然而为了取得真正的成就他还必须学习合情推理;这是他创造性工作所赖以进行的那种推理.”
2 推理能力的教学要求
《标准》在总体目标中指出:通过义务教育阶段的数学学习,学生“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程,发展合情推理能力和初步的演绎推理能力,能有条理地、清晰地阐述自己的观点”.这就是关于推理能力的总体要求,为帮助教师更好的理解推理能力的内涵,在教学中有针对性的培养学生的推理能力,《标准》用描述性的语言指出了推理能力在三个方面的主要表现:
2.1 能通过观察、实验、归纳、类比等获得数学猜想,并进一步寻求证据、给出证明或举出反例
大家知道,学生通过数学学习获得一个数学结论的过程是:在教师给定的情景下,经过自己的思考与探索等数学活动,首先发现这个结论,然后再利用数学的方法证明结论的正确性,即经历“合情推理――演绎推理”的过程.合情推理是从观察、实验、类比、联想、归纳、猜想入手的,其手段是类比或归纳,结果是产生一定的联想,并作出猜想,其实质便是“发现”,培养学生的合情推理能力对于培养学生的创新精神是非常必要的.正因为如此,《标准》才强调合情推理的重要性.但由于合情推理的条件与结论之间是以联想或猜想作为桥梁的,所以由合情推理得到的猜想需要证实,这就需要通过演绎推理给出严格的证明或举出反例.通过证明正确的猜想就是我们要学习的数学公式、法则或定理,用反例予以否认的猜想对于学生掌握正面的知识也是非常有益的.
上面的要求包括两部分:一是得到猜想(结论);二是证明猜想或举出反例否定猜想.教师们在数学教学中的现实是比较注意发现结论,给出证明,对于举反例往往重视不够.
前面的例3就是在计算、观察的基础上,得到猜想,并证明猜想的一个典例.它的第(3)步实际上就是代数证明过程.
例4 通过画图澄清一个关于判定三角形全等的错误认识.
同学们学习了全等三角形的判定方法“角角边AAS”之后,很容易进行类比、猜想从而得到一个错误的方法,即所谓的“边边角”方法.为了让学生从根本上认识到不存在这个“边边角”方法的道理,可让学生进行下面的实验操作:
如图1,已知线段a=6cm,b=8cm和∠α=30°,让同学们在硬纸片上画ABC,要求AB=8cm,AC=6cm,∠B=30°.画好后剪下来与其他同学画的三角形进行比较,你能发现什么样结论?图1图2
同学们通过动手画图、剪拼,发现画出的两个三角形不能重合,这就是说已知两边和其中一边的对角画出的三角形不唯一.如图2,在ABC和ABD中,已知AB=AB,AC=AD,∠B=∠B,但它们显然是不全等的.这就直观的告诉我们,有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形不一定全等.从而否定了“边边角”方法的存在.
通过这个实验,学生既加深了对三角形全等判定方法的理解,又体会到了反例的重要性.正如波利亚指出的那样“论证推理是可靠的、无可置疑的和终决的.合情推理是冒风险的、有争议的和暂时的”.
2.2 能清晰、有条理地表达自己的思考过程,做到言之有理、落笔有据
在对学生进行推理训练时,学生首先是在观察、操作、实验、计算的基础上,进行分析与思考,这个思考过程是至关重要的,要把这种思考的语言转化为外显的语言,必须保证思考过程中的每一个判断都要有理由和根据,使思考过程变得清晰而有条理,才能在用数学语言进行表达(口头或书面)时做到“言之有理、落笔有据”,不要“想当然”.
例3中的第(3)的推理过程共有三步,每步的根据依次是乘方的意义、乘法运算律和乘方的意义.这样安排,学生在经历“符号化”的过程中,一方面发展了符号感,另一方面还增强了逻辑推理能力和归纳能力.
2.3 在与他人交流的过程中,能运用数学语言、合乎逻辑地进行讨论与质疑
数学交流主要包括三个方面:第一是数学知识的交流.学生以某种形式,直观的或非直观的、口头的或书面的、运用普通语言的或数学语言传递自己的思想和对知识的理解.同时以某种方式(听、读、看、摸等)理解和接受来自他人的见解和观点.第二是数学体验的交流.这样的交流并不着眼于某个具体的概念、方法和解决问题的过程的交流,而是关于学习过程中的感受、情绪、认识、想法和念头的交流,包括分析、评论、欣赏、赞叹等等,是情感体验的交流.第三是解决问题心得的交流.指学生在经过整理和思考的基础上,选择恰当的描述和表达方式,呈现自己解决问题的思路、方法和结果的过程,也包括反思与评价,是数学思想方法的交流.可以看出无论是哪个方面的交流,其前提都是每个人都能清晰、有条理地表达自己的思考过程.在这里,“用数学语言合乎逻辑”的表达是重要的.只有这样,才能确保讨论者有共同的语言.这一要求显然比上一要求更进了一层.
3 培养推理能力的基本做法
从上一个问题的讨论中,可以看出《标准》对于学生应具有的推理能力提出了明确的要求,那么在具体的教学中,应该如何培养学生的推理能力呢?
3.1 把推理能力的训练贯穿于教学的全过程中
推理能力的形成与发展是一个缓慢的过程,对它的培养要符合其自身的特点和规律,不能等同于一般知识与技能的训练.它不是教师“教”出来的,而是学生自己“悟”出来的.这种“悟”只能产生在数学活动中,从数学活动的经验之中“升华”而至.因此,《标准》指出:“数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上.教师应激发学生的学习积极性,向学生提供充分从事数学活动的机会,帮助他们在自主探索和合作交流的过程中真正理解和掌握基本的数学知识与技能、数学思想和方法,获得广泛的数学活动经验.”这就要求教师在进行数学教学中,一定不要把知识“裸”的告诉学生,要对教学内容进行深加工,精心设计成能引导学生进行探索活动的素材,为学生提供探索与交流的空间,组织、引导学生“经历观察、实验、猜想、证明等数学活动过程”,把推理能力的培养有机的融合在这样的过程之中.
例5 “平方差公式”的推导过程.
对“平方差公式”的教学,我们可以设置如下的问题串,以引导学生不断地进行思考与探索:
(1)计算并观察下面每组算式
(3)你能举出一个类似的例子吗?
(4)从上述过程,你发现了什么规律?你能用语言叙述这个规律吗?你能用代数式表示这个规律吗?
(5)你能证明自己所得到的规律吗?
学生在这些问题的引导下,能从对具体算式的观察、比较中,通过合情推理(归纳)提出猜想,进而用数学符号表达――若a×a=m,则(a-1)(a+1)=m-1,然后用多项式的乘法法则证明猜想是正确的.其探索过程可分为以下三步:
(1)在对具体算式的观察、比较中,通过合情推理,得出猜想;
(2)把所得到的猜想用数学符号(语言)表达出来:
如果a×a=m,则(a-1)(a+1)=m-1;
(3)用多项式的乘法法则证明猜想是正确的.
在完成这三步的探索之后,就能得到平方差公式:(a-1)(a+1)=a2-1.
3.2 把推理能力的培养与四个领域的内容有机的结合在一起
《标准》将课程内容分为“数与代数”、“空间与图形”、“统计与概率”及“实践与综合应用”,这四个领域的内容都为学生推理能力的发展提供了丰富的素材,无论哪个领域的教学都要结合具体的教学内容努力创设能引导学生进行思考与探索的问题情境,为他们提供自主探索、合作交流的时间与空间,让学生在具体的“活动”中经历知识的发现、发展过程.这样就能拓宽发展学生推理能力的空间.
(1)在“数与代数”领域结合计算渗透推理
不要片面的认为“数与代数”领域的内容主要是计算,事实上,这个领域的许多内容都包含着分析、判断和推理的过程.所以,关于这些内容的教学,要设法引导学生经历观察、猜想、归纳、发现的过程,例3和例5的导学过程中“判断和推理”的成分远比“计算”的成分所占的“权重”要大得多.
(2)在“空间与图形”领域的教学中,要发挥培养学生推理能力主阵地的作用
在本领域的教学中,一定要克服以往过分重视演绎推理的偏向,做到合情推理与演绎推理结合并用.要让学生在问题的引导下,经历操作、观察、比较、分析、猜想、证明等活动.这样安排既培养了学生的推理论证能力,还有助于学生空间观念的形成与发展.
例6 等腰三角形的性质的发现过程.
等腰三角形的性质,是学生通过剪纸、折叠、观察等活动,在对教材给出的一系列问题进行思考的基础上概括出来的,所以,教学中要注重实验操作.因为学生在动手实验的基础上,既能从中发现等腰三角形的性质,还能体验到问题的结论和方法之间的精彩过程,以已有的知识和经验为基础进行积极“和谐”的建构过程,从而把新的学习内容正确地纳入到已有的认知结构中去.图3
为了让学生自主发现、得到等腰三角形的性质,我们可以让学生通过下面的实验归、纳得到的:
如图3,用纸剪一个等腰三角形ABC,将三角形对折,使它的两腰AB与AC重合,记痕迹与底边BC的交点为D,把纸展开后铺平.思考下面的问题:
(1)等腰三角形ABC是轴对称图形吗?
(2)∠BAD与∠CAD相等吗?为什么?
(3)∠B与∠C相等吗?为什么?
(4)折痕所在直线AD与底边BC有什么位置关系?
(5)线段BD与线段CD的长相等吗?
(6)你能总结一下折痕所在直线AD具有的性质吗?
学生通过剪纸、折叠、观察、思考等探究活动,在以上6个问题的引导下,能自主发现并概括出等腰三角形的轴对称性及“两个底角相等”、“三线合一”等重要性质.这些性质可通过证明BAD≌∠CAD而得到.
3.3 在“统计与概率”领域的教学中,重视学生经历统计的全过程
“统计与概率”中的推理是合情推理,是一种可能性的推理,与其它推理不同的是,由统计推理得到的结论无法用逻辑推理的方法去检验,只有靠实践来证实.因此,“统计与概率”的教学要重视学生经历收集数据、整理数据、分析数据、作出推断和决策的全过程.
例7 调查某校八年级学生的视力情况.
(1)提出问题
这个案例的目标非常明确(就是调查某校八年级学生的视力情况),范围也很小(就是在某学校八年级学生中进行调查),方法有两种,一是普查;二是抽样调查.如果该校八年级学生不是很多,可以采用普查的方法.如果学生较多,可以采用抽样的方法,这时应当注意样本选取的代表性和适当的样本容量.
为便于记录和统计,很容易想到要设计下面的记录表(只给出样式):
(2)收集数据
假如采用的是抽样的方式,从该校八年级学生中随机抽取了50名学生进行视力检查,显然能收集到100个数据(具体数据省略),把这些数据填在上面的表中,为方便分析数据,可对这100个数据进行简单的统计汇总:
右眼情况是:视力是0.1的1人;视力是0.2的1人;视力是0.3的2人;视力是0.4的2人;视力是0.5的2人;视力是0.6的3人;视力是0.7的4人;视力是0.8的5人;视力是1.0的9人;视力是1.2的10人;视力是1.5的11人.
左眼情况是:视力是0.1的1人;视力是0.2的2人;视力是0.3的1人;视力是0.4的5人;视力是0.5的3人;视力是0.6的5人;视力是0.7的2人;视力是0.8的4人;视力是1.0的10人;视力是1.2的7人;视力是1.5的10人.
(3)分析数据
根据调查的内容,无论采用哪种方式,用表格表述数据是最方便的,所以将上述收集汇总后的数据整理如下:
(4)作出判断
本次调查可得到的判断很多,如:
①只要是视力低于1.5的就算是近视眼,所以结论是该校八年级学生中视力情况不容乐观.就右眼来说有39人近视;就左眼来说有40人近视.
②这50名同学右眼视力的平均值为:
③该校八年级学生右眼的视力好于左眼的视力.
④同学们应加强体育锻炼,注意看书的姿势,减少看电视及上网的时间.
……
在“统计与概率”领域的教学中,要让学生经历一个较为完整的统计活动过程,制定收集数据的指标、收集与表达数据、对数据做数学处理、根据处理结果作出统计推断.在这样的过程中,学生的推理能力将会得到逐步的提高.
总之,广大教师应下力气研究《标准》的精神,把既教会学生猜想,又能把握证明;既能合情推理,又能严格论证作为教学的指导思想.应通过自己在“再创造”的活动中,努力为学生展现出对数学规律的观察过程、理解过程、想象过程和思考过程;在讲解的同时注入自己对数学家在策略创造方面的理解和感受,努力去协调新的教学内容与学生已有的认知结构、教学目的和学生学习动力的关系.通过我们对数学美与教学美的强有力的揭示,激发起学生对于求真求美的强烈愿望.通过培养学生的推理能力达到培养他们的创新精神和实践能力的目的.
参考文献:
[1] 史宁中,柳海民.素质教育的根本目的与实验途径[J].教育研究,2007,(8).
[2] 李树臣.青岛•泰山版八年级上册《数学》简介.中学数学杂志,2009,(10).
[3] 李树臣.深入研究《数学课程标准》,大力加强空间观念教育[J].中学数学杂志,2010,(2).
[4] 李树臣等.加强对学生统计观念的培养与发展[J].中学数学杂志,2010,(4).
[5] 教育部.数学课程数学课程标准[M].北京:北京师范大学出版社,2001.7.
