发布时间：2023-03-08 15:25:27
序言：写作是分享个人见解和探索未知领域的桥梁，我们为您精选了8篇的线性规划样本，期待这些样本能够为您提供丰富的参考和启发，请尽情阅读。
1 线性规划与函数交汇
例1 （2014年山东理）已知x，y满足约束条件x-y-1≤0，
2x-y-3≥0，当目标函数z=ax+by（a>0，b>0）在该约束条件下取到最小值25时，a2+b2的最小值为（ ）.
A.5 B.4 C.5 D.2
答案 B.
解析 画出可行域（如图1），由于a>0，b>0，所以z=ax+by经过直线2x-y-3=0与直线x-y-1=0的交点A（2，1）时，z取最小值25.将A（2，1）代入目标函数，得2a+b=25，以下用两种方法求a2+b2的最小值：
图1
方法1 （转化为二次函数求最值）：a2+b2=a2+（25-2a）2=5a2-85a+20（0<a<5），当a=455时，a2+b2的最小值是4.
方法2 （利用几何意义）转化为求直线2a+b=25上的点到原点距离平方的最小值，即原点到直线2a+b=25的距离的平方，利用点到直线的距离公式即得.
考点 将简单的线性规划与非线性目标函数的最值相结合，考查简单线性规划的应用，二次函数的图像与性质，点到直线距离的几何意义.对于解决非线性目标函数最值问题的关键在于深挖目标函数的几何意义，利用数形结合思想求出最值.
拓展探究 若实数x，y 满足不等式组
y≤x-1，
x≤3，x+5y≥4，则x2y 的最小值是（ ）.
2 线性规划与全称、存在量词结合
例2 （2014年全国课标1）不等式组
x+y≥1，
x-2y≤4的解集记为D.有下面四个命题：
p1：（x，y）∈D，x+2y≥-2，
p2：（x，y）∈D，x+2y≥2，
p3：（x，y）∈D，x+2y≤3，
p4：（x，y）∈D，x+2y≤-1.
其中真命题是（ ）.
A.p2，p3 B.p1，p4 C.p1，p2 D.p1，p3
答案 C.
图2
解析 画出可行域（如图2），将四个命题依次代入检验，对于命题p1，可行域内的点恒在直线x+2y=-2的上方，即对所有可行域内的点都满足不等式x+2y≥-2（图3）;
图3 图4
同理对命题p2，可行域内存在点在直线x+2y=2的上方，即（x，y）∈D，x+2y≥2（图4）.
其他两个命题经检验不合适.
考点 考查不等式（组）表示的平面区域，全称、存在量词的含义.
3 线性规划与“不等式恒成立”问题融合
例3 （2014年浙江）当实数x，y满足
x+2y-4≤0，
x-y-1≤0，
x≥1，时，1≤ax+y≤4恒成立，则实数a的取值范围是 .
答案 1，32.
解析 画出可行域，欲使不等式组1≤ax+y≤4恒成立，即使可行域内的点恒在两条平行线之间，两条平行线斜率为-a，分别恒过（0，1），（0，4）点，如图5、图6可得a的取值范围.
图5
图6
考点 本题将线性规划与不等式恒成立问题相结合，本质是动态可行域问题，所谓动态的可行域，即在约束条件中含有使可行域发生变化的参数.对于动态的可行域问题，要注意切入的角度、方向，抓住一些不变的量，变动为静，向熟悉的、已有的知识转化，从而化解问题.本题两条平行线斜率含有参变量a，不变的量是两条平行线所过的定点，切入点是直线所过的定点.
拓展探究 （2014年湖南）若变量x，y满足约束条件y≤x，
x+y≤4，
y≥k，且z=2x+y的最小值为-6，则k= .
4 线性规划与概率融汇
例4 （2014年湖北）由不等式
x≤0，
y≥0，
y-x-2≤0，确定的平面区域记为Ω1，不等式x+y≤1，
x+y≥-2，确定的平面区域记为Ω2，在Ω1中随机取一点，则该点恰好在Ω2内的概率为（ ）.
A.18 B.14 C.34 D.78
答案 D.
图7
解析 依题意，不等式组表示的平面区域（如图7），
由几何公式知，该点落在Ω2内的概率为P=
12×2×2-12×1×1212×2×2=78，选D.
考点 本题考查不等式组表示的平面区域，面积型的几何概型，属于中档题.
拓展探究 （2014年重庆）某校早上8：00上课，假设该校学生小张与小王在早上7：30―7：50之间到校，且每人在该时间段的任何时间到校是等可能的，则小张比小王至少早5分钟到校的概率为.（用数字答）
利用可行域的公共部分求参数
例1 若直线[（3λ+1）x+（1-λ）y+6-6λ=0]与不等式组[x+y-7<0，x-3y+1<0，3x-y-5>0]表示的平面区域有公共点，则实数[λ]的取值范围是（ ）
A. [（-∞，-137）?（9，+∞）] B. [（-137，1）?（9，+∞）]
C. [（1，9）] D. [（-∞，-137）]
解析 画出可行域，求得可行域的三个顶点[A（2，1），][B（5，2），C（3，4）].
而直线[（3λ+1）x+（1-λ）y+6-6λ=0]恒过定点[P（0，-6），]且斜率为[3λ+1λ-1]，
因为[kPA=72，kPB=85，kPC=103]，
所以由[85<3λ+1λ-1<72]得[λ∈][（-∞，-137）?（9，+∞）].
答案 A
点拨 画出可行域，求得可行域的三个顶点，确定直线过定点[P]（0，-6），求得直线[PA，PB，PC]的斜率，其中最小值[85]，最大值[72]，则由[85<3λ+1λ-1<72]得[λ]的取值范围.
利用最值的倍数关系求参数
例2 已知[x]，[y]满足[y≥x，x+y≤2，x≥a，]且[z=2x+y]的最大值是最小值的[4]倍，则[a]的值是（ ）
A. [34] B. [14] C. [211] D. [4]
解析 画出[x，y]满足[y≥x，x+y≤2，x≥a]的可行域如下图.
由 [y=x，x+y=2]得，[A1，1]，由[x=a，y=x]得，[Ba，a].
当直线[z=2x+y]过点[A1，1]时，目标函数[z=2x+y]取得最大值，最大值为3.
当直线[z=2x+y]过点[Ba，a]时，目标函数[z=2x+y]取得最小值，最小值为[3a].
由条件得，[3=4×3a，]所以[a=14].
答案 B
点拨 由题意可先作出不等式表示的平面区域，再由[z=2x+y]可得[y=-2x+z]，则[z]表示直线[y=-2x+z]在[y]轴上的截距，截距越大，[z]越大，可求[z]的最大值与最小值.
利用充分条件关系求可行域的面积最小值
例3 已知[Ω]为[xOy]平面内的一个区域.[p]：点[（a，b）∈{（x，y）|x-y+2≤0，x≥0，3x+y-6≤0}];[q]：点[（a，b）∈Ω].如果[p]是[q]的充分条件，那么区域[Ω]的面积的最小值是 .
解析 命题[p]对应的平面区域为如图阴影部分.
则由题意可知，[C（0，2），B（0，6）].
由[x-y+2=0，3x+y-6=0，?x=1，y=3.]
即[D（1，3）]，所以三角形[BCD]的面积为[12×6-2×1=2]，[p]是[q]的充分条件，那么区域[Ω]的面积的最小值是2.
答案 2
点拨 先利用线性规划作出不等式组对应的平面区域[BCD]，然后利用[p]是[q]的充分条件，确定平面区域[BCD]与[Ω]之间的面积关系.
利用可行域求向量射影的取值范围
例4 已知实数[x，y]满足约束条件[x+2y≥2，2x+y≤4，4x-y≥-1.]若[a=x，y，b=3，-1]，设[z]表示向量[a]在向量[b]方向上射影的数量，则[z]的取值范围是（ ）
A.[-32，6] B.[-1，6]
C.[-3210，610] D.[-110，610]
解析 画出约束条件的可行域，由可行域知：[a=（x，y）=2，0]时，[a]在[b]方向上的射影的数量最大，此时[a?b=6]，所以[a]在[b]方向上的射影的数量为[610];当[a=12，3]时，[a]在[b]方向上的射影的数量最小，此时[a?b=-32]，所以[a]在[b]方向上的射影的数量为[-3210].所以[z]的取值范围是[[-3210，610]].
答案 C
点拨 作出不等式组对应的平面区域，利用向量投影的定义计算[z]的表达式，利用数形结合即可得到结论.
可行域中的最值问题与基本不等式结合
例5 若目标函数[z=ax+by（a>0，b>0）]满足约束条件[2x-y-6≤0，x-y+2≥0，]且最大值为40，则[5a+1b]的最小值为（ ）
A. [256] B. 4 C. [94] D. 1
解析 不等式表示的平面区域阴影部分，
当直线[z=ax+by（a>0，b>0）]过直线[x-y+2=0]与直线[2x-y-6=0]的交点（8，10）时，目标函数[z=ax+by（a>0，b>0）]取得最大40，即[4a+5b=20]，
而[5a+1b=5a+1b×4a+5b20=54+5b4a+a5b≥94].
作者：吴可杰姜近勇单位：南京大学经济系
线性规划理论广泛应用于军事、经济、工业、农业等国民经济的各个部门，除了这种方法能解决各个部门提出的生产力布局、作业计划、原料配制、产品搭配等实际问题外，还因为线性规划模型本身，以及它们的解题方法和应用分析，能够比较容易地为一般没有较深数学基础的经营管理人员所理解和掌握，特别是借助于电子计算机的专用程序，不仅能加快运算速度，而且能解决上百.上千个变量的复杂模型;线性规划不仅能求得问题的最优解，而且还可以提供经济分析的数据资料。在线性规划的应用分析中所涉及到的一个重要概念是影子价格，它是数学规划理论与经济分析相结合的产物。影子价格通常反映资源最佳利用状况，是对资源的边际收益或衣品的边际成本的一种估价。利用线性规划和影子价格可以为区域经济规划提供有用的数量信息。本文试图用数学语言来说明线性规划和影子价格，并讨论它们的经济意义以及在区域经济规划中的应用。
一、线性规划模型的一般形式是:在约束为:（式略）这是一对具有特殊性的配对的规划模型，我们可以把一个问题称为“原问题”，另一个问题称为“对偶问题”。下表总结出了从一个已知的原问题转换为对偶问题的规律，这些规律是假设已经有了一般模型的方程式，然后根据这些规律建立它的对偶模型(见表)。对偶问题与原问题是一个问题的两个方面，对偶问题可以从不同角度提供观察问题的另一种方法，有时还可以简化运算。在利用单纯形法解原问题时，同时就可以得到其对偶问题的解。反之，求得对偶问题的解，同时也就可得到原问题的解。它们之间的一个重要关系即是:若原问题与对偶问题均属可解，且原问题最优解为（式略）即:刘.偶问题与原问题的目标函数最优值相等。所谓影子价格，就是指由于线性规划模型中约束条件右端项B的某一分量(比如bi，i二l，2，…，n)增加一个单位而引起的目条件下，’原问题与对偶问题的目标函数最优值是相等的，即:（式略）如果bi增加一单位，则目标函数最优值就会相应增加y，’单位，而yj件即为对偶问题最优解Y’的第i个分量。由此可见，第i项约束条件的影子价格就是其对偶问题最优解的第宜个分量。而且从上式还可以看出，只要对偶问题的最优解不变，其影子价格也就保持常数值不变。影子价格与商品价值没有任何联系，它纯粹是一种计算价格。根据国民经济既定的计划目标及一定时期资源的可供给量和消费需求，可以建立一系列线性规划模型，计算出各种资源的影子价格，然后在影子价格的基础上形成计划价格作为经济调节的工具，以保证资源的利用最大限度地符合计划目标。这样制定的价格在苏联称为“最优计划价格”，这种价格理论突出资源的有限性，从而强调资源的节约和合理配置。苏联最优计划价格理论的主要代表人物有康托洛维奇、诺沃日洛夫、赞多连柯等，他们对最优计划价格理论进行了逐步深入的研究。’1966年11月，苏联科学院经济数学研究所所长费多连柯在其所作的报告中对最优计划价格的形成过程进行了详细的说明。他假定国民经济分为企业、部门、中央三个层次，具体的价格形成过程为:1.企业将其生产能力与投入系数以实物形式报到部一级，进行汇总，形成综合指标。2.部门将综合指标报送中央，经再一次汇总，得到部门间的生产和消费的约束条件，根据国民经济发展的最优性标准妥在中央一级求解线性规划，决定各部门的资源消耗与产品产量，并根据资源的影子价格确定相应的资源与产品价格。3.资源与产品的价格下达到部门、企业，部门与企业在利润最大化的目标下决定自己的生产计划，再次报送上去，到达中央层次汇总。4.中央将自己的原始计划与部门报来的计划进行对比调整，供过于求的资源价格要降低，反之则提高。然后再次下达价格。如此经过多次调整后，一定能找到一组资源影子价格及据此确定的资源和产品价格卜使资源得到最优利用，社会需要得到最大常‘足。费多连柯认为，借助电子计算机，能使这种多次反复的计算在较短时间内完成。
二、区域经济规划是社会主义建设中;一个长期的、具有战略意义的工作。合理.的区域经济规划是高速度发展我国社会主义经济、加速实现四化的需要。它有利于充分利用各地区的自然资源、劳动力资源等生产要素，促进其经济的发展;有利于加强各地区之间的协作，建立其不同水平各具特点的国民经济休系;有利于促进工农、城乡联系，逐步消除工农之间、城乡之间的本质差别;此外，对于提进少数民族地区、山区和边远地区的经济发展、对于巩固和加强国防建设也具有重要意义。进行区域经济规划，要从国家关斗“长远规划的总体设想这一全局出发，根据各地区的自然资源和经济条件，确定其工业发展的方向，结构、资源的综合利用、工业的合理布局以及其它各项设施的合理配置。因地制宜、发挥地区优势是区域经济规划首先要解决的问题。地区之间，由于自然和社会因素的差别，经济发展不平衡是一种正常现象。在我国社会主义建设中，曾一度片面追求平衡、追求“大而全”“小而全”的经挤体系，造成地区经济结构不合理，社会经济效益非常差。例如，为了扭转北煤南运的局面，曾在江南贫煤区发展煤炭工业，其结果不仅耗费大量投资，而且问题也没得到解决。如果各地区都能发挥自己的优势，扬长避短，择优发展，宜粮则粮，宜牧则牧，宜钢则钢，宜纺则纺，我国经济实力就会有很大提高，生产力布局就会得到很大改善。利用线性规划.可以帮助我们确定不同地区的经济发展方向。假设甲乙两地分别拥有资金j0千元，甲地每千元投资生产某种原材料，年产量可达300吨，而投资加工这种原材料，则年加工成品量为100件;乙地每千元投资用于生产这种原材料，年产量只有10。吨，而投资用于加工这种原材料，则年加工成品量可达300件。甲地每百吨原材料的净产值为3万元，乙地为2万元;甲地每百件加工成品的净产值为2万元，乙地为4万元。怎样确定两地的经济发展方向才合理呢?对两个不同经济区，分别建立两个独立的线性规划模型‘以文，、x:分别代表甲地原材料和加工成品的计划产量，（式略）分别代表乙地原材料和加工成品的计划产量。用Z、Z”分别攀表甲乙两地的净产值。甲地的规划模型为:在约束为:（式略）求解可得出甲地规划模型的最优解为二二30百吨，x:=。百件，最大净产值为Z二9。万元。‘乙地规划模型的最优解为（式略）“加百件，最大净产值为Z’二120万元、这就是说，甲地专门生产原材料，乙地专门加工原材料，、两地的净产值都达到最大值。又由于甲地资金的影子价格为W=9，乙地资金的影子价格为W’二12，如果要追加投资的话，应优先考虑向乙地投资，即向专门加工原材料的地区投资。当然，扩大加工工业的生产规模，必须要保证原材料的供应。•但是，在上面的线性规划模型中，目标函数中的净产值系数是根据资源和产品的现行价格确定的。而我国现行的价格体系，由于过去长期忽视价值规律的作用以及其它历史原因，存在着相当紊乱的现象，不少商品的价格既不反映价值，也不反映供求关系，其中，特别是矿产品、原材料和能源价格偏低。按现行价格计算，生产原材料和能源收益不大，甚至亏损，而生产加工业品则利润很大。例如，开采铁矿的资金盈利率只有5%，煤矿则更低，炼钢、炼铁也很低，而轧钢的资金盈利率有的品种达20%~30%，有的甚至高达如%~70%。由于原材料和能源价格偏低，一方面难以调动原材料和能源开发区努力增产的.积极性，原材料和能源开发区缺少活力。另一方面造成原材料和能源消耗高的加工部门相对膨胀，这些部门利用廉价的资源获得高额的利润，而.且由于原材料和能源太便宜，加工部门不重视原材料和能源消耗管理，浪费严重。这种情况势必造成原材料和能源供求不平衡、严重短缺，影响整个国民经济。就能源来说，由于燃料动力供应不足，全国有l/4的企业开工不足，有20%~30%的设备能力不能充分发挥作用，一年大约要损失工业产值750亿元。因此，不改革现行不合理的价格体系，就不能正确评价各地区的经济效益，促进地区经济合理发展。即使借助于某种科学的方法做出地区经济规划，也还是不切实际的。在上面‘的例子中，由于原材料价格偏低，造成甲地(资源开发区)比乙地(加工工业区)的资金影子价格低，同样的投资在甲地不如乙地的收益大，势必造成投资向乙地转移。如果将原材料价格提高，使其净产值达到每百吨4万元，则甲地与乙地的资金影子价格相等，都为12，这时如果追加投资，两地的机会就是相同的。又假设乙地只使用甲地生产的原材料，其供应量为10(百吨)，且原材料消耗系数为0.5，则乙地线性规划模型的约束条件变为:（式略）解新的规划模型，可以得到原材料的影子价格为6粤，远远高于甲地百吨原材料的净产值。这就说明，整个社会增加一单位原材料对加工部门净产值的贡献要比对原材料生产部犷1净产值的贡献大。这样必然会刺激原材料的消耗，压抑原材料的生产，造成原材料短缺。如果提高原材料的价格，使乙地加工成品的净产值降为每百件:喜万元，这时原材料的影于价格为3万元，与甲地百吨原「材料的净产值相等。这样就有利于促进原材料生产和消费的平衡。因此，我国现行不合理的价格体系哑待改革，原材料、能源、矿产品等资源的价格巫待提高。对于资源定价间题，由于影子价格既能反映资源的效能，又能反映资源的稀缺程度，因此要达到合理地利用有限资源，更好地反映社会经济效益，利用影子价格作为我国资源定价的主要依据是可行的。而且从整个国民经济来看，资源的影子价格体系确实客观存在，找到这样的价格体系应该是价格改革的追求目标。还有人将影子价格推广到用各种方法计算出来的非自然形成价格以及由国际市场引进的价格都可以称为影子价格。我国实行对外开放政策以来，进出口贸易大幅度增长，以国际市场价格作为可外贸货物这一类资源的影子价格，也可以帮助我们制定合理的资源价格。线性规划应用于区域经济规划的另一个重要方面是合理分配有限的资源，即是使有限的资源发挥最大经济效益。假定某一地区有m个生产部门，利用‘n种有限资源生产，知道各部门单位产品的净产值和投入产出系数，得出一个线性规划问题。求解这个线性规划，不仅能知道现有条件一F各种资源的最优分配，而且可以确定各种资源的影子价格，为计划投资提供信息。影子价格可以反映规划中各种资源的相对稀缺性，影子价格越高，说明这种资源越短缺，增加其投入能带来更多的社会总产品。影子价格为零的资源为过剩资源，追加这种资源只会造成浪费。假设某一地区轻纺工业部门生产甲产品(单位为千米)的最大生产能力为]。0，冶金工业部门生产乙产品(单位为吨)的最大生产能力为40。，两种产品都要消耗资源A，其消耗系数分别为0.01和0.03，而资源A的可供量为10。又设在合理的价格体系下甲产品每千米的净产值为5(百元)，乙产品每吨的净产值为2(百元)。为了求资源A的最优分配方案和确定投资的轻重缓急，可以把上述问题化为求净产值最大的线性规划模型。设x，、xZ为甲、乙两种产品的产量，在约束为:（式略）用单纯形法求得最优解为:（式略）并得到甲产品、乙产品和资源A的影子价格分别为:（式略）以上结果给出了甲产品和乙产品的最优产量，给出了资源A分配的最优比例:10单位资源A供应轻纺工业部门1单位(100x0.01)，供应冶金工业部门9单位(300X0.03)。同样，根据影子价格，资源A的影子价格最大，说明增加资源A的投入可以较大地提高净产值，其次是产品甲，产品乙的影子价格为零，说明增加产品乙的产量，并不会提高净产值，而只会造成浪费。因此，本地区应优先考虑向生产资源A的工业部门投资，一其次向轻纺工业部门投资，暂停向冶金工业部门投资。进一步还可以通过比较资源的影子价格和市场价格来判断资源投入是否有利。在生产已达最优结构时，如果某一资源的影子价格高于其市场价格，继续投入这种资源就可以增加收益。假定上例中资源A的影子价格高于其市场价格，则应再购进资源A扩大生产规模。相反，如果影子价格低于其市场价格，将资源A投入生产就意味着亏损，这时应卖出一部分资源，其收益要比将资源A用来生产大。‘问题是在某地区某资源的影子价格低于其市场价格，而在另一地区完全有可能高于其市场价格。这样，通过物资的调配后，整个社会从宏观上讲就会有更好的效益。可见，应用线性规划和影子价格，可以使资源达到最合理的分配，纯收益达到最大。
三、在我们前面所分析的例子中，出现了这样的问题:在生产资源A的工业部门、轻纺工业部门以及冶金工业部门中，优先向生产资源A的工业部门投资，其次向轻纺工业部门投资，那么投资数额为多少最合理?又如果资源A的影子价格高于市场价格，则购进多少资源A扩大生产规模为最优?反之，如果资源A的影子价格低于市场价格，则应卖出多少资源A才能保证有最大收益?要解决这些问题，可用灵敏度分析加以精确计算。灵敏度分析就是当线性规划模型的参数变动时，分析其对最优解结果的敏感程度和范围。因为在实际工作中经常存在着许多不确定性因素，模型中某些参数会随着情况变动而产生波动，因此就必须对这些参数变化所引起的结果有比较精确的估计。灵敏度分析包括三个方面:一是涉及到约束条件方程中hi值变化的分析;二是涉及到目标函数中系数C;值变化的分析;三是涉及到约束条件中技术性系数aij变化的分析。在我们前面有关影子价格问题的讨论中，所涉及到的都是约束条件方程中bi值变化的问题。以资源A的影子价格与市场价格的比较为例。假设资源A的影子价格高于其市场价格，我们要确定资源A的最优购进数量。首先，利用灵敏度分析计算出在资源A的影子价格(也即对偶问题的最优解)不变的情况下，资源A约束右端项的变动界限。即资源A的约束在这一界限内，其影子价格不变。然后，让资源A的约束右端项突破这一界限的上限，在新的约束下，求资源A的影子价格。如果这一影子价格低于市场价格，则原约束右端项的变动上限与现有资源A的数量之差，就是应购进的资源A数量。如果资源A的影子价格仍然高于市场价格，则重复以上步骤。直至求出资源A的最优购进数量为止。
一、求可行域的面积
这一类问题通常是先画出不等式组所表示的平面区域，根据区域的形状来求可行域的面积.若可行域是三角形，可用三角形面积公式求解，若可行域是四边形或更复杂的图形，可用分割法求面积.
二、求目标函数的最值或值域
已知线性约束条件，求目标函数的最值或值域问题，在高考中是最基本的考查题型，一般分为四类：第一类问题是求线性目标函数的最值或值域；第二类问题是可转化为求可行域内一点到一定点的距离或距离的平方；第三类问题是可转化为求可行域内一点与一定点连线的斜率；第四类问题是可转化为求可行域内一点到一条定直线的距离.解决这类问题的关键是先画出不等式组表示的平面区域，再根据平面区域和目标函数的特征来求目标函数的最值或值域.
三、求参数的值或取值范围
与线性规划问题相关的求参数的值或取值范围问题，在近几年的高考试题中成为考查线性规划问题的热点，在所考查的试题中，参数的位置有的在线性约束条件中，也有的在目标函数中，解决这类问题的关键是看是动区域还是动直线，要在变化中寻求解决问题的途径.
四、与线性规划有关的综合问题
将线性规划问题与其他数学知识进行交汇命题，在近几年的高考试题中，也成为一种时尚，线性规划问题可以与函数和导数、数列、不等式、向量、解析几何等数学知识综合，重点考查函数思想、数形结合思想、转化与化归思想，考查分析问题、解决问题和综合运用数学知识的能力.
五、线性规划实际应用问题
【关键词】工商管理；经济发展；线性规划
随着我国经济的持续快速发展，市场经济不断得到完善。由于市场经济的产生是建立在剩余产品交易行为的基础之上，随着市场经济发展而诞生的工商管理也有着与众不同的基本特性。工商管理产生的直接原因是维护政权利益，促进经济发展，经过不断地发展，工商管理对于我国市场经济的发展规范起着越来越重要的作用。
一、工商管理的概念
工商管理的产生是国家出于对市场经济秩序的构建与其健康发展的目的，主要是通过对市场经济经营行为的监督管理以及相关执法。通过将强制惩戒与行政教育相结合的方法，达到规范市场经济的目的，为市场经济的发展营造良好的环境。
二、工商管理的职能
（1）对市场经济的监管力度。工商管理部门是由政府依法组织，针对市场经济的自由性，对企业和盈利机构进行监督管理的工作执法部门。工商管理在政府工作中的首要职能就是市场监管，即对社会中的工商企业、外资企业等盈利性机构进行依法监督管理，维护市场的经营秩序，对于企业的违规违纪行为进行依法惩处，调节市场经济各部分的和谐共处。（2）对市场经济发展的服务。工商管理的对象是经济环境中的经济活动，服务于社会主义的市场经济建设，通过提高服务性维护和促进商品经济的良性发展。工商管理可以通过对市场经济的调节，维护市场经济的有序运行，服务广大消费者。
三、线性规划在工商管理中的应用
线性规划，是指在现有的人力、物力、财力等资源条件限制下，通过合理的调配和有效使用，以达到最优目标的一种数学方法。企业的效益依赖于资源配置的优化，即依赖于线性规划模型的优化，优化的范围越大，其优化效果也就越好。首先，线性规划可以用于生产计划确定后的优化，主要内容包括：（1）合理利用材料问题：在保证生产正常进行的条件下，以最少的材料达到最大的使用效果。（2）配料问题：在原料供应的数量限制下，如何搭配才能获得最大收益。（3）投资问题：从投资项目中选取最佳组合，使有限的投资得到最大的回报。（4）产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大。（5）劳动力安排：用最少的劳动力满足工作的需要。（6）运输问题：对产品的调运方案进行细致制定，减少运费。其次，线性规划支持企业未来的决策。管理者必须分析未来的经济发展趋势，分析未来的消费趋势，并预测同行的产销动向，根据分析结果，确定自身企业的产品价格和促销策略，然后将这些数据进行线性规划，得出企业发展的最佳路线。
工商企业的生产计划管理问题分析完全符合线性规划建模的条件，因此可以运用线性规划来分析生产计划方案的优化问题。但是，应用线性规划的方法对企业的生产计划问题进行分析，首先必须满足几点要求：（1）明确目标函数。生产计划的经济分析是一种定量分析方法，以企业利润作为评价目标值，其最终目的是制定可以使企业利润最大化的生产计划决策，因此，企业利润最大化是生产决策分析的目标函数。（2）明确约束条件。企业的生产能力，原材料，设备使用，市场需求状况等诸多限制因素与生产计划分析是密切相关的，这些限制因素就被称为生产分析中目标函数的约束条件。约束条件对于企业生产计划分析的影响很大，不同约束条件下，决策分析的结论也会有很大区别。比如，就企业在市场活动中所处的状态可以分为三种：第一，能力不足状态，企业的生产能力无法满足市场需求；第二，能力过剩状态，即企业生产能力超过市场需求，产品出现剩余；第三，中间状态，即所谓的收支平衡。企业自身的状态是不确定的，在三种状态之间不断变换。（3）明确产品的单间利润。单间利润不仅要考虑到产品的单间收入，还要考虑生产所消耗的各项成本和费用。综上所述，生产计划决策分析的基本方法是以利润最大化为目标，明确未知变量，确定约束条件，然后建立线性规划模型，最终实现效益最大化的生产计划。
四、应注意的问题
（1）设定约束条件和变量的个数。约束条件在线性规划中是必不可少的，需要特别注意的是最优解中非零变量的数目不能超过模型约束条件的数目，如果忽视这一点而将由模型得出的最优解付诸实施，就会带来不良的后果。（2）线性规划模型的静态性。运用线性规划的理论和方法进行工商管理时，其模型具有静态性，但也只是近似，严格来说，模型中涉及到的价格并不是常数。这说明线性规划模型的静态性是近似的，因此，在实际应用中，考虑到问题误差的大小，对问题的界限进行划分是十分必要的。
参 考 文 献
线性规划，是指在现有的人力、物力、财力等资源条件限制下，通过合理的调配和有效使用，以达到最优目标的一种数学方法。企业的效益依赖于资源配置的优化，即依赖于线性规划模型的优化，优化的范围越大，其优化效果也就越好。首先，线性规划可以用于生产计划确定后的优化，主要内容包括：
（1）合理利用材料问题：在保证生产正常进行的条件下，以最少的材料达到最大的使用效果。
（2）配料问题：在原料供应的数量限制下，如何搭配才能获得最大收益。
（3）投资问题：从投资项目中选取最佳组合，使有限的投资得到最大的回报。
（4）产品生产计划：合理利用人力、物力、财力等，使获利最大。
（5）劳动力安排：用最少的劳动力满足工作的需要。
（6）运输问题：对产品的调运方案进行细致制定，减少运费。其次，线性规划支持企业未来的决策。管理者必须分析未来的经济发展趋势，分析未来的消费趋势，并预测同行的产销动向，根据分析结果，确定自身企业的产品价格和促销策略，然后将这些数据进行线性规划，得出企业发展的最佳路线。
工商企业的生产计划管理问题分析完全符合线性规划建模的条件，因此可以运用线性规划来分析生产计划方案的优化问题。但是，应用线性规划的方法对企业的生产计划问题进行分析，首先必须满足几点要求：
（1）明确目标函数。生产计划的经济分析是一种定量分析方法，以企业利润作为评价目标值，其最终目的是制定可以使企业利润最大化的生产计划决策，因此，企业利润最大化是生产决策分析的目标函数。
（2）明确约束条件。企业的生产能力，原材料，设备使用，市场需求状况等诸多限制因素与生产计划分析是密切相关的，这些限制因素就被称为生产分析中目标函数的约束条件。约束条件对于企业生产计划分析的影响很大，不同约束条件下，决策分析的结论也会有很大区别。比如，就企业在市场活动中所处的状态可以分为三种：第一，能力不足状态，企业的生产能力无法满足市场需求；第二，能力过剩状态，即企业生产能力超过市场需求，产品出现剩余；第三，中间状态，即所谓的收支平衡。企业自身的状态是不确定的，在三种状态之间不断变换。
（3）明确产品的单间利润。单间利润不仅要考虑到产品的单间收入，还要考虑生产所消耗的各项成本和费用。综上所述，生产计划决策分析的基本方法是以利润最大化为目标，明确未知变量，确定约束条件，然后建立线性规划模型，最终实现效益最大化的生产计划。
二、应注意的问题
（1）设定约束条件和变量的个数。约束条件在线性规划中是必不可少的，需要特别注意的是最优解中非零变量的数目不能超过模型约束条件的数目，如果忽视这一点而将由模型得出的最优解付诸实施，就会带来不良的后果。
【关键词】线性规划；模型；Mathematica；最优决策
1.引言
在生产管理和经营活动中，会经常遇到两类问题：一类是（资源有限）如何合理的使用现有的劳动力、设备、资金等资源，以得到最大的效益；另一类是（目标一定）为了达到一定的目标，应如何组织生产，或合理安排工艺流程，或调整产品的成分等，以使所消耗的资源（人力、设备台时、资金、原材料等）为最少。这既是最优决策问题。
如何解决上述问题，线性规划（Linear Programming）给了我们一些方法，线性规划是运筹学的一个分支，它研究的是在线性约束条件下求解线性函数（目标函数）的最优解问题。线性规划应用越来越广泛，《财富》杂志（Fortune）的一项调查，美国名列前五百名的大公司中，百分八十五均曾应用线性规划的方法来协助公司的营运，由此可见线性规划应用面的宽广与普及。
2.线性规划数学模型及求解方法[1]
2.1 线性规划数学模型
其中为目标函数，s.t.的右端项为约束条件，表示决策变量的非负约束。
2.2 模型的求解方法
能够求解线性规划模型的软件有很多，比如Mathematica，Matlab，Lindo，Maple等，以下问题应用Mathematica求解[2]。
Mathematica是由Wolfram（美国）公司研制开发的，应用比较广泛的，功能比较强大的一款软件，软件中有求解线性规划的函数，在平台中的使用方法如下：ConstrainedMin（或ConstrainedMax）[目标函数，{约束条件}，{变量集合}]就可以了。其中ConstrainedMin求目标函数为min的线性规划问题，ConstrainedMax求目标函数为max的线性规划问题。
3.建立线性规划模型应用举例
例1：（人员的合理安排问题）医院护士的值班班次、工作时间及各班所需护士数如表1所示，护士上班以后，需连续工作8小时，则医院最少需护士多少名，以满足轮班需要；
分析：因护士上班后需要连续工作8小时，即第1班次开始上班的护士，需工作到14：00，第2班次开始上班的护士需工作到18：00，以此类推，第6班次开始上班的护士工作到10：00，满足这些约束条件后，目标函数是最少需要的护士数，就很容易列出线性规划模型。
解：设表示第i班开始上班的护士人数，，则建立模型为：
应用mathematica求解如下：
In[1]：=ConstrainedMin[x1 + x2 + x3 + x4 + x5 + x6，{x1 + x2 >= 70，x2 + x3 >= 60，x3 + x4 >= 50，x4 + x5 >= 20，x5 + x6 >= 30，x6 + x1 >= 60}，{x1，x2，x3，x4，x5，x6}]
运行后得：
Out[1]= {150，{x1 -> 60，x2 -> 10，x3 -> 50，x4 -> 0，x5 -> 20，x6 -> 10}}
结果：第1-6班开始上班的护士分别为60人、10人、50人、0人、20人、10人，最少需要护士150名。
例2：（投资决策问题）某人有一笔30万元的资金，在今后三年内有以下投资项目：
（1）三年内的每年年初均可投资，每年获利为投资额的20%，其本利可一起用于下一年投资；
（2）只允许第一年年初投入，第二年年末可收回，本利合计为投资额的150%，但此类投资限额不超过15万元；
（3）于三年内第二年初允许投资，可于第三年末收回，本利合计为投资额的160%，这类投资限额20万元；
（4）于三年内的第三年初允许投资，一年收回，可获利40%，投资限额为10万元。
试为该人确定一个使第三年末本利和为最大的投资计划。
分析：本题为最大化最优决策问题，有4个可投资项目，即题中（1）至（4），关键问题在于决策变量的设置，我们用来表示第年初投资到第个项目的资金数，这样问题就迎刃而解了。
解：设表示第年初投资到第个项目的资金数，建立线性规划模型为：
应用mathematica求解如下：
In[2]：=ConstrainedMax[1.2x31 + 1.6x23 + 1.4x34，{x11 + x12 == 300000，x21 + x23 == 1.2x11，x31 + x34 == 1.2x21 + 1.5x12，x12
Out[2]= {580000.，{x11 -> 166667.，x12 -> 133333.，x21 -> 0，x23 -> 200000.，x31 -> 100000.，x34 -> 100000.}}
结果：
第一年年初投资到（1）和（2）两个项目的资金分别为166667元和133333元；
第二年年初投资到（1）和（3）两个项目的资金分别为0元和200000元；
第三年年初投资到（1）和（4）两个项目的资金分别为100000元和100000元；
第三年末本利和最大为58万元。
例3：（学区学生入学的划分）某学区由五个居民区和三所学校组成，学校设专门校车接送学生。各学校的容量如表2所示，各居民区的学生人数如表3所示；各居民区的学生到相应学校的校车费用如表4所示。试问应怎样给各个学校分配儿童，才能实现学区管理者实现使校车接送所花费用最低的目的？[3]
分析：该问题为最低费用的最优决策问题，在满足人数要求的条件下，费用最低，三所学校的容量总和为2500人，而五个居民区共2350人，这就使得某些学校分配的儿童不足，对于约束条件将出现不等式，建立线性规划模型时要注意。
解：设表示校车从第居民区送往第学校的人数，建立模型如下：
4.小结
由以上分析，我们可以看出，线性规划在最优决策中为人们提供了解决问题的一种方法。决策者通过建立便捷的线性规划模型解决了最优化问题，无论是对于企业还是对于个人提升都具有重要的价值。
参考文献
[1]胡运权.运筹学教程（第三版）[M].清华大学出版社，2007，4.
[2]丁大正.科学计算强档Mathematica4教程[M].北京：电子工业出版社，2002.3.
[关键词]运筹学；线性规划；物流管理
[DOI]10.13939/ki.zgsc.2015.07.024
1 物流系统与线性规划
物流系统是由运输、仓储、包装、装卸搬运、配送、流通加工，物流信息等各环节要素所组成的，要素之间存在有机联系并具有使物流总体合理化功能的综合体。物流系统作为社会经济大系统的一个子系统具有输入、转换及输出三大功能，物流系统运行的主要目标包括服务目标、快速及时目标、节约目标、规模优化目标以及库存调节目标。
线性规划法作为运筹学中理论最完善、方法最成熟、应用最广泛的一个分支，通过运用数学方法和工具，对所研究的问题求出最优解，寻求最佳的行动方案，实现统筹规划和各项资源的组织、筹划和调度，所以它也可看成是一门优化技术，提供的是解决各类问题的优化方法。线性规划所研究的问题主要有两类：一类是已给定一定数量的人力和物力资源，如何用这些资源完成最大量的任务；另一类是已给定一项任务，如何统筹安排，才能以最小量的资源去完成这项任务。即有关“多、快、好、省”的最优化问题。而物流系统实现高效运行以及克服系统中各要素的制约关系等问题都需要运用到线性规划方法来解决，因此二者相辅相成，互相促进。
为了有效地降低物流配送的成本，在时间、运输路线、仓储量等多目标下的物流储运成本的控制就成了关键的问题。运用线性规划的统筹学原理，将物流配送基于时间、路线的成本管理问题转化为线性规划数学模型，通过对模型的求解，使得物流配送的利益最大化有解；然而，构建不同的线性模型，所采用的算法的不一，也会对物流配送的最佳解产生直接的影响，因此，有必要对物流配送问题进行算法的比较研究，以期能够获得最接近于实际情况的模型，所求得的解具有一定的通用性。
2 线性规划法在物流管理中的应用
2.1 库存管理和控制问题
主要应用于解决多种物资库存量的管理，确定某些设备的能力或容量，如某仓库库存能力的大小，某港口码头的转运能力，车载量的大小等，这类问题的实质是通过目标函数的建立实现仓储资源的充分利用。
例如：某市新建一物流仓储中心，其平面图如图1所示，现有一批货物准备存入该物流仓储中心，具体有三种物品A、B、C，其量分别是7、4、9。已知各仓库存储能力及存储成本如表1所示，考虑到不同仓库存储能力、管理费用、入库成本，在总存储成本最小的前提下，分配三种物品。
解：
根据线性规划理论与方法，将仓库视为销地，货物视为产地，货物总量20，仓储总量20，将问题转化为一个产销平衡的线性规划问题，建立模型解得A物品存储5个单位在3号库，2单位在1号库；B物品存储3各单位在4号库，1个单位在1号库；C物品存储6个单位在2号库，3个单位在4号库。此时，得到最优的仓库分配方案，其存储费用为：3×1+6×4+5×3+2×10+1×8+3×5=85。
2.2 运输问题
这一问题历来是物流管理研究问题的重中之重，它包括了空运、水运、公路运输、铁路运输、管道运输以及内部物流、第三方物流的运输问题等。空运问题涉及飞行航班和飞行机组人员服务时间安排等，水运有船舶航运计划、港口装卸设备的配置和船到码头后的作业安排，公路运输除了汽车调度计划外，还有公路网的设计和分析、最优路径的选择、司机的调度安排、行车时刻表的安排、运输费用的合理定价、车场的设立等一系列问题，都可以借助线性规划法予以解决。
例如：某运输公司接受了向抗洪抢险地段每天至少运输180吨的支援物资的任务，该公司有8辆载重为6吨的A型卡车和4辆载重为10吨的B型卡车，有10名驾驶员。A型卡车每天可往返4次，B型卡车每天可往返3次，每辆A型卡车每天往返成本为320元，B型为504元，问如何调配车辆，使公司成本最低？
2.3 配送问题
随着现代物流的发展，配送逐步成为物流中的一个重要组成部分，同时由于配送并不单单只是一个相对独立的物流功能，它从一产生起就表现出了相当强的综合性。从某种意义看，一个大型的物流配送中心几乎就是一个微缩的全过程物流，因此配送过程中涉及的运筹学问题也更多更复杂。比如货物分拣搭配、货配车、车配货、人员调度安排、库存空间分配等。
现代物流配送网络大多分为两级，各个大区再根据情况可划分为若干个小区，为降低运输成本和仓储成本，明确层次和关系以方便管理，对于物流配送网络来讲，一般有如下要求：
（1）为了方便网络中货物配送的运输和管理，所有货物必须从本层次的货物始发点发出，其他节点相互问不存在货物调配运输，这样，简化了物流配送网络，又避免了运输能力的浪费。
（2）货物即使在运输途中经过其他节点，也不调用途经节点的库存，故可以认为网络中同一层次的任何节点都是直接与本层次的货物始发节点相连通的。
（3）为了降低仓储成本，提高仓储效率，即各节点尽量降低仓储量，存储的货物只满足当地市场的需求，在情况允许的时候，甚至可以出现短时间少量缺货。
（4）货物从发货点到各个节点的运输方式和运输线路有多种方案可供选择，但对于特定物流网络中的某一货物来说，根据运输要求和市场需求的不同（如要求最短时间或最小费用），运输的相对最优方案是存在的，而且一段时间内比较稳定，物流配送网络中的运输能力是有限的，所以，发送物品量应当不大于物流配送网络的运输能力。
例如：某配送中心要配送两种货物，第一种货物单位价值3万元，单位体积2立方米，单位重量1吨；第二种货物单位价值4万元，单位体积3立方米，单位重量1吨，车辆的额定载重量为5吨，额定载重容积为8立方米，两种货物批量都为3吨，试用线性规划方法进行车辆配载，使车辆装载价值最大。
2.4 物流节点选址决策问题
这类问题主要解决优化物流中心以及其他物流节点的布局安排，增强物流节点布局的合理性，以最少的物流节点辐射尽可能大的物流活动区域，增大物流节点建设实施的可行性。
例如：某配送中心有三个备选地，供应商2个，客户3个，相关参数如表2所示，用线性规划方法进行选址决策。
目前，以计算机为手段，应用运筹学、数理统计等方法和系统理论，已成为支撑现代物流管理的有效工具，相信在物流管理系统中，运筹学与信息技术的有效结合，将使物流管理上升到一个更高的水平。
参考文献：
[1]任志霞.物流配送系统中的运筹学问题及其方法研究[J].物流科技，2007（3）.
[2]李创，王丽萍.物流管理[M].北京：清华大学出版社，2008.
