发布时间：2023-03-15 15:04:19
序言：写作是分享个人见解和探索未知领域的桥梁，我们为您精选了8篇的解方程应用题样本，期待这些样本能够为您提供丰富的参考和启发，请尽情阅读。
关键词：直译法；小学数学；方程应用题
中图分类号：G623.5 文献标志码：B 文章编号：1674-9324（2013）36-0095-02
列方程解应用题的一般步骤是：审、设、列、解、验、答。
审题：审题就是要弄清楚题目中事物的已知量和未知量间的基本数量关系。
设元：合理选择未知数是解题的关键步骤之一。一般设直接未知数，即把题目所求量设为x。特殊情况下也可设间接未知数，即把与所求量相关的某个量设作x.
列方程：把题目中用语言叙述的数量关系用数学式子表示出来。格局题目所设的条件，利用等量关系布列含有未知数的等式——方程。
解方程：求出未知数x。
检验：检查验证方程得解是否合乎题意和实际。
答：写出正确的答语。
解决这类问题的方法很多，现结合实例介绍一下“直译法”以供参考。“直译法”即将题目中的关键性信息或数量及各个数量之间的关系翻译成数学式子，然后根据代数式之间的内在联系找出数量关系。
【例1】2009年12月联合国气候会议在哥本哈根召开，从某地到哥本哈根，若乘飞机需要3小时，若乘汽车需要9小时。这两种交通工具平均每小时二氧化碳的排放量之和为70千克，飞机全程二氧化碳的排放总量比汽车的多54千克，分别求飞机和汽车平均每小时二氧化碳的排放量。
【分析】题目中设计到两种交通工具平均每小时二氧化碳的排放量，我们用“飞机”代替飞机平均每小时二氧化碳的排放量，用“汽车”代替平均每小时二氧化碳的排放量。根据题目中数学语言，我们可以直译得到两个等量关系：①飞机+汽车=70，②3飞机-9汽车=54。然后利用①来设未知数，用②列方程即可。
【解】设飞机平均每小时二氧化碳的排放量为x千克，则汽车平均每小时二氧化碳的排放量为（70-x）千克，根据题意，得
3x-9（70-x）=54
3x-630+9x=54
？摇？摇12x=684
？摇？摇X=57
70-x=70-57=13（千克）
【答】飞机和汽车平均每小时二氧化碳的排放量分别为57千克和13千克。
【例2】一位妇女在河边洗碗，邻居问：“家里来了多少客人，要用这么多碗？”她回答说：“客人每人用一个饭碗，每两位合用一个菜碗，每三位合用一个汤碗，共用了66个碗。”她家究竟来了多少位客人？（我国古代的数学问题）
【分析】题目中有很多的日常用语，根据这些语言的叙述我们知道这位妇女家所来的客人的人数是1，2，3的倍数，而1，2，3的最小公倍数是6，所以我们可以设她家来了6x位客人。然后把题目中日常用语翻译乘代数式。
从表格中很容易得到方程。
【解】设她家来了6x位客人，根据题意，得
？摇？摇6x+3x+2x=66
？摇？摇？摇？摇11x=66
？摇？摇？摇？摇？摇x=6
？摇？摇6x=6×6=36（位）
【答】她家来了36位客人。
【例3】某校六年级近期实行小班教学，如果每间教室安排20名学生，那么缺少3间教室；如果每间教室安排24名学生，那么空出一间教室。问共有教室多少间？六年级有多少人？
【分析】本题中有2个未知量：人数和教室间数。我们可以设原来每人搬x块砖，用“人”字代表原来人数，用“教”代表教室间数。由“如果每间教室安排20名学生，那么缺少3间教室”得到代数式：人=20（教+3）；由“如果每间教室安排24名学生，那么空出一间教室”得到代数式：人=24（教-1）.根据如此分析很容易看出我们可以用人数相等来列方程。
【解】设某校共有x间教室，根据题意，得
？摇？摇20（x+3）=24（x-1）
？摇？摇20x+60=24x-24
？摇？摇？摇？摇84=4x
？摇？摇？摇？摇x=21
？摇？摇？摇？摇20（x+3）=20×24=480（人）
【答】共有教室21间，六年级有480人。
【例4】甲每分钟走50米，乙每分钟走60米，丙每分钟走70米，甲、乙从A地、丙从B地同时相向出发，丙遇到乙以后2分钟又遇到甲。求A、B两地的距离。
【分析】由于路程=速度×时间，现已知速度求距离，故可以直接设距离为x，也可设时间为x，现用两种方法解之。
【解法1】设乙、丙相遇时已用了x分钟，则甲、丙相遇时用了（x+2）分钟，故A、B两地的距离等于乙、丙相遇时乙、丙所行路程的和，也等于甲、丙相遇时甲、丙所行路程的和。
乙、丙相遇时乙、丙所行路程的和=（60+70）x=130x
甲、丙相遇时甲、丙所行路程的和=（50+70）×（x+2）
？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇？摇=120x+240
所以有方程130x=120x+240
解这个方程得x=24，即乙、丙24分钟相遇。
所以A、B两地的距离=130×24=3120（米）。
【解法2】设A、B两地的距离为x米。则乙、丙相遇所需时间为x÷（60+70）分钟，甲、丙相遇所需时间为x÷（50+70）分钟，由此得方程
x÷120-x÷130=2
解这个方程，在原方程左右两边同时乘以（120×130）得
130x-120x=2×120×130
？摇？摇10x=31200
？摇？摇X=3120
教学目的
1．通过复习，使学生能够运用所学知识，采用列方程的方法解答应用题．
2．通过复习，使学生能够准确的找出题目中的等量关系．
3．培养学生的分析以及综合能力．能够从不同角度解决同一个问题．
教学重点
通过复习，使学生能够准确的找出题目中的等量关系．
教学难点
通过复习，使学生能够准确的找出题目中的等量关系．
教学过程
一、复习准备．
1．求未知数．
×＝－＝÷＝1
－＝÷＝1－＝
解方程求方程的解的格式是什么？
2．找出下列应用题的等量关系．
①男生人数是女生人数的2倍．
②梨树比苹果树的3倍少15棵．
③做8件大人衣服和10件儿童衣服共用布31.2米．
④把两根同样的铁丝分别围成长方形和正方形．
我们今天就复习运用题目中的等量关系解题．（板书：列方程解应用题）
二、复习探讨．
（一）教学例3．
一列火车以每小时90千米的速度从甲站开往乙站，同时有一列货车以每小时75千米的速度从乙站开往甲站，经过4小时相遇，甲乙两站的铁路长多少千米？
1．读题，学生试做．
2．学生汇报（可能情况）
（1）（90＋75）×4
提问：90＋75求得是什么问题？再乘4求的是什么？
（2）90×4＋75×4
提问：90×4与75×4分别求的是什么问题？
（3）÷4＝90＋75
提问：等号左边表示什么？等号右边表示什么？对不对？为什么？
（4）÷4－75＝90
提问：等号左边表示什么？等号右边表示什么？对不对？为什么？
（5）÷4－90＝75
提问：等号左边表示什么？等号右边表示什么？对不对？为什么？
3．讨论思考．
（1）用方程解这道应用题，为什么你们认为这三种方法都正确？
（等号的左右表示含义相同）
（2）列方程解应用题的特点是什么？
两点：
变未知条件为已知条件，同时参加运算；
列出的式子为含有未知数的等式，并且左右表示的数量关系一致
（3）怎样判定用方程解一道应用题是否正确？（方程的左右是否为等量关系）
4．小结．
（1）小组讨论：用方程解应用题和用算术方法解应用题，有什么不同点？
（2）小组汇报：
①算术方法解应用题时，未知数为特殊地位，不参加运算；用方程解应用题时，未知数与已知数处于平等地位，可以参加列式．
②算术方法解应用题时，需要根据题意分析数量关系，列出用已知条件表示求未知数的量；用方程解应用题时，根据题目中的数量关系，列出的是含有未知数的等式．
（二）变式反馈：根据题意把方程补充完整．
1．甲乙两站之间的铁路长660千米．一列客车以每小时90千米的速度从甲站开往乙站，同时有一辆货车以每小时75千米的速度从乙站开往甲站．经过多少小时两车相遇？
2．甲乙两站之间的铁路长660千米．一列客车从甲站开往乙站，同时有一辆货车从乙站开往甲站．经过4小时两车相遇，客车每小时行90千米，货车每小时行多少千米？
教师提问：这两道题有什么联系？有什么区别？
三、巩固反馈．
1．根据题意把方程补充完整．
（1）张华借来一本116页的科幻小说，他每天看页，看了7天后，还剩53页没有看．
_____________＝53
_____________＝116
（2）妈妈买来3米花布，每米9.6元，又买来元毛线，每千克73.80元．一共用去139.5元．
_____________＝139.5
_____________＝9.6×3
（3）电工班架设一条全长米长的输电线路，上午3小时架设了全长的21%，下午用同样的工效工作1小时，架设了280米．
_____________＝280×3
2．解应用题．
东乡农业机械厂有39吨煤，已经烧了16天，平均每天烧煤1.2吨．剩下的煤如果每天烧1.1吨，还可以烧多少天？
小结：根据同学们的不同方法，我们需要具体问题具体分析，用哪种方法简便就用哪种方法．
3．思考题．
甲乙两个港相距480千米，上午10时一艘货船从甲港开往乙港，下午2时一艘客船从乙港开往甲港．客船开出12小时后与货船相遇．如果货船每小时行15千米．客船每小时行多少千米？
四、课堂总结．
通过今天的复习，你有什么收获？
五、课后作业．
1．师傅加工零件80个，比徒弟加工零件个数的2倍少10个．徒弟加工零件多少个？
2．徒弟加工零件45，比师傅加工零件个数的多5个．师傅加工零件多少个？
六、板书设计
列方程解应用题
列方程解应用题的窍门枚不胜举，其中找准等量关系处于核心地位，类似解决价格问题、银行利率问题、溶液浓度问题和工程问题等必须通过找准等量关系才能解决问题.它包括列表分析法、译式分析法、线示分析法、逆推法和图示分析法等.在初中数学中涉及的列方程求解应用题的题型中，前四种方法的使用比较普遍.
其一，列表分析法.所谓列表分析法就是将题目中的已知量和未知量表示到表格中，综合利用表格分析出各种量之间的关系，最后列出相应方程的方法.此法操作比较简单，大部分学生容易理解和掌握.
其二，译式分析法.顾名思义，译式分析法就是将题目中关键性的词语“翻译”成代数式，把相应的文字“翻译”成代数语言，从而顺利分析出它们之间的内在关系.一般按照三大步骤进行：
首先，教师要有的放矢地引导学生设出未知量，也就是“翻译”未知量.
其次，让学生明白题目中的主要属性，即：“翻译”属性量，用已知与和未知两个要素组合成的代数式，从而为列式作好准备.
第三，我们要积极鼓励学生成功“翻译”等量，即：同时表示一个属性量的两个代数值一定相等.学生只有在分析的基础上正确理解题意，逐项进行“翻译，”才能在完成“翻译”时初步列出方程.
例1某县有42万人口，计划一年后农村人口增加1.1%，城镇人口增加0.8%，这样全县人口将增加1%，求这个县现在的农村人口与城镇人口各多少.
分析该题有两个未知数，农村人口与城市人口.
属性量和关系：①农村人口=总人口-城镇人口，②农村人口×1.1%=总人口×1%-城镇人口×0.8%.
变换过程：①设目前该县城镇人口是x万，农村人口则为(42-x)万；②一年后该县的城镇人口增加(0.8%x)万，农村人口增加1.1%(42-x)万，总人口增加42×1%万. ③由上述题意得方程：1.1%(42-x)=1%×42-0.8%x，解方程得x=14，则42-x=28.所以，农村人口是28万，城镇人口是14万.
其三，线示分析法.这个方法比较适合相遇问题和追击问题，一般用线示分析法通俗易懂，能促使学生快捷地找到题目中相应的等量关系.
其四，逆推法.所谓逆推法，俗称还原法，也就是把问题发生的顺序倒过来，采用逆向思维推算的方法逐步还原来解答一些问题.在平时，不少学生在解应用题时习惯用直接解法，但有些较难的比较适宜使用逆推法，从而达柳暗花明又一村的美妙境界.
二、采用总分法是列方程解应用题航灯
采用总分法列方程解应用题能使学生方向明确，从而帮助学生按照总量等于各分量之和正确列出方程，但在操作过程中学生千万不能遗漏各分量.
例2这里曾经埋葬着丢番图，请你计算一下他一生经过了多少岁月历程，他一生的六分之一是快乐的童年，十二分之一是童趣的少年，再度过七分之一的时光，他建立了美满幸福的小家庭.五年后儿子出生，不料儿子竟先其父四年而终，只活到父亲岁数的一半.晚年丧子的老人真可怜，悲痛之中度过了风烛残年.试测算一下，丢番图的寿命(总年龄)到底多少？
分析这是著名的丢番图的“墓志铭”，题目巧妙地把他活的总寿命分割成若干时段，而他各时段的分年龄之和就是他的寿命.
解：设丢番图的一生活了x年，据题意得：x=x6+x12+x7+5+x2+4，解之得x＝84，所以，丢番图的寿命是84岁.同时，我们在由此题的解答中，还可知道古希腊的这位大数学家丢番图33岁结婚，38岁得子，80岁死了儿子，儿子只活42岁.
三、驾驭多媒体技术是列方程解应用题的添加剂
初中数学知识是比较抽象的，不少学生学习数学时感到力不从心.假如合理驾驭多媒体技术可以扭转枯燥乏味的被动局面，不仅弥补学生的生活经验不足，而且激发学生的学习积极性.
例3已知5台A型机器一天生产的合格成品装满8箱后还剩4个，7台B型机器一天生产的合格成品装满11箱后还剩1个，每台A型机器比B型机器一天多生产1个成品，试求每箱有多少个成品.
由于学生不仅不熟悉车间的生产劳动的情况，而且对这个车间A、B两种型号的机器模糊不清，因此，难于找到问题中蕴含的等量关系，给解答问题造成了障碍.针对类似情况，我们不妨利用现代多媒体技术，播放一些社会、生产片断，让学生在视觉上直观机器生产成品的情况，从而有利于把抽象的应用题形象化，有利于激发学生兴趣，教学效果显著.
四、巧用相似思维是列方程解应用题的后盾
【关键词】：函数思想；方程思想；应用
[Abstract]: function and equation is the most important content in middle school mathematics. Function and equation thought is one of the important basic thought of in the high school mathematics, has been widely used in problem solving, over the years is a key test of the college entrance examination.
[keyword]: function; equation; application
中图分类号：G623.5 文献标识码：A 文章编号：2095-2104（2013）
函数与方程是中学数学中最为重要的内容。函数与方程思想更是中学数学中的重要基本思想之一，在解题中有着广泛的应用，是历年来高考考查的重点。
函数的思想，是用运动和变化的观点、集合与对应的思想，去分析和研究数学问题中的数量关系，建立函数关系或构造函数，再利用函数的图像和性质去分析问题、转化问题，从而使问题获得解决。函数思想的精髓就是构造函数。w.w.w.k.s.5.u.c.o.m
方程的思想，是分析数学问题中变量间的等量关系，从而建立方程或方程组，通过解方程或方程组，或者运用方程的性质去分析、转化问题，使问题获得解决。
方程的思想与函数的思想密切相关，函数与方程的思想方法，几乎渗透到中学数学的各个领域，在解题中有着广泛的运用。对于函数，当时，就转化为方程，也可以把函数式看做二元方程，函数与方程这种相互转化的关系十分重要。
函数与表达式也可以相互转化，对于函数，当时，就转化为不等式，借助与函数的图像与性质可以解决不等式的有关问题，而研究函数的性质，也离不开解不等式。
数列的通项或前项和时自变量为自然数的函数，用函数观点去处理数列问题也是十分重要。
函数与二项式定理密切相关，利用这个函数，用赋值法和比较系数法可以解决很多有关二项式定理的问题。
解析几何中的许多问题，例如直线与二次曲线的位置关系问题，需要通过解二元方程组才能解决，这都涉及二次方程与二次函数的有关理论。
立体几何中有关线段、角、面积、体积的计算，经常需要运用列方程或建立函数表达式的方法加以解决。建立空间向量后，立体几何与函数的关系就更加密切。
函数思想在解题中的应用主要表现在两个方面：一是借助初等函数的性质，解有关求值、解（证）不等式、解方程以及讨论参数的取值范围等问题;二是在问题的研究中，通过建立函数关系式或构造中间函数，把所研究的问题转化为讨论函数的有关问题，达到化难为易、化繁为简的目的。
高考中的方程和不等式问题包括方程、不等式的求解及方程、不等式观点的应用，可以分成逐渐提高的四个层次。
第一层次：解方程或不等式，主要是指解代数（一次、二次等）方程或不等式，指数、对数方程或不等式，三角方程或不等式，复数方程等；
第二层次：对带参数的方程或不等式的讨论，常涉及二次方程的判别式、韦达定理、区间根、区间上恒成立的不等式等问题；
第三层次：转化为方程的讨论，如曲线的位置关系（包括点与曲线及直线与曲线的位置关系）、函数的性质、集合的关系等；
第四层次：构造方程或不等式求解问题。
其中第三、四层次（特别是第四层次）已经进入到方程、不等式观点应用的境界，即把方程、不等式作为基本数学工具去解决各个学科中的问题。
纵观中学数学，可谓是以函数为中心，以函数为纲，“纲举目张”，抓住了函数这个“纲”就带动起了中学数学的“目”。即使对函数极限、导数的研究，也完全是以函数为对象、为中心的。熟练掌握基本初等函数的图像和性质，是应用函数与方程思想解题的基础。善于根据题意构造、抽象出函数关系式是用函数思想解题的关键。
函数思想
所谓函数思想，不仅仅是使用函数的方法来研究和解决函数的问题，它的精髓是运用函数分析问题、、解决问题的观点、方法，是通过构造函数关系，使用函数方法来解决问题的思想。
构造函数，运用函数的性质
例1.（1）已知关于的方程有唯一解，求的值；
（2）解不等式。
分析：（1）构造函数，则问题转化为求的零点唯一时的。
（2）由观察可构造函数再利用函数的性质，解决问题。
解析：（1）令，
的图像关于轴对称，而题设方程由唯一解，从而此解必为（否则必有另一解），。
（2）设，易证在区间内为增函数。点评：有关不等式、方程及最值之类的问题，通过构造函数关系式，借助函数的图像与性质，常可使问题简单得解。
2.选定主元，揭示函数关系
例2．对于的一切值，使不等式恒成立的的取值范围是
分析：从一个含有多变元的数学问题里，选定合适的主变元，从而揭示其中主要的函数关系。
解析; 且，，即。①
当时，不定式①不成立。
当时，设。
当，
即又当，
即故的取值范围时。
点评：本解的巧妙之处是“反客为主”，求x反而以a为主变元对x进行讨论，这才是真正切中要害。若以x为主元对a进行讨论，则问题的解决就繁就难多了。
3．选取变元，确定函数关系
例3．函数的值域是。
分析：一般思路是：平方，移项，孤立根式，再平方，可以化无理式为有理式。面对这样一个低于四次的含双变量的方程，其难度真不敢想象。然而，可考虑转换选取新变元。
解析：由，设，
那么，
当
点评：虽然经选取变元后的函数简洁明快，可以使人拍案叫绝，但须特别注意到：转化后的函数上没有单调性，故最大值不能在其右端点取得。
4.利用二项式定理构造函数
例4：求证：。
分析：构造函数，比较两个展开式中的系数。
解析：令，展开式中的系数，又
其中的系数为，故=。
点评：利用函数，用赋值法或“二项”展开来比较系数可以解决许多二项式定理有关的问题。
5.用函数的思想方法解数列题
例5.已知不定式对一切大于1的自然数n都成立，求实数a的取值范围。
分析：无法求和，常规数列的方法就不起作用了，故必须用函数的思想，用研究函数单调性的方法研究这个数列，求出最小值。
解析：令
，
所以为增函数，且
由题意得。
点评：利用数列的函数性质（本例为单调性）求出的最小值。用函数方法解决问题，正是函数思想的核心。
6.建立函数关系解应用题
例6.用总长为14.8m的钢条制成一个长方体容器的框架，要求底面的一边比另一边长0.5m，那么高为多少时容器的容积最大？并求出它的最大容积。
分析：这里有四个变量：底面的长、宽、长方体的体积和高。设长、高可用x表示，容积y是x的函数。运用长方体的体积公式，建立目标函数表达式，再求函数的最大值。
解析：设容器底面宽为x(m),则长为x+0.5(m),高为
由，设容器的容积为y(m),则有
整理得，求导，得
，令即
解得。从而，在定义域内只有在。因此，当时，y取得最大值，这时，高为。
答：当容器的高为1.2m时，容积最大，最大容积是1.8(m)。
点评：此题容易忽视的时自变量x的取值范围，缺少它，很难判断求出的最大值是否符合题意。另外，适当设出自变量，建立函数关系是解此类题的关键。本题在求函数最大值时，是用求导的方法求出极值点，再根据实际情况判断是最大值还是最小值。
7.函数思想在几何中的应用
例7 如图,是圆的直径,垂直于圆所在平面,是圆周上任意一点,设,.求异面直线和的距离.
分析：因为异面直线间的距离是连结异面直线上任意两点的线段中的最短者, 因此本题可用求函数最小值的方法来解, 这里建立函数表达式是解题的关键
解析： 在上任取一点,过点作于,过作于,连结,设,由题设易证
因为是等腰直角三角形,所以
在中,
因为,
所以,当时,
点评：本题主要是根据几何关系建立函数关系式,通过解决函数问题来求出对应的几何问题.
方程的思想
方程与函数密切相关，在解题中，方程的思想占有重要的地位，也是近年来高考所重点考查的数学思想方法之一。
解方程或分析方程的解
例8.已知实数成等差数列，成等比数列，且求。
分析：利用数列的有关公式，列出方程组求解。
解析：由题意得由1、2两式，解得，将带入3式，整理得
故。经验算，上述两组数符合题意。
点评：本题的列方程组和求解的过程，体现的就是方程的思想。
2通过换元构成新的方程
例9.关于的方程恒有解，求的取值范围。
分析：通过换元将方程变为二次方程恒有正根，同时利用根与系数的关系。
解析：（法一）设原方程有解即方程有正根，
即，
解得
（方法二）设
①当
；
②.
综上可得，。
点评：对于多元方程（含参数）通常有两类办法：一是换元，将问题转化为二次方程，利用根与系数的关系或判别式，或者利用三角函数的有界性加以解决；二是分离变量构造函数，把方程有解转化为求函数的值域，再根据函数的图像和性质来解决。
3.构造方程求解
例10.设函数，且存在使得成立。
⑴若
⑵若直线的图像交与M,N两点，且M,N两点的连线被直线平分，求出的最大值。
分析：对于⑴小题，由题设条件易得，由方程根的意义可构造一个根为的一元二次方程，再借助韦达定理发现与对称轴的关系。最后运用二次函数的单调性可判断出；第⑵小题可先建立的函数关系式，再运用均值不等式可求得的最大值。
解析：⑴由题意
的图像的对称轴为，
⑵
。由，代入直线方程，得
当且仅当。
点评：若没有方程的思想意识，则不能从中观察出m,n是某一个一元二次方程的两根，从而也就无法得出这样有用的关系式，使解答陷入困境。因此，由根的意义或韦达定理构造一元二次方程是最常见的思路，不可忽视。
函数与方程相互转化的思想
解题时，不能局限于函数思想或方程思想，而应该根据两者之间的相互关系，使其能相互转化，以达到快速解题之目的。
例11.已知抛物线
⑴当为何值时，抛物线与轴有两个交点？
⑵若关于的方程的两个不等实根的倒数平方和不大于2，求的取值范围；
⑶如果抛物线与轴相交于A,B两点，与轴交于C点，且的面积等于2，试确定的值。
分析：⑴令函数，则转化为求方程有两个不等的实根时的值；⑵利用根与系数的关系转化成解不等式；⑶建立面积的函数关系式，再求函数值为2时方程的解。
解析：⑴令据题意，须，
即。
⑵在得
所以m的取值范围是
⑶由。
点评：型的抛物线，二次方程以及二次不等式之间相互关联，应特别关注它们相互转化时的等价性和互补性。
列方程解应用题是在用算术方法解应用题的基础上进行教学的。它以四则运算的基本应用和常见的数量关 系为依据，综合运用了用字母表示数、解方程等知识，有特殊的解题思路和方法，有完整的解题步骤和程序。
教材中“列方程解应用题”这一小节中的例1、例2，安排的是用方程解比较简单的两步计算应用题，且为 用算术解法时需要逆思考的题目。通过教学可以使学生清楚地看出列方程解应用题的基本方法和特点，了解两 种解题方法的不同，较好地掌握用方程解题的思路，总结出解题的步骤。从而为后面学习用方程解一般的两、 三步计算的应用题打下基础。
列方程解应用题的思路比较简单、顺畅，思维难度小，且解法划一，可以使一些应用题化难为易（特别是 逆向思考的还原应用题和两步计算的和倍、差倍及分数应用题等），有明显的优越性，这对提高学生应用数学 基础知识，解决简单的实际问题的能力，有积极作用。
制定一节课的教学目标，通常可以从应掌握哪些基础知识、基本技能；培养哪些能力；使学生受到哪些思 想品德教育及培养良好的学习习惯等方面考虑。
本课时的教学目标是：
1.初步学会列方程解应用题，初步掌握列方程解应用题的一般步骤和方法；
2.初步体会代数解法的优越性，能正确地用方程解较简单的、逆思考的两步应用题；
3.培养学生分析、比较、概括的能力和认真思考、仔细检验的良好习惯。
本课时的重点是分析数量关系和根据等量关系正确地布列方程。
本课时的难点是确立与列算术式不同的表示等量关系的思路和等量关系的寻求。
本课时的关键是教会学生写出显示相等关系的数量关系式。
二
新知识教学前的准备
1.（1）出示比较简单的、数据较小的方程， 让学生用口算的方法解方程。
（2）出示比较简单的、与例题相关的文字叙述题， 让学生列出方程，并解方程。为寻求等量关系列方程 解应用题作好铺垫。
2.出示课本中例1前的复习题，指名学生板演两种解法， 其他学生座练，教师巡视注意辅导后进生。然后 师生共同评讲，简要指出：解法一需要逆向思考；解法二设原来有x千克后， 只需按题目叙述顺序列出方程， 通过比较使学生初步体会方程解法的优越性。进而教师再指出：解法二我们已经学过，实际就是列方程解应用 题，今天我们要学习用方程解答一些步数较多的应用题，这样很自然地导入新课。
新知识教学中的要点
1.关于例1的教学，从算术方法解应用题到列方程解应用题， 是学生认识上的一次飞跃。学生初学列方程 解应用题时，容易受长期使用的算术解法的干扰。故要帮助学生做好从算术解法到代数解法的过渡工作。一方 面由例1前的复习题引伸为例1，使学生切实掌握常见的基本数量关系，找到新、旧知识的衔接点；另一方面由 已出现过的定向地把方程写完全的题型，过渡到列方程解应用题，使学生初步确立方程解法的思路，并按照这 种思路去寻找题中的等量关系，这是至关重要的一步。
教学例1时，要具体说明解题步骤， 为后面概括解题步骤打好基础。同时，要注意点拨和纠正各个步骤中 容易出现的问题。如：在设未知数时，设句要完整明白，并注上单位名称；方程的解是数，不是数量，不要加 上单位名称；答句和设句要一致等。
2.关于例2的教学，教学时，引导学生弄清题意， 明确哪些是已知的，哪些是未知的，要着重分析数量关 系，写出体现相等关系的表达式，再列出方程。解方程及答让学生自己完成。课本中的想一想：“这道题还可 以怎样想？列出方程来。”教师要留给学生适当的思考空间，让学生寻找不同的等量关系列出方程。
3.总结列方程解应用题的步骤的教学。通过比较两例的教学过程，师生共同结合列方程解应用题的特点， 总结列方程解应用题的一般步骤。教师概括操作程序，即审题—选元—寻找等量关系—列方程—解方程—检验 —写答。
新知识教学后的练习
1.练习要紧紧围绕教学目标进行，如第1 题要求先找数量间的相等关系，再把每个方程补充完整；第2 题 结合解题过程说出列方程解应用题的步骤；第3题要求列出不同方程解题。这些都是为复习巩固新知，实现教学 目标而服务的。
2.练习要注意循序渐进、由易到难，按上面三道练习题的顺序排列，使学生在练习中对所学新知得到逐步 巩固和提高。另外，还要注意对不同层次的学生提出不同的要求。如第1 题对优等生可以要求找出其他相等关 系列方程；第3题对差生只要求能求得解答。
三
教学的基本思路和方法
1.处理好教与学的关系。教师既要做到点拨引导，又要敢于放手引导学生参与尝试和讨论，展开思维活动 。如列方程解应用题的关键之处，教师要着重指导学生思考、探索挖掘等量关系的方法；解题步骤的总结要启 发学生结合实例分步予以概括等。
2.抓住本课时教学内容新旧知识联系紧密的特点，直接从新旧知识的连接点展开，既有利于突出重点，突 破难点，又能节省教学时间，以便集中力量加强练习，提高教学效果。如例1 由复习题增添一个条件引伸而来 ，以复习题为基础教学例1 有助学生明确新知新在何处及较顺利地寻求等量关系列出方程。教学例1后，例2只 需着重指导解题的前两步，后两步则可放手让学生自己去完成。
学习方法的指导
例1 某同学采用如图1所示的装置来研究光电效应现象。当用某单色光照射光电管的阴极K时，会发生光电效应现象。闭合开关S，在阳极A和阴极K之间加上反向电压，通过调节滑动变阻器的滑片逐渐增大电压，直至电流计中电流恰为零，此电压表电压值U称为反向截止电压，根据反向截止电压，可以计算到光电子的最大初动能Ekm，现分别用频率为v1和v2的单色光照射阴极，测量到反向截止电压分别为U1和U2设电子质量为m，电荷量为e，则下列关系式中不正确的是（ ）。
A.频率为ν1的光照射时，光电子的最大初速度vmax=■
B.阴极K金属的逸出功W=hv1-eU1
C.阴极K金属的极限频率v0=
■
D.普朗克常数h=■
解析：由能量守恒可知A、B两选项关系式正确，由光电效应方程h■-W=Ekm和Uq=Ekm，得逸出功W=hv1-eU1=hv2-eU2 =hv0可得普朗克常数h=■，将其代入后得v0=■，只有C选项的关系式不正确。
二、与磁场结合
例2 如图2所示，真空中金属板M、N相距为d，当N板用波长为λ的光照射时，电路中的电流恒为I。设电子的电荷量为e，质量为m，真空中光速为c。当垂直于纸面再加一匀强磁场，且磁感应强度为B时，电路中的电流恰好为零，求从N板逸出光电子的最大初动能和N板的逸出功？
解析：根据光电效应的原理，从N板逸出的光电子的动能和速度方向各不相同，加上磁场后，只要平行于N板且动能最大的电子不能到达M板，则其他方向，动能无论多大的电子均不能到达M板，此时，电路中电流恰好为零。设具有最大初动能的电子速率为v，由牛顿第二定律，有evB=m·■
得：v=■
故，电子的最大初动能Ekm=■mv2=■
根据爱因斯坦光电效应方程，设N板的逸出功为W，有 h■=W+Ekm
解得：W=h■-Ekm=h■-■
三、与平行板电容器结合
例3 如图3，真空中有一平行板电容器，两极板分别由铂和锌（其极限波长分别为λ1和λ2）制成，板面积为S，间距为d。现用波长为λ（λ1
A.■（■） B.■（■）
C.■（■） D.■（■）
解析：λ1
四、光电方程中的逸出功不能为零
例4 分别用波长为λ的单色光照射两块不同的金属板，发出的光电子的最大初动能分别为4eV和2eV，当改用波长为的单色光照射时，其中一块金属板发出的光电子的最大初动能为8eV，则另一块金属板发出的光电子的最大初动能为 （ ）。
A.4eV B.6eV C.10eV D.16eV
解析：由光电效应方程h■-W=Ekm可知，用波长为λ的单色光照射金属板Ⅰ时，h■-W1=4，照射金属板Ⅱ时，h■-W2=2；用波长为■的单色光照射金属板Ⅰ时，h■-W1=8，照射金属板Ⅱ时，h■-W2=EKm2，解得：EKm2=6eV，但是将h■-W1=4和h■-W1=8，联立解得W1=0，所以B错误；用波长为■的单色光照射金属板Ⅱ时，h■-W2=8，照射金属板Ⅰ时，h■-W1=EKm1，EKm1=10eV，W1、W2均不为零。所以C正确。
五、与图线结合
例5 如图4所示是用光照射某种金属时逸出的光电子的最大初动能随入射光频率的变化图线，（直线与横轴的交点坐标4.27，与纵轴交点坐标0.5）。由图可知（ ）。
■
A.该金属的极限频率为4.27×1014 Hz
B.该金属的极限频率为5.5×1014 Hz
C.该图线的斜率表示普朗克常量
注：在实际问题中往往出现两个或两个以上的等量关系式，其中被选作列方程的等量关系式叫做基本等量关系式，其余的称之为辅助等量关系式.
例1(2011吉林长春)小玲每天骑自行车或步行上学，她上学的路程为2800米，骑自行车的平均速度是步行平均速度的4倍，骑自行车比步行上学早到30分钟，求小玲步行的平均速度.
解析本例是有关行程的问题，此类问题中有三个基本量：路程、速度和时间，它们之间的基本关系是：路程=速度×时间，在这三个基本量中，知其二可求其一.本题中涉及两种交通方式，数量关系较为复杂，可以制作4行4列表，并把题目中有关的量填入表格.
速度关系：骑车速度是步行速度的4倍①，
时间关系：骑车时间比步行时间少30分钟②.
方法一以①为基本等量关系式，需要设时间.
设骑车时间为x分钟，则由关系②得步行时间为(30+x)分钟,
骑自行车步行等量关系路程28002800相等时间x30+x速度2800x280030+x①由①得
2800x=280030+x×4，
解之得x=10.
所以小玲步行的速度为
280010=280 米/分钟.
方法二以②为基本等量关系式，需要设速度.
设步行的速度为x米/分钟，则由关系①得骑车速度为4x米/分钟.
骑自行车步行等量关系路程28002800相等速度4xx时间28004x2800x②由②得
2800x-28004x=30，
解之得x=280.
答：小玲步行的速度为280米/分钟
点评本题的目的是让学生学会用“列表法”整理应用问题的数据，分析应用题的数量关系,完成应用题建模的关键环节.本例的二种解法实质上也是我们通常所讲的未知数的两种设法：直接设未知数、间接设未知数.当然就这个题目而言直接设未知数简单.
例2(2011广西崇左)今年入春以来，湖南省大部分地区发生了罕见的旱灾，连续几个月无有效降水.为抗旱救灾，驻湘某部计划为驻地村民新建水渠3600米，为使水渠能尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成修水渠任务.问原计划每天修水渠多少米？
解析本例是有关实际的工程类问题，此类问题中有三个基本量：工程总量、单位效率和工作时间，它们之间的基本关系同样是：工程总量=工作效率×工作时间.在这三个基本量中，知其二可求其一.本题中涉及两种情况：一种是原计划，一种是实际；同样可以制作4行4列表，并把题目中有关的量填入表格.
工作效率：实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍①，
工作时间：原计划时间比实际时间多20天②.
方法一以①为基本等量关系式，需要设时间.
设原计划需要时间为x天，则由关系②得实际所用时间为(x-20)天.
原计划实际等量关系工程总量36003600相等工作时间xx-20工作效率3600x3600x-20①由①得
3600x-20=3600x×1.8，
解之得x=45，
所以原计划每天修360045=80米.
方法二以②为基本等量关系式，需要设速度.
设原计划每天修x米，则由关系①得实际每天修1.8x米.
原计划实际等量关系工程总量36003600相等工作效率x1.8x工作时间3600x36001.8x②由②得
3600x-35001.8x=20，
解之得x=80.
答：原计划每天修80米.
点评本题同样可以根据不同的等量关系设未知数求解，关键是设的时候用辅助等量关系，再利用基本等量关系来列方程求解，而且通常情况下根据问题直接设未知数比较简单.
例3(2011年河北)甲乙两人准备整理一批新到的实验器材，若甲单独整理需要40分钟完工；若甲乙共同整理20分钟后，乙需单独整理20分钟才能完工.问乙单独整理多少分钟能完工？
解析本例是有关虚拟的工程类问题，总的工作量为单位1.此类问题中有三个基本量：工作总量、工作效率和工作时间，它们之间的基本关系是：工作总量=工作效率×工作时间.在这三个基本量中，知其二可求其一.本题中涉及两个人，同样可以制作4行4列表，并把题目中有关的量填入表格.
工作总量的关系：甲的工作总量+乙的工作总量=1.
以工作总量为基本关系式，设乙单独整理完成需要x分钟.
甲乙等量关系工作效率1401x工作时间2020+20工作总量140×201x×(20+20)甲+乙=1①由题意可得
2040+20+20x=1，
解之得x=80.
一、最值或参数的范围
例1长度都为2的向量OA，OB的夹角为60°，点C在以O为圆心的圆弧AB〖TX（〗（劣弧）上，OC=mOA+nOB，则m+n的取值范围是.
思维流程：
〖XCDP1.TIF〗
解析：建立平面直角坐标系，设向量OA=（2，0），向量OB=（1，〖KF（〗3〖KF）〗）.设向量OC=（2cosα，2sinα），0≤α≤〖SX（〗π3.
由OC=mOA+nOB，得（2cosα，2sinα）=（2m+n，〖KF（〗3〖KF）〗n），
即2cosα=2m+n，2sinα=〖KF（〗3〖KF）〗n，
解得m=cosα-〖SX（〗1〖KF（〗3〖KF）〗sinα，n=〖SX（〗2〖KF（〗3〖KF）〗sinα.
故m+n=cosα+〖SX（〗1〖KF（〗3〖KF）〗sinα=〖SX（〗2〖KF（〗3〖KF）〗3sin（α+〖SX（〗π3）∈[1，〖SX（〗2〖KF（〗3〖KF）〗3].
评注：求参数的取值范围是函数、方程、不等式、数列、解析几何等问题中的重要问题，解决这类问题一般有两种途径：其一，充分挖掘题设条件中的不等关系，构建以待求字母为元的不等式（组）求解；其二，充分应用题设中的等量关系，将待求参数表示成其他变量的函数，然后，应用函数知识求值域.
二、图象交点或方程根的问题
例2设函数f（x）=〖SX（〗1x，g（x）=-x2+bx，若y=f（x）的图象与y=g（x）的图象有且仅有两个不同的公共点A（x1，y1），B（x2，y2），则下列判断正确的是（填序号）.
（1）x1+x2>0，y1+y2>0
（2）x1+x2>0，y1+y2
（3）x1+x20
（4）x1+x2
思维流程：
〖XCDP2.TIF〗
解析：由于函数y=f（x）的图象在一、三象限且关于坐标原点对称，函数y=g（x）的图象过坐标原点，结合函数图象可知点A，B一定只能一个在第一象限、另一个在第三象限，即x1x2
问题即为方程-x2+bx=〖SX（〗1x仅有两个不同的实根，即方程x3-bx2+1=0有一个二重根、一个单根.根据方程根的理论，如果x1是方程x3-bx2+1=0的二重根，x2为一个单根，则x3-bx2+1=（x-x1）2（x-x2）=x3-（2x1+x2）x2+（x21+2x1x2）x-x21x2，这个等式对任意x恒成立，比较等式两端x的系数可得-x21x2=1，则x20，所以x1+x2>0，y1+y2
评注：函数图象的交点问题转化为方程根的问题是重要的方程思想，同时方程根的判断问题转化为函数的零点问题也是重要的函数思想，在解决此类问题时要注意灵活应用.
三、不等式恒成立问题
例3已知函数f（x）=lnx-〖SX（〗14x+〖SX（〗34x-1，g（x）=-x2+2bx-4，若对任意x1∈（0，2），x2∈[1，2]，不等式f（x1）≥g（x2）恒成立，求实数b的取值范围.
思维流程：
四、与数列最值有关的问题
例4若数列{an}的通项公式为an=〖SX（〗83×（〖SX（〗18）n-3×（〖SX（〗14）n+（〖SX（〗12）n，（其中n∈〖WTHZ〗N〖WTBX〗*），且该数列中最大的项为am，则m=.
思维流程：
〖XCDP4.TIF〗
解析：令x=（〖SX（〗12）n，则0
令f′（x）=0，解得x1=〖SX（〗14，x2=〖SX（〗12，所以f（x）在（0，〖SX（〗14]上为增函数，在（〖SX（〗14，〖SX（〗12]上为减函数.
所以f（x）max=f（〖SX（〗14），即当x=〖SX（〗14时，f（x）最大.所以当n=2时，an取得最大值，即m=2.
评注：数列问题函数（方程）化法与形式结构函数（方程）化法类似，但要注意数列问题中n的取值范围为正整数，涉及的函数具有离散性特点，这类问题主要涉及函数单调性与最值、值域问题的研究.
五、解析几何中的参数问题
例5椭圆C的中心为坐标原点O，焦点在y轴上，短轴长为〖KF（〗2〖KF）〗，离心率为〖SX（〗〖KF（〗2〖KF）〗2，直线l与y轴交于点P（0，m），与椭圆C交于相异两点A，B，且AP=3PB.
（1）求椭圆C的方程；
（2）求m的取值范围.
思维流程：
〖XCDP5.TIF〗
解析：（1）设椭圆C的方程为〖SX（〗y2a2+〖SX（〗x2b2=1（a>b>0），设c>0，c2=a2-b2，
由题意，知2b=〖KF（〗2〖KF）〗，〖SX（〗ca=〖SX（〗〖KF（〗2〖KF）〗2，所以a=1，b=c=〖SX（〗〖KF（〗2〖KF）〗2.
故椭圆C的方程为y2+〖SX（〗x2〖SX（〗12=1，即y2+2x2=1.
（2）设直线l的方程y=kx+m（k≠0），l与椭圆C的交点坐标为A（x1，y1），B（x2，y2），
由〖JB（{〗y=kx+m，2x2+y2=1，得（k2+2）x2+2kmx+（m2-1）=0，
Δ=（2km）2-4（k2+2）（m2-1）=4（k2-2m2+2）>0，（*）
x1+x2=〖SX（〗-2kmk2+2，x1x2=〖SX（〗m2-1k2+2.
因为AP=3PB，所以-x1=3x2，
所以〖JB（{〗x1+x2=-2x2，x1x2=-3x22.则3（x1+x2）2+4x1x2=0，即3・（〖SX（〗-2kmk2+2）2+4・〖SX（〗m2-1k2+2=0，
整理得4k2m2+2m2-k2-2=0，即k2（4m2-1）+（2m2-2）=0，
当m2=〖SX（〗14时，上式不成立；当m2≠〖SX（〗14时，k2=〖SX（〗2-2m24m2-1，
由（*）式，得k2>2m2-2，又k≠0，又k2=〖SX（〗2-2m24m2-1>0，故〖SX（〗2-2m24m2-1>2m2-2，解得-1
