发布时间：2023-06-18 10:42:46
序言：写作是分享个人见解和探索未知领域的桥梁，我们为您精选了8篇的数学除与除以的区别样本，期待这些样本能够为您提供丰富的参考和启发，请尽情阅读。
一、运用比较法，训练形象思维，丰富感知
小学生由于生活接触面窄，社会实践经验少，感性知识比较贫乏，空间想象力差，采用比较的方法进行教学，可使学生对感性知识获得较深刻的印象。如在教学毫米和分米的认识（人教版小学数学第五册）时，因为学生已经认识了“1厘米”，为了使学生对“1毫米、1分米”有比较正确的认识，可以让学生拿着尺子，对着“1毫米”和“1厘米”的刻度进行比较，再拿“1分米”和“1厘米”比较，然后让学生用手势表示出“1毫米”“1厘米”和“1分米”的长度，最后让学生填空：课桌宽大约是60（），一块橡皮的长大约是30（），数学教本的长度大约是2（）。通过这样的比较，学生对这些长度单位就有了比较深刻的印象。同样，用比较的方法教学面积单位、体积单位，也会取得很好的教学效果。
二、运用比较法，理解内涵，掌握概念
为了使学生正确地理解和掌握概念，就要揭示概念的本质属性，充分理解其内涵，而对事物进行比较是揭示概念本质属性和理解内涵的重要学习方法。如教学“整除”这个概念时，让学生对一些除法算式进行比较，如16÷8=2，9÷6=1.5，9÷1.5=6，10÷3=3……1，知道单有“商是整数而没有余数”这个条件，还不能判断一个数能被另一个数整除，还必须有“被除数和除数都是整数”这个条件才行。通过比较，学生正确地理解了整除的含义。再如教学“求比值”和“化简比”，要从意义、方法和结果三方面进行比较，“求比值”也就是求商，而“化简比”是把一个比较复杂的比化成一个最简单的整数比；“求比值”和“化简比”的方法可以通用，都可以用除法计算；“求比值”和“化简比”的结果是不同的，“求比值”的结果是一个“数”，可以写成分数、小数，有时能写成整数，而“化简比”的结果则是一个“比”，可以写成真分数或假分数的形式，但是不能写成带分数、小数或整数。比较以后，学生才能充分理解“求比值”和“化简比”的内涵。
三、运用比较法，新旧知识联系，形成知识网络
在教学一个新知识点时，如果能与以往学过的旧知识相联系，进行比较，弄清新旧知识的联系与区别，不但容易学会新知，还巩固了旧知，并且使知识系统化，形成知识网络。如教学“比的意义”时，将“比”“除法”和“分数”进行比较，可列表如下：通过这样比较，使学生明确比和除法分数的关系和区别，把比、除法、分数联系起来，形成知识网，为后面学习“比”的应用打下基础。
四、运用比较法，区别应用题的结构
正确选择解法在应用题的教学中，经常应用比较的方法来区别应用题的结构，以便分析数量关系，选择正确的解题方法。如低年级的加减法应用题、乘除法应用题、高年级的分数乘除法应用题。如教学应用题：（1）池塘里有12只鸭和4只鹅，鹅的只数是鸭的几分之几？（2）池塘里有12只鸭，鹅的只数是鸭的13，池塘里有多少只鹅？（3）池塘里有4只鹅，正好是鸭的只数的13，池塘里有多少只鸭？通过比较，学生知道了应用题在结构上的相同点和不同点，使他们懂得第（1）题，根据分数的意义和分数与除法的关系，要用除法来计算。第（2）题，根据一个数乘分数的意义，用乘法计算。第（3）题，根据一个数乘分数的意义，列方程解答，或根据除法的意义直接用除法计算。通过比较，使学生了解了分数乘除法应用题的结构和思路的异同，从而能正确解答分数乘除法应用题。
五、对比练习，异同结合
学习新课之后，不仅要集中练习所学的内容，还要练以前学过的内容，特别要练习与新学内容相似而容易混淆的题目，使学生既能深刻理解新的知识，又能掌握新旧知识之间的“同”和“异”，区别应用。如练习“归一应用题”，应带练“归总应用题”；学完“连除应用题”后的练习，也应有“连乘应用题”的题目。通过比较它们的解题思路，明确它们之间的相互联系，可使各个零碎的知识串成线、联成网，从而构建起完整的知识结构。这样的对比练习也便于学生辨别和巩固所学的数学知识，培养学生分析问题、灵活运用知识解决实际问题的能力。
六、运用比较法，观察特征，发现规律
一、给学生介绍小学一般文字题几种常见的表述方式
1．根据算式的读法来叙述的。
如：6除24得多少？23减去3与4的积，差是多少？
2．根据算式中各部分的名称来叙述的。
如：被减数是65，减数是34，差是多少？两个因数分别是0.45与3.5，积是多少？
3．根据四则运算的要求来叙述的。
如：6个105的和是多少？5.9除以3.94加上6.6的积，商是多少？
4．根据上述几个方面综合来叙述的。
如：什么数加上35是150？450加上135除以3的商乘以40的积，和是多少？
二、强化基础训练，扎实抓好文字题教学的几个关键环节
1．扎实训练，使学生学会运用准确的数学语言来读式题。
如（52+48）×6，有的学生往往读成“括号52加上48括号，乘以6”，这就没有准确地使用数学语言，应该读成“52与48的和乘以6，积是多少”。只有少数学生能够准确地读出式题，并准确地把文字题转化为正确的算式。
对于比较复杂的一些四则混合运算式题，一次读不完的，也可分为几个层次来读。如［5.3-1.6×（4.5-3.5）］÷7.4，可以读成：①中括号内的运算结果除以7.4，商是多少？②中括号内，5.3减去1.6乘以小括号内运算结果的积，差是多少？③小括号内，4.5减去3.5的差是多少？
2．加强引导，使学生学会用多种方法来读题。
在教学中，教师可让学生从计算意义、各部分名称、顺逆顺序上用准确的数学语言读式题，使学生能够熟练地将文字题转化为式题，将式题与文字题融为一体。如“375÷25”，从算式的意义去读“把375平均分成25分，每份是多少”“375里包含有多少个25”“375是25的多少倍”；从各部分名称上去读“被除数是375，除数是25，得数是多少”“除数是25，被除数是375，商是多少”“两个因素的积是375，其中一个因数是25，求另一个因数”；从顺逆关系上去读“375除以25，商是多少”“25除375得多少”……
3．分类指导，使学生学会分析文字题的缩句方法。
文字题也跟应用题一样，要使学生学会分析题意的方法。如教学生“看尾、缩句、抓关键”的方法，可让学生先看文字题末尾要求的是什么，抓住关键词语缩句写出关系式，再列式计算。如：“54除以0.7的商，加上0.6与5的积，和是多少？”先看尾，确定是求“和”，再抓住“商”“积”这两个关键词，缩句为“商加上积，和是多少”，写出关系式“商+积=？”。然后再找出是哪两个数的商和哪两个数的积，最后列式为54÷0.7+0.6×5。教学中，教师还可以让学生进行将应用题缩写成文字题的训练，使学生进一步认识应用题与文字题的联系和区别。如“食堂原有大米65公斤，又买来8袋大米，每袋25公斤。食堂一共有大米多少公斤”，可缩写成“65加上25与8的积，和是多少”。
4．多方点拨，使学生通过比较，进一步认识、理解并熟练掌握运算顺序。
我们可以编一些数字相同、运算顺序不同、计算结果也不相同的四则混合运算式题，让学生在对具体题目的辨析中，进一步理解并熟练掌握运算顺序。如把“5.9÷（3.94+6.86）×0.8”的运算顺序改变为：①先算除，再算加，最后算乘，让学生列出算式（5.9÷3.94+6.86）×0.8。②先算乘，再算加，最后算除，让学生列出算式5.9÷（3.94+6.86×0.8）。③先算加，再算乘，最后算除，让学生列出算式5.9÷[（3.94+6.86）×0.8]。
三、注重指导，教给学生解答文字题的思考方法
1．一般情况下，可以引导学生顺着题目的叙述方式来思考列式。
如：“6.54减去8与1.7的积，差是多少？”可以引导学生这样想：从6.54里面减去两个数的积，所以列式为6.54-8×1.7。再如：“6.54与0.27的差乘以它们的和，结果是多少？”可以让学生这样想：两个数的差乘以两个数的和，这两个数是6.54与0.27，所以列式为（6.54-0.27）×（6.54+0.27）。
2．我们也可以引导学生进行逆向推理，从具体问题出发，先理清解题的思路，最后列出解题的算式。
关键词：比较；小学数学；教学；概念；认知
小学数学是重要的基础课程之一，在数学教学过程中，合理的运用比较法教学，可以让学生在轻松的学习环境、氛围中很快的掌握知识，突出教学重点，突破教学难点，培养学生的辨别能力，有助于教学质量的提高。
一、通过比较，认识概念
在数学教学中，我们可以引导学生对新旧知识进行比较，探寻新旧知识的相同与不同之处，找出他们内在的联系，将新旧知识相结合，使学生能够主动寻找新的知识点，认识并掌握概念的本质属性。
如在教学“数的整除”时，由于整除这一概念出现在本章之前，而且贯穿于整章内容之中，如果没有理解整除的概念，下面的内容就无法进行教学，而且概念本身也比较抽象，学生不易理解。因此，可以让学生首先口算下列题目：（1）56÷8=7（2）7÷5=1.4（3）0.6÷2=0.3（4）27÷3=9（5）28÷4=7（6）10÷3=3.333……然后让学生观察题中的被除数、除数和商的特征，找出这些算式中哪些是可以除尽的？哪些是除不尽的？在除尽的算式里被除数、除数和商都是整数的有哪些？通过逐层揭示，得出整除的本质属性――数a除以数b，除得的商正好是整数而且没有余数，我们就说数a能被b整除，从而使学生复习了除尽和除不尽的概念，知晓了他们与整除三者之间的联系和区别。
二、通过比较，分清概念
在教学“比的概念”时，因为教材用“除”来定义“比”，因此，学生容易把“比”“除”“分数”概念等同。笔者在教学完“比”的定义后，设计了如下判断题：
1.因为两个数相除又叫做两个数的“比”，所以，比式也是除式。（ ）
2.因为比可以写成分数形式，所以比也是分数。（ ）
在学生思维达到愤悱状态时，再让学生讨论比较：
1.a÷b，a：b，a/b（b≠0）各表示什么意义？
2.在计算a÷b这个式子时，可以写成a：b吗？
3.一个长方形面积是8.1平方分米，长5.4分米，写出它的面积和长的比，并简化。
通过以上具体题目的讨论，学生认识到：比、除和分数各自表示的意义不同，除式的含义较宽，比号不能代替除号，分数可带单位，比值不带单位，从而对“比”这个概念认识得更加清楚。
三、通过比较，促进迁移
学生通过比较可以发现不同知识的共同点和内在联系，从而促进知识的迁移，加深联系。因此，在教学过程中，通过比较找出知识的共同点，这对于学生系统地掌握这些既有区别又有联系的各部分知识，具有很大的帮助作用。如教学“求一个数是另一个数的几分之几的应用题”时，同整数中的“求一个数是另一个数的几倍的应用题”比较，使学生明确数中的“几倍”与分数中的“几分之几”都是表示一个数与另一个数的倍数关系，只是倍数大于“1”，我们习惯说成“几倍”，如果倍数小于“1”，我们习惯说成“几分之几”而已。所以，“求一个数是另一个数的几分之几”其解题方法与“求一个数是另一个数的几倍”是相同的。
四、通过比较，揭示规律
两数相比，有标准数已知和未知两种情况，因此就出现了“多几”用加，“少几”也要用加的应用题。学生对这样的应用题，往往根据“多”加“少”减来确定算法，造成错误。教学时，我将两数相比的题目归成两类：标准数已知和标准数未知的，引导学生通过比较，揭示它们的规律。凡标准数已知的题目，“多几”用加，“少几”用减；而标准数未知的题目，“多几”反而用减，“少几”反而用加。这种比较，由特殊上升到一般，可把学生对知识的领会引向深化，达到应有的水平。
五、通过比较，灵活解题
学生能从多角度、多侧面去思考问题，并能通过比较从中找出解题的最佳途径，是思维灵活性和创造性的表现。如“某工厂生产一批零件，原计划每天生产500个，6天可以完成，结果只用5天完成，实际每天比原计划多生产多少个零件？”
解法1：
计划生产零件的总数：500×6 =3000（个）
实际每天生产零件的个数：3000÷5=600（个）
实际每天比原计划多生产的个数：600-500=100（个）
解法2：
设实际每天比原计划多生产x个。
列方程，得500×5+5x=500×6
解得 x =100
解法3：
实际生产只需5天，即比原计划提前一天，这样若将原计划一天生产的任务分摊给其他各天，就正好是实际比原计划多生产零件的个数。
即 500÷ 5 =100（个）
根据以上三种解法，引导学生分析比较，得出第三种解法既简明，又有创造性，开拓了学生的思维。
六、通过比较，认识图形
在学习各种空间图形时，我认为用比较法，效果也比较好。比如，长方形和正方形的区别，梯形与多边形的区别……从而巩固对它们表象的认识。同时，在学习计算图形面积和体积公式的时候，我也常常采用这种方法，先出示前面学过的图形的面积和体积，回忆它的计算公式，然后引起探究欲望，“那今天我们这种图形的面积又该怎么计算呢？请根据你对这种图形的认识，利用前面公式的推理方法，自己先想一想，然后在小组内交流一下。”这样学生在探究的过程中就有了基础，推理出公式以后，两个公式再进行比较，从而让学生记忆更牢固。
【结语】：
总之，在现代数学教学中，比较法是一种较为常用的方法，在教学中，灵活运用比较法教学，对于培养学生学习兴趣，巩固旧知识，更好地学习新知识，以及提高学生的思维能力和解题能力，都有很大的帮助。教师要熟练掌握比较教学的比较教学方法，帮助学生更好的培养学生的自主学习的兴趣，更好的掌握并运用数学知识，以完成教学任务，达到预期的教学目标。
参考文献：
[1]张宁.浅谈“比较法在小学数学教学中的应用”[J].东方青年・教师（上半月），2013（8）.
在人教版小学实验教科书《数学》六年级上册第43页上，以我国“神舟五号”顺利升空为载体，对“比”和“比值”的意义作了这样的描述：“两个数相除又叫作两个数的比”“比的前项除以后项所得的商叫作比值”“比值通常用分数表示，也可以用小数或整数表示。”在2014年7月出版的人教版义务教育教科书《数学》六年级上册第48页上引进“比”和“比值”的概念时，内容基本不变，就是把“两个数相除又叫作两个数的比”这句话改为了“两个数的比表示两个数相除”。而在与课本配套的《教师教学用书》第86页上指出：“教师还可以指出，两个同类量的比表示这两个量之间的倍数关系，两个不同类量的比可以表示一个新的量。如‘路程比时间’又表示速度。”
实验教科书和2014版教科书引进“比”的例子相同，其一都是用航天员展示的国旗长15厘米，宽10厘米，长和宽的比是15比10，可记作15∶10，15∶10=15÷10=，就是比值。其二是“神舟五号”平均90分钟绕地球一周，大约运行42252km，指出“路程和时间的比是42252比90”。
根据教科书的例题看，比值是不带计量单位名称的，这里路程和时间的比值应该是42252÷90=（或469.46）。
从教科书和配套的《教师教学用书》引出值得我们思考的几个问题。
1.在小学数学教学中应该怎样引出“比”和“比值”的概念？“比”究竟是“两个数的比”还是“两个量的比”，或者两者都可以？
2.“神舟五号”绕地球一周运行的路程和时间的比是42252比90，那么根据教材中“比值”的定义，它们的比值应该是42252÷90=（或469.46）。而根据《教师教学用书》所言，“两个不同类量的比可以表示一个新的量”。那么该例中比值要不要写成千米/分？能不能写成千米/分？
3. 在小学数学教材中是否有必要引进不同类量的 “比”和“比值”的概念？
信中提到的把“比”等同于除法的信息，令人惊讶。恰巧接信不久，又蒙某教材编辑寄来2014年修改的教材一套。于是连同网上下载的旧版，看到了“比的认识”一节的修改过程。
图1
图2
某教材的较早版本在编排“比的认识”一课时，曾用获胜场次的多少加以比较（图2）。显然这不属于“比”的例子。原以为编者想用此例区别一般的排名和“比”的概念有别，可是教材未置一词（新版则删去了，颇为可惜）。接着就是路程除以时间得速度，总价除以数量得单价的不同类量的相除。这本来是一类标准的除法题目，教材却不加说明地拿来当作“比”的概念的引例。那么有了除法为什么还要引进“比”？没有任何解释。在随后的两页中，倒是研究了同类量之比，矩形的放大与缩小，树和影子的长度。尤其是甘蔗汁和水的配比，极具“比”的意义。但是教材却偏偏不说这些例子和“比”有什么关系。这样一来，教材就成了让人费猜的谜语。
新版教材使用照片长、宽比值不同而引起人像变形的童趣例子，这本来可以引向比的意义。可是教材却突然说“两个数相除，又叫作两个数的比”。（图1）
阅读之后，不觉陷入沉思。
随手打开《辞海》，看到“比”的条目这样写着：
“比较两个同类量的关系时，如果以 b为单位来度量a，称为a比b，所得的k值称为比值”。
这大概是“比”的老式定义。新潮的小学数学教材已经将之废除，直接把两数之“比”说成就是两数相除了。其目的不过是要学生记住：比只是除法的另一种说法而已，并没有新的内容。这样的“改革”，究竟是进步，还是倒退？没头没脑地将除法说成就是比，把“比”当作除法的附庸，该如何落实知识发生的过程性目标？既然要贯彻“四基”，那么“比”的基本数学思想方法何在？返璞归真，正本清源，是数学教学的一项基本原理。稍微想想就可以知道，《辞海》的定义重在揭示“比和比值”概念的内涵，而新潮教材则回避了“比”的本质，仅仅是描述了“比”的外壳而已。
让我们作进一步的分析。
顾名思义，学生看到“比”，第一个联想到的词就是“比较”。《辞海》释义中，首先提到的也是“比较”两字。对六年级的学生而言，关于如何比较两个量的大小，已经学过两种方法。
第一种方法是比较两数的差距关系。如果a比b大，用减法就可以知道差距是a C b。在日常语境中我们常说：
（1）小明“比”小华高2厘米;
（2）甲、乙两队篮球比赛的结果是100 比99，乙队以一分之差输了;
（3）中国乒乓球队以3比0 完胜对手。
（4）比较胜利场次排名次。
这里都用到“比”这个词。但只是比较差距，而差距用减法可求得。这是a与b之间的“差关系”。
第二种方法是比较两数之间的倍数关系。对a，b两正数，若a>b， 那么a÷b = k >1; 如果a
（1）姚明“比”我高，他的身高是我身高的1.5倍;
（2）我比小胖的体重轻，我的体重只是他的0.8倍。
这就是说，“比”这一概念的本源是“比较”。用倍数比较大小，表明a与b之间存在着“比关系”。本单元要学习的就是这第二种方法的比较。
现在，我们可以给“比”下一个比较合理的定义了。
“两个量a，b，如果以b为单位去衡量a，称a和b之间有关系a比b，记作a∶b。 a÷b = k 称为比值”。
通过以下的例子，可以不断强化“比”的本源意义。
例1.做面包时，用三杯面粉加一杯水。面粉体积和水体积是3比1，记作3∶1。比值是 3÷1=3。
例2.用1杯纯甘蔗汁加5杯水兑成甘蔗饮料。甘蔗汁和水的数量是1比5，记作1∶5。比值是 1÷5=。
例3.在某时刻，以树影子长度衡量树的高度，形成2比1的关系，记为2∶1.比值是 2÷1 = 2。（如图3）
图3
例4. 一个矩形的长度a 和宽度b，形成a比b的关系。如果比值a÷b=k >1， 那么矩形是扁平状的。如果 k< 1，则矩形是竖条状的，若k=1，矩形是正方形。（如图4所示放置）
图4
对于上述“比”的定义，我们再作一些进一步的解释。
（一） “比”是一种数量关系。“比”不是除法运算，只是在求比值时才要用除法
“比”在《辞海》定义中明确提到a与b之间是一种关系。“维珍百科”里，对英文ratio的解释中，也说“比”是一种关系（relationship）。实际上，“比”有时候只是描述了两个量之间的一种状态，一种对比。说两个同类量a与b 之间存在着比的关系，可以先求出比值，也可以不必求比值。如例1中，做面包时3杯面粉要用1杯水调和，我们就直接说面粉与水的用量是“3比1”，写成3 ∶1。现实中直接照此操作就是了，并非一定要先用除法去计算其比值为3之后再来说二者之比。
换句话说，比，只是在求比值时才是除法。3∶2 可以只是一种状态，3÷2 则是一种运算，二者在意义上不一样。
（二） “比”是为比例做准备，并可以扩展为一种变量之间的正比例函数关系。这种比例关系，其含义远超“除法”
例如，某教材中树高和它影子的关系，就可以看作是一个正比例的函数关系。事实上，在固定的时刻，树高x决定了影子的长度y; 不同高度的树，其影子长度都是树高的k倍，形成 y = kx 的函数关系。这就是说，小学里“比”的学习，不等于重学一遍除法。比的概念，还要进一步发展为四个量的比例关系，并为将来学习正比例函数做准备。这种函数对应思想，较之除法的意蕴要深刻得多。
当然，并非所有的“比关系”都可以扩展为函数关系。例如本班的男生数和女生数恰好相等，形成1比1的关系。但是，别的班级未必如此，我们不能说任何班级的男生和女生的人数都相等。
（三）“比”原本是同类量的比较关系，但是也可以推广到不是“同类量”的情形。不过，同类量之比是“源”，不同类量之比只是“流”
《辞海》定义规定，只有同类量才能作“比”。我们在上述定义中，没有这样限制。事实上，日常生活里有许多对“非同类量”进行比较的事例。例如，为了鼓励回收易拉罐，规定10只易拉罐，可以换100克糖果。易拉罐的个数，与糖果的重量，不是同类量，但我们也会说，易拉罐和糖果之比是10个∶100克。又如我们看到一则广告说，买某牌子牙膏3支，奉送牙刷2把。“牙膏支数”和“牙刷把数”不是同类量，但也会说购买的牙膏数与赠送的牙刷数是3比2。
由于不同类量之间，不能说“倍数”，所以这个定义里只用了“以b为单位去衡量a”的说法。
但是，比的概念的源头毕竟是同类量的比较。不同类量的比乃是流，是派生、引申出来的。区别源流，分清主次，是概念教学的要义。在倡导“过程性”教学目标的今天，更显示出正本清源的重要性。
（四） 不同类量的比，不宜作为“比”的主要情景引入
我们注意到，人教社的教材中，引出“比”的主要例子之一是一个不同类量之比：
“神舟五号”平均90分钟绕地球一周，大约运行42252km。于是指出“路程和时间的比是42252比90”。
这样做，未免失当。如上所述，“比”的本质是“比较”关系，一个除法问题难以覆盖“比”的内在含义。路程除以时间等于速度，明明是一个计算运转速度的除法问题，并没有比较路程与时间大小的含义在内。用不同类量作为主要引例，颠倒了源流关系，增加了学生的理解困难。此外，对于比的理解，先要从两个简单的整数之比说起。例如面粉和水之比为3比1之类。现在一下子出现42252这样大的一个数，分散了学生对“比”的意义的注意力。
至于某教材里问“哪种苹果最便宜”的例子，给出了三种总价和数量，然后计算三种单价，再比较这些单价得出“最便宜”的答案（这里的比较和“比”无关，学生容易混淆）。编者的意图是要学生说出单价是总价与数量之比。但是这明明就是一个典型的除法情景，日常生活中总是说“总价除以数量为单价”。这里生硬地把除法说成是“比”，对学生理解“比”的概念不但没有益处，反而会产生干扰。
（五）同类量的比值没有量纲，不同类量的比值一定会有量纲
同类量之比，其比值是无量纲的。例如长度（4厘米）比宽度（2厘米），相除以后，单位（厘米）约去，比值是无量纲的数2。但是不同类量之比，比的前后项里的量纲不能约去。作为“量”而言，两个量之比一定是有量纲的。路程（米）比时间（秒）得到速度，其量纲是米/秒，不能省略。人教版说“神舟五号”绕地球一周运行的路程和时间的比是42252比90。这样，按教材中“比值”的定义就得出二者的比值是42252÷90=（或469.46），那是不正确的。有人会辩白说那只是“两个数之比”。确实，任何“数”都是无量纲的，例如，有理数是两个整数之比。但是，量和数不能混为一谈。“神舟五号”运行的距离和时间都是具体的量，具有清晰的速度量纲，不能随意抹去。
（六）把“两个数相除，又叫作两个数的比”作为“比”的定义，乃是舍本逐末
比的概念，有一个发展过程。最先是同类量的简单倍数比较，如甘蔗饮料的配比1∶5。 然后是同类量的复杂比，如树高与其影长之比，具有函数对应的背景。再次是不同类量的比较，具有量纲，如速度。最后，则是从“量”到“数”，引出两个无量纲的数的比。
这就是说，直接把“两个同类量之比”定义为“两个数相除”，就跳过了许多步骤，抽去了“比”的概念发生过程，把引申出来的最边远结论当作了概念的本源，不啻是一种本末倒置的做法。
“比值”的计算固然要用到除法，但是“比”不等于除法。比有比的意义，除法有除法的用途。如前所述，比，可以只是两个量之间的一种比较关系，一种对应，一种状态，可以不必凸显“除法”。另一方面，除法的用途很广，可以离开“比较”的本意很远。例如，假定数学和语文的成绩分别是92 和90，那么它们的平均成绩是91。这里只用除法的意义，无须想到这是两科总成绩与2之间的一种比较。
这里，我们不妨以周树人和鲁迅的关系，对“比和除法”作一个比方。周树人和鲁迅确是同一个人，但是含义不同。周树人是出生于19世纪末绍兴周家的自然人和社会人，鲁迅则是一个20世纪的文学家和思想家。周树人是本源，鲁迅是后来派生出来的。如果在解释“周树人”时只写一句“周树人即鲁迅”就算完事，岂不是以偏概全，违反常识了？
通过以上的分析，对于戎老师提出的三个问题，已经发表了我的看法。下面是关于“比的认识”一节教材若干设计建议。小学教材用上述方式定义“比”的概念，固然也是一种选择，但是也可以将同类量之比和不同类量之比分别陈述。
第一段 “比较”
给出两个量，如何比较大小？
例1.篮球赛 55比50 差距5分。排球赛 3比0。
（用加减法比较差距，以前学过）
例2.一样大小的六个红色方块，三个蓝色方块。红色方块比蓝色方块多，6是3的2倍。称为6比3，记作6∶3;蓝色方块少，只是红色方块的倍。称为3比6，记作3∶6。
（今天要学的“比”是要用除法所得倍数来比较大小或多少等，和例1不同）
例3.做米饭合理的配比是4杯米要用2杯水。我们说米和水的用量是4比2，记作4∶2。
（生活化的术语，不涉及比值与除法）
第二段 比的定义
国旗的长、宽比。
从某产品目录中看到国旗尺寸分6种规格，长与宽分别为（单位：毫米）：
1号，2880 ，1920;
2号，2400 ，1600;
3号，1920 ，1280;
4号，1440 ，960;
5号， 960， 640;
6号， 660， 440。
以宽度为单位，求出长度是宽度的几倍？这些国旗的长、宽尺寸都不相同，但每种规格的国旗长都是宽的1.5倍。 由此给出比的定义：
“两个同类量a，b，若以a是b的倍数k来比较它们的大小，称为a比b ，记为a：b。数 a÷b =k称为a与b的比值。比值k就是a除以b 的商。”
（这里先要求“同类量”， 突出“比较”的本意，陈述一种状态，但最后归结为除法。为下一步具有广泛应用的“比例”打基础，数是量的抽象表示，两个数相除称为两个数之比，是自然的结论）
第三段 比的练习
继续举例，并练习。
（1）本班男生人数和女生人数的比;
（2）糖水中糖与水重量的配比;
（3）食物的配比;
（4） 农药的配比;
（5） 树高与其影长之比;
（6） 增加同比与环比内容。某厂月生产量的同比与环比。如某校每年5月和10月，都要捐书给希望小学。今年10月同比于去年10月，环比于今年5月。
（不断强调“比”的意义，突出“除法”之外的特定内涵）
第四段 不同类量之比
“两个不同类的量a，b，虽然彼此没有倍数关系，如果以b为单位衡量a，即考察a÷b，我们也把它叫作a比b，记为a ∶b。”
（1）某商店卖牙膏规定：顾客每买三支牙膏送一把牙刷。购买商品与赠品之比为3支∶1把，比值为3支/把;
（2）路程÷时间 = 速度。我们也说速度是路程与时间之比。如刘翔打破110米栏世界纪录的速度 。
（作为小学教材，把同类量和不同类量之比分开来叙述，眉目清楚）
1.教学内容
“整数除以整数，商是小数”是“除数是整数的小数除法”中的一种类型。之前学习的“整数除法”与“小数的意义”是本课学习的重要基础，“除数是整数的小数除法”的算理、算法都与整数除法基本相同，是根据小数的意义将整数部分的运算向小数部分拓展。
人教版教材中“除数是整数的小数除法”共安排了3个例题：例1是小数除以整数，除到被除数的末尾没有余数;例2是整数除以整数，除到被除数末尾仍有余数，需要添0继续除;例3是被除数比除数小，整数部分不够商1的情况。
2.学生情况
本单元教学之前，笔者安排学生对整个“小数除法”单元的计算部分进行了预习，关于“除数是整数的小数除法”学生提出了如下一些问题：
（1）为什么商的小数点要和被除数的小数点对齐？为什么不数小数点的位数呢？
（2）小数除法第一步看不看小数点？
（3）列竖式计算的过程中，商的小数点什么时候点？
（4）被除数位数不够时为什么能添0继续除？
……
从这些提问中可以分析出，学生不太能接受小数除法没能像乘法那样“先当成整数算，最后再点小数点”的计算方法，也不理解“商的小数点与被除数对齐”“添0继续除”等算法背后的算理。
基于此，本次教学调整了教材中例题的顺序，先教学例2“整数除以整数，商是小数的情况”。先教学这类小数除法，可以从有余数的整数除法过渡到小数除法，这样更有利于算理的理解、算法的迁移，同时也有利于学生更深刻地理解小数的意义――小数是比整数更精确的数。
二、教学目标
1.探究整数除以整数商是小数的小数除法，掌握计算方法。在观察、比较等活动中，丰富学生对除法的认识，深化对小数的意义的理解。
2.借助实物直观和图形直观，理解“添0继续除”“商的小数点与被除数的小数点对齐”的道理，能正确地计算整数除以整数商是小数的小数除法。
3.在分析方法、迁移运用的过程中，学会用联系的眼光分析问题的意识和能力。
4.初步养成乐于思考、言必有据的良好品质。
三、教学过程
1.引入
①回答问题并列出算式
师：将7支钢笔平均分给2人，怎么分？用算式表示。
生：7支钢笔平均分给2人，每人3支还余1支。算式是7÷2=3……1。
师：将7元钱平均分给2人，怎么分？用算式表示。
生：7元钱平均分给2人，每人可以先分到3元，剩下的1元换成10角，每人就可以得到3元5角，也就是3.5元。算式是7÷2=3.5。（课件演示分的过程，教师板书：7÷2=3……1;7÷2=3.5）
②对比两题，引出课题
师：为什么都是7÷2，商却不同？
生：因为分的东西不一样。
生：分钢笔，剩下1支就不能再分了;分钱，剩下的1元可以换成10角继续分。
师：对于分钢笔的问题，可以用以前学过的有余数除法来解决，而分钱的问题则要用到新知识――小数除法来解决。这节课我们就来研究小数除法，体会一下今天学习的小数除法与之前学习的整数除法有什么联系和区别。（板书课题：小数除法）
（点评：在学生已有的认知经验中，“除法”与“平均分”有着密切的联系。在本课学习之前学生有比较丰富的整数除法运算经验。知道“平均分”的结果有“恰好分完”和“分完有剩余”两种情况，这是学生数学学习的认知基础。同时，学生们又知道货币可以“化整为零”，平均分完剩余“1元”，可以换成“10角”继续分，这是学生的生活经验。上面两个例子均使用了实物直观，其价值在于充分调动了学生的已有经验，为基于经验的迁移探究奠定了基础，也初步回答了学生课前的疑问。）
2.新课
（1）研究算法，追问算理
①学生尝试写竖式
师：将7元钱平均分成2份，经过了分―换―再分的过程，想一想，怎样用竖式表示出这些过程？
学生尝试写竖式;同桌交流竖式中的哪些部分分别表示了分、换、再分的过程。
②分析竖式，追问算理
学生展示竖式的不同写法，并说明竖式表示的分的过程。
师：大家写的竖式有很多相同点，比如都在余1的后面添了一个0，为什么要添0呢？
生：添0后，1就变成10了。
生：1除以2不够除，10除以2就够除了。
生：不对，应该说添0后，1就变成1.0了，就相当于把1元换成了10角。
师：这个0能添吗？
生：当然能添了，这是小数末尾的0，小数末尾添多少个0都行！
师：商5的前面为什么要点上小数点呢？
生：因为5代表的不是5个1，而是5个0.1。
生：5是10除以2算出来的，10角平均分成2份，每份是5角，是0.5元。
③板演竖式，规范写法
教师演示竖式的书写过程，说明计算过程中的小数点可以省略。
（点评：教师通过引导学生将生活经验与学习经验进行融合，平均分硬币的直观模型有助于帮助学生将“分―换―再分”这一平均分的过程，与竖式运算中的“除―添‘0’―再除”的过程建立起联系。“添0”就是“换钱”，就是化小计数单位。“大单位”不够分时可以“化小”计数单位（增加计数单位的个数），“够分了”再继续分。让学生尝试写竖式，也是将探究与思考的机会留给了学生，自主探寻课前的问题。学生通过试写、对比和分析逐步聚焦问题，抓住计数本质分析计算方法。实物直观模型较好地突显了除法中的“添0”就是“计数单位转换”这一核心。）
（2）巩固算法，深究算理
①巩固算法，尝试计算11÷4
师：（板书11÷4）这个算式表示什么意思？
生：把11平均分成4份，每份是多少。
师：11个1怎样平均分成4份呢？请你结合分的过程也可以模仿7÷2的竖式，尝试写一写11÷4的竖式。（学生独立思考，尝试写竖式计算11÷4，一生板演）
②解读竖式，演示分的过程
学生解读竖式的每个步骤，教师用课件演示平均分的过程。
③深入分析算理
师：为什么计算11÷4时，要添两个0？
生：个位余3，需要在十分位上添0继续除;十分位上又余2，就需要在百分位上添0继续除。
师：除到末尾有余数就在后面添0，添0是在改变什么？
生：添0，就让余数“变碎”了，变成了更小的单位。
生：计数单位小了，计数单位的个数就增多了，就够除了。（教师结合学生的发言，再次演示课件）
④总结算法
师：比较一下，计算7÷2与11÷4时，有什么共同点？
生：都是整数除以整数，商是小数。
生：除到最后有余数，需要点上小数点，添上0继续往下除。（教师补充课题：整数÷整数=小数）
师：对比一下，今天我们学习的小数除法与之前学过的被除数末尾有0的整数除法相比，有什么联系和区别吗？（出示如右竖式）
生：我觉得今天学的小数除法与整数除法差不多，只不过需要自己先补0再落下来继续除。
生：我补充，在添0之前要先添上小数点，商也要对应着点小数点。
（点评：在学生对这类小数除法有了初步感悟的基础上，再借助几何直观的演示，有利于帮助学生逐步形成对算法的抽象理解，并有助于形成对这一类计算的普遍性认识。从直观形式来看，执教老师所选用的方格图是学生认识小数时常见的直观模型，因此使用它对于学生理解计算过程中每一步所得到的结果以及数的变化有支撑作用。从直观的使用时机来看，是在学生尝试计算之后再进行几何直观的演示，这样的安排使直观模型发挥了验证结论和揭示过程的作用，有助于学生完成两个对接，即平均分的过程与竖式书写对接，理解直观与理解运算对接。）
（3）拓展延伸
①尝试计算5÷25
师：这里还有一道整数除以整数的题目，大家尝试用竖式计算一下。（学生独立尝试计算）
②讨论：商是5、0.5还是0.2？
师：我看到大家的计算结果有5、0.5和0.2，哪个不对，为什么？
生：不可能是5，5除以25表示把5平均分成25份，每份连1都分不到，所以不可能是5。
生：0.5也不对，0.5乘25不等于5。
③交流自主探究中的疑问
师：得出这些错误的商，是因为在计算过程中同学们有一些疑问，我们一起来交流一下。首先第一个问题就是5和25，哪个数写在里面，哪个数写在外面？
生：5是被除数，5写在里面，25写在外面。
生：无论什么数，都应该将被除数写在里面，除数写在外面。
生：我是这么写的，可是我不知道怎么用5除以25，5比25小啊？
生：5不够除，可以添0啊，50除以25就够除了！
生：不能只是添0，也要添小数点，而且写商时也要先写上0，点上小数点，商的2是2个0.1。
结合学生发言，教师演示课件如下：
④对比，补充算法
师：同样是整数除以整数商是小数，这道题却有些不同，哪儿不一样？
生：被除数比除数还要小。
师：在整数除法中，除了0作被除数，我们从没有遇到过这种情况。被除数比除数小，商最明显的特点是什么？
生：商一定是小数。
生：商一定小于1！因为被除数比除数小，每份一定不够1。
生：商肯定是零点几，被除数不够除，需要添上0和小数点才能除！
⑤巩固练习：3÷8
（点评：计算学习通常都是发现一个又一个“新情况”，并根据数学概念及运算意义“破解”一个又一个“新情况”的过程。学生学习小数除法时有两个重要的生长点：第一是“个位剩余可以继续分”，在前面的新课环节已经重点探讨。第二是“较小数除以较大数”的情况，这既是学生认知的生长点，也是本课学习的难点。教师在引导学生借助估算初步感知结果范围的基础上，再次使用几何直观帮助学生认可结果，并深入理解“先添小数点，再添继续除”的道理。）
3.总结质疑
师：这节课学习了什么？在原来学习整数除法的基础上，研究了哪些新问题？
生：研究了怎样将有余数的整数除法继续除下去。
生：研究了如果被除数比除数小怎么除。
师：你还有什么疑问吗？
生：是不是不断添0除下去，就一定能除尽？
生：不一定，我知道还有循环小数。
生：比如1÷3，3乘几也不可能得几十，那就总会有余数，怎么补0也除不尽！
……
四、教学点评
陈老师基于学情分析，对教学内容的顺序进行了调整，本课被作为“小数除法”单元的起始课。这样的安排，充分地调动了学生对除法意义以及小数意义的已有认知经验。引导学生通过经验迁移、方法迁移、认知迁移，在自主探究、对比和反思中探寻方法，辨析解惑，推广经验。整数除法中有关“平均分”的经验可以迁移到小数除法，整数除法中“从高位开始，一位一位地平均分”的方法可以迁移到小数除法，学生对小数意义的认知可以迁移到小数的运算中，即“如何算”（方法）取决于“数是什么样的”（本质）。这次尝试，也是充分考虑了学生的基础和需求，从实施效果来看是被学生接受的。并且能够层层深入地展开思考，对计算方法的认识逐渐清晰而完善。同时，本课的收获又为接下来继续研究“小数÷整数”“小数÷小数”奠定了新的认知基础。
小数除法是计算教学中难点比较集中的教学内容。学生对其方法也常存有困惑，这些都是教师在教学中应全面了解并给予充分关注和准确回应的。归纳起来，学生的困惑主要集中在“如何处理小数点”和“如何处理0”上。在本课设计中，陈老师重点借助“三次直观”突破认知难点，又通过“三次对比”不断突显核心概念。
1.三次直观：推动认知发展
直观模型能够让学生对数和运算更有“感觉”。在计算中，运用直观首先是一种“算法”，可以让学生直观地“看到”结果，进而认可竖式计算的结论。同时还能帮助学生理解计算过程，进而抽象计算（竖式书写）方法的重要支撑。本课中教师先后使用了三次直观模型。第一次是新课引入时的实物直观模型（“分钢笔”和“分硬币”），让学生认识到有时分完有剩余可以“换一换”再继续分的现象。第二次是初步探索计算方法后使用的几何直观模型（方格图），充分调动了学生对小数的认知经验。每个正方形代表“一”，平均分成10份，每份（一小条）就是;将一小份（一小条）再平均分成10份，每份（一个小正方形）就是……将认识小数时所使用的直观模型应用在计算过程中，有助于学生认可每一步的运算结果，并形象地理解计算过程中每一步的含义。第三次是计算5÷25（较小数÷较大数）这一难点时使用了几何直观模型，其价值首先在于让学生认定结果，其次是理解平均分的过程。总之，三次直观模型的使用价值，都基于学生的认知需求，有效推动了学生的认知发展。其形式不同，价值也不尽相同。
2.三次对比：突显核心概念
“数”与“运算”是紧密相连的教学内容，计算教学中算法和算理的沟通离不开 “计数单位”这一核心概念。但是核心概念是抽象的，不容易被学生感悟、理解和运用。因此教学中，教师需要设计有效的活动，促使学生不断形成对核心概念的深入理解。本课中，陈老师通过“三次对比”不断突显了核心概念的价值。第一次是对比两个“7÷2”的结果，平均分7支钢笔剩余1支就不能再分了;而平均分7元钱剩余1元还可以换成10角继续分。这次对比让学生自然而然地接受了“换小单位可以继续分”，虽然此时还是实际情境，但已为学生把握核心概念奠定了坚实的基础。第二次是对比小数除法与整数除法。小数除法中的“添0继续除”与整数除法中的“落0继续除”很相似，这种感受有助于学生算法迁移，同时又让学生感受到整数除法中“落完了”也就除完了。而小数除法只要需要就可以不停地“添0”继续除，这正是小数的性质所决定的。这次对比既突显了除法运算中“不断化小计数单位继续除”的“通法”，又突显了小数“没有最小计数单位”的核心概念，这些有助于提升学生运算能力。第三次是对比两类“整数÷整数=小数”的除法，一种是“被除数>除数”，另一种是“被除数<除数”，这组对比使学生主动地将估算与精算相结合，并进一步聚焦了“处理0”的难点问题。“该不该添0”“0该添在哪儿”等问题都指向于学生对“计数单位”“数位”等概念的深入理解。
科学是人类的共同财富，而真正的科学家的任务就是丰富这个令人类都能受益的知识宝库。下面小编给大家分享一些六年级上册数学知识，希望能够帮助大家，欢迎阅读!
六年级上册数学知识1第一单元分数乘法
(一)分数乘法意义：
1、分数乘整数的意义与整数乘法的意义相同，就是求几个相同加数的和的简便运算。
“分数乘整数”指的是第二个因数必须是整数，不能是分数。
2、一个数乘分数的意义就是求一个数的几分之几是多少。
“一个数乘分数”指的是第二个因数必须是分数，不能是整数。(第一个因数是什么都可以)
(二)分数乘法计算法则：
1、分数乘整数的运算法则是：分子与整数相乘，分母不变。
(1)为了计算简便能约分的可先约分再计算。(整数和分母约分)(2)约分是用整数和下面的分母约掉最大公因数。(整数千万不能与分母相乘，计算结果必须是最简分数)。
2、分数乘分数的运算法则是：用分子相乘的积做分子，分母相乘的积做分母。
(分子乘分子，分母乘分母)
(1)如果分数乘法算式中含有带分数，要先把带分数化成假分数再计算。
(2)分数化简的方法是：分子、分母同时除以它们的最大公因数。
(3)在乘的过程中约分，是把分子、分母中，两个可以约分的数先划去，再分别在它们的上、下方写出约分后的数。(约分后分子和分母必须不再含有公因数，这样计算后的结果才是最简单分数)。
(4)分数的基本性质：分子、分母同时乘或者除以一个相同的数(0除外)，分数的大小不变。
(三)积与因数的关系：
一个数(0除外)乘大于1的数，积大于这个数。a×b=c,当b >1时，c>a。
一个数(0除外)乘小于1的数，积小于这个数。a×b=c,当b
一个数(0除外)乘等于1的数，积等于这个数。a×b=c,当b =1时，c=a 。
在进行因数与积的大小比较时，要注意因数为0时的特殊情况。
(四)分数乘法混合运算
1、分数乘法混合运算顺序与整数相同，先乘、除后加、减，有括号的先算括号里面的，再算括号外面的。
2、整数乘法运算定律对分数乘法同样适用;
运算定律可以使一些计算简便。
乘法交换律：a×b=b×a 乘法结合律：(a×b)×c=a×(b×c)
乘法分配律：a×(b±c)=a×b±a×c
(五)倒数的意义：乘积为1的两个数互为倒数。
1、倒数是两个数的关系，它们互相依存，不能单独存在。
单独一个数不能称为倒数。(必须说清谁是谁的倒数)
2、判断两个数是否互为倒数的唯一标准是：两数相乘的积是否为“1”。
例如：a×b=1则a、b互为倒数。
3、求倒数的方法：
①求分数的倒数：交换分子、分母的位置。
②求整数的倒数：整数分之1。
③求带分数的倒数：先化成假分数，再求倒数。
④求小数的倒数：先化成分数再求倒数。
4、1的倒数是它本身，因为1×1=1
0没有倒数，因为任何数乘0积都是0，且0不能作分母。
5、真分数的倒数是假分数，真分数的倒数大于1，也大于它本身。
假分数的倒数小于或等于1。带分数的倒数小于1。
(六)分数乘法应用题——用分数乘法解决问题
1、求一个数的几分之几是多少?(用乘法)
已知单位“1”的量，求单位“1”的量的几分之几是多少，用单位“1”的量与分数相乘。
2、巧找单位“1”的量：在含有分数(分率)的语句中，分率前面的量就是单位“1”对应的量，或者“占”“是”“比”字后面的量是单位“1”。
3、什么是速度?
速度是单位时间内行驶的路程。
速度=路程÷时间 时间=路程÷速度 路程=速度×时间
单位时间指的是1小时1分钟1秒等这样的大小为1的时间单位，每分钟、每小时、每秒钟等。
4、求甲比乙多(少)几分之几?
多：(甲-乙)÷乙 少：(乙-甲)÷乙
六年级上册数学知识2第二单元位置与方向
1、什么是数对?
数对：由两个数组成，中间用逗号隔开，用括号括起来。括号里面的数由左至右为列数和行数，即“先列后行”。
数对的作用：确定一个点的位置。经度和纬度就是这个原理。
2、确定物置的方法：
(1)、先找观测点;(2)、再定方向(看方向夹角的度数);(3)、最后确定距离(看比例尺)。
描绘路线图的关键是选好观测点，建立方向标，确定方向和路程。
位置关系的相对性：两地的位置具有相对性在叙述两地的位置关系时，观测点不同，叙述的方向正好相反，而度数和距离正好相等。
相对位置：东--西;南--北;南偏东--北偏西。
六年级上册数学知识3第三单元分数的除法
一、分数除法的意义：分数除法是分数乘法的逆运算，已知两个数的积与其中一个因数，求另一个因数的运算。
二、分数除法计算法则：除以一个数(0除外)，等于乘上这个数的倒数。
1、被除数÷除数=被除数×除数的倒数。
2、除法转化成乘法时，被除数一定不能变，“÷”变成“×”，除数变成它的倒数。
3、分数除法算式中出现小数、带分数时要先化成分数、假分数再计算。
4、被除数与商的变化规律：
①除以大于1的数，商小于被除数：a÷b=c 当b>1时，c
②除以小于1的数，商大于被除数：a÷b=c 当ba (a≠0 b≠0)
③除以等于1的数，商等于被除数：a÷b=c 当b=1时，c=a
三、分数除法混合运算
1、混合运算用梯等式计算，等号写在第一个数字的左下角。
2、运算顺序：
①连除：同级运算，按照从左往右的顺序进行计算;或者先把所有除法转化成乘法再计算;或者依据“除以几个数，等于乘上这几个数的积”的简便方法计算。加、减法为一级运算，乘、除法为二级运算。
②混合运算：没有括号的先乘、除后加、减，有括号的先算括号里面，再算括号外面。
(a±b)÷c=a÷c±b÷c
六年级上册数学知识4第四单元比
比：两个数相除也叫两个数的比
1、比式中，比号(∶)前面的数叫前项，比号后面的项叫做后项，比号相当于除号，比的前项除以后项的商叫做比值。
连比如：3：4：5读作：3比4比5
2、比表示的是两个数的关系，可以用分数表示，写成分数的形式，读作几比几。
例：12∶20= =12÷20= =0.6 12∶20读作：12比20
区分比和比值：比值是一个数，通常用分数表示，也可以是整数、小数。
比是一个式子，表示两个数的关系，可以写成比，也可以写成分数的形式。
3、比的基本性质：比的前项和后项同时乘以或除以相同的数(0除外)，比值不变。
4、化简比：化简之后结果还是一个比，不是一个数。
(1)、用比的前项和后项同时除以它们的最大公约数。
(2)、两个分数的比，用前项后项同时乘分母的最小公倍数，再按化简整数比的方法来化简。也可以求出比值再写成比的形式。
(3)、两个小数的比，向右移动小数点的位置，也是先化成整数比。
5、求比值：把比号写成除号再计算，结果是一个数(或分数)，相当于商，不是比。
6、比和除法、分数的区别：
除法：被除数除号(÷) 除数(不能为0) 商不变性质 除法是一种运算
分数：分子分数线(—)分母(不能为0) 分数的基本性质 分数是一个数
比：前项比号(∶) 后项(不能为0) 比的基本性质 比表示两个数的关系
商不变性质：被除数和除数同时乘或除以相同的数(0除外)，商不变。
分数的基本性质：分子和分母同时乘或除以相同的数(0除外)，分数的大小不变。
分数除法和比的应用
1、已知单位“1”的量用乘法。
2、未知单位“1”的量用除法。
3、分数应用题基本数量关系(把分数看成比)
(1)甲是乙的几分之几?
甲=乙×几分之几 乙=甲÷几分之几 几分之几=甲÷乙
(2)甲比乙多(少)几分之几?
4、按比例分配：把一个量按一定的比分配的方法叫做按比例分配。
5、画线段图：
(1)找出单位“1”的量，先画出单位“1”，标出已知和未知。
(2)分析数量关系。(3)找等量关系。(4)列方程。
两个量的关系画两条线段图，部分和整体的关系画一条线段图。
六年级上册数学知识5第五单元圆
一、圆的特征
1、圆是平面内封闭曲线围成的平面图形。
2、圆的特征：外形美观，易滚动。
3、圆心O：圆中心的点叫做圆心.圆心一般用字母O表示。
圆多次对折之后，折痕的相交于圆的中心即圆心。圆心确定圆的位置。
半径r：连接圆心到圆上任意一点的线段叫做半径。在同一个圆里，有无数条半径，且所有的半径都相等。半径确定圆的大小。
直径d:通过圆心且两端都在圆上的线段叫做直径。在同一个圆里，有无数条直径，且所有的直径都相等。直径是圆内最长的线段。
同圆或等圆内直径是半径的2倍：d=2r 或 r=d÷2
4、等圆：半径相等的圆叫做同心圆，等圆通过平移可以完全重合。
同心圆：圆心重合、半径不等的两个圆叫做同心圆。
5、圆是轴对称图形：如果一个图形沿着一条直线对折，两侧的图形能够完全重合，这个图形是轴对称图形。
折痕所在的直线叫做对称轴。
有一条对称轴的图形：半圆、扇形、等腰梯形、等腰三角形、角。
有二条对称轴的图形：长方形
有三条对称轴的图形：等边三角形
有四条对称轴的图形：正方形
有无条对称轴的图形：圆，圆环
6、画圆
(1)圆规两脚间的距离是圆的半径。(2)画圆步骤：定半径、定圆心、旋转一周。
二、圆的周长：围成圆的曲线的长度叫做圆的周长，周长用字母C表示。
1、圆的周长总是直径的三倍多一些。
2、圆周率：圆的周长与直径的比值是一个固定值，叫做圆周率，用字母π表示。
即：圆周率π = 周长÷直径≈3.14
所以,圆的周长(c)=直径(d)×圆周率(π)—周长公式：c=πd, c=2πr
圆周率π是一个无限不循环小数，3.14是近似值。
3、周长的变化的规律：半径扩大多少倍直径也扩大多少倍，周长扩大的倍数与半径、直径扩大的倍数相同。
4、半圆周长=圆周长一半+直径=
πr+d
三、圆的面积s
1、圆面积公式的推导
如图把一个圆沿直径等分成若干份，剪开拼成长方形，份数越多拼成的图像越接近长方形。
圆的半径=长方形的宽
圆的周长的一半=长方形的长
长方形面积=长×宽
所以：圆的面积=圆的周长的一半(πr)×圆的半径(r)
S圆 =πr×r=πr2
2、几种图形，在面积相等的情况下，圆的周长最短，而长方形的周长最长;
反之，在周长相等的情况下，圆的面积则最大，而长方形的面积则最小。
周长相同时，圆面积最大，利用这一特点，篮子、盘子做成圆形。
3、圆面积的变化的规律：半径扩大多少倍,直径、周长也同时扩大多少倍，圆面积扩大的倍数是半径、直径扩大的倍数的平方倍。
4、环形面积
=大圆–小圆=πR2-πr2
扇形面积=πr2×n÷360(n表示扇形圆心角的度数)
5、跑道：每条跑道的周长等于两半圆跑道合成的圆的周长加上两条直跑道的和。
因为两条直跑道长度相等，所以，起跑线不同，相邻两条跑道起跑线也不同，间隔的距离是：2×π×跑道宽度。
一个圆的半径增加a厘米，周长就增加2πa厘米。
一个圆的直径增加b厘米，周长就增加πb厘米。
6、任意一个正方形的内切圆即最大圆的直径是正方形的边长，它们的面积比是4∶π。
7、常用数据
关键词：小学数学 口头语言教学
中图分类号：G623.5 文献标识码：C DOI：10.3969/j.issn.1672-8181.2013.24.224
语言是教师传授知识和与学生交流最重要的载体，教学语言艺术是教学艺术的重要组成部分。教师除了使用普通话、语法规范、简洁流利、语言亲切等基本要求，数学教师课堂口头语言还必须达到如下几点。
第一，教育性。
思想教育始终贯穿在各种教学活动之中，数学学科也不例外。例如教学圆周率时，结合圆面积的推导方法，向学生初步渗透“化圆为方”的极限思想和物质的无限不可分性等辩证唯物主义思想，介绍祖冲之是数学史上第一个精确计算圆周率达小数后第7位的人，比欧洲的数学家早一千多年，增强学生的民族自豪感，使学生受到爱国主义教育。虽然中国近代科学落后于西方国家，但主要是由于明清时代落后的封建制度导致的，中国人并不笨，只要我们发奋图强，一定会赶上并超过西方国家的，教育学生从小树立远大的目标，并把学习与国家的兴旺民族的命运紧密相联，激励学生“为中华之崛起而读书”。再如教学元、角、分的认识时，说明人民币是中国的法定货币，是国家经济活动和人民生活必不可少的重要组成部分，爱护人民币是每个中国人的义务，乱涂乱画人民币是错误的，故意损毁人民币更是一种违法行为。
第二，逻辑性。
数学语言逻辑严密，全面，条理清楚、层次分明是逻辑严密性最基本的要求，在具体的数学教学活动中，对每一个关键的字词都必须仔细研究、细心推敲，准确地理解关键字词之间的依存和制约关系，教学语言必须符合逻辑，言必有据，不能有丝毫含糊。如关于“平行线”的概念：在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线，它的关键词：“同一平面内”，“不相交”，“两条直线”，教师须强调“在同一平面内”，可以演示不同平面内不相交但不平行的情形，平行线是两条直线，不是孤立的一条直线，它所描述的是两条直线之间的关系。教师准确地使学生理解各个数学概念的逻辑关系，也有助于学生形成正确的逻辑思维能力。反之，如果教师教学活动逻辑不够严密，则会影响学生对数学概念的准确理解，如“0除以任何数都得0”，这句话就逻辑关系就很不严密，它忽略了“除数应是0除外”这一重要前提。在教学分数的意义时，“把一个物体平均分成几份，取其中的一份或几份的数叫做分数。”刚教学分数的意义时，教师往往还能强调“平均分”，但不久后，部分教师就不那么强调，常常不留心，说：“把一个物体分给三个人，每人分得几分之几？”这样，“平均分”这一重要前提就被遗漏，对学生正确理解分数的意义会产生恶性的反弹。
第三，精确性。
生活中的普通语言，是学生非常熟悉的，数学语言来源于普通语言，它的解释必须以普通语言为基础，但数学语言比较抽象、准确、周密，因此，教师必须娴熟自如地驾驭数学语言，在具体教学活动中，要准确地解释数学语言的含义，教师在使用口语解释概念时，表达的内容必须具有准确性，不可含混不清，尤其注意与普通语言的区别，学生才能准确理解并熟练地掌握数学语言的意义，例如生活中的“直线”指线条不弯曲，但它的长度通常是有限的，学生凭着生活经验将“直线”一词与弯曲相对应比较，而数学语言中的“直线”指没有端点，无限延伸，学生通常会将这两个意义相混，教师应将这两个意义严格区别，准确揭示它们的内涵。再如，在教学“三角形的基本知识”时，关于三角形是这样叙述的：由三条线段围成的图形叫做三角形。教师应说明，数学语言中的“围成”是指“围成封闭的图形”，要引导学生把“围成”与“组成”一词相区别，还要突出“封闭”的意义，环绕四周而不封闭也不是数学语言中的“围成”，这样对学生正确掌握三角形包括长方形、正方形等封闭图形的意义有很大的作用，也为以后正确理解周长的意义打下坚实的基础。小学四则混合运算中：没有括号时，先算乘除，后算加减。教师应强调乘除是二级运算应先算，但乘与除是同一级运算，哪个运算在前就先算，加与减也是同样的关系，但学生由于对这句话理解不透彻，认为先算乘，如150÷10×3=150÷30=5，或先算加120-15+20=120-35=85。
第四，目的性。
关键词：比；意义；学习方式；互补
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2016）18-181-02
义务教育数学课程标准（2011年版）》指出：“学生学习应当是一个生动活泼、主动的和富有个性的过程。认真听讲、积极思考、动手实践、自主探索、合作学习等，都是学习数学的重要方式。”这里的“认真听讲、积极思考”是启发式的教学方式；“动手实践、自主探索与合作学习”是探索性的学习方式。笔者认为，《义务教育数学课程标准（2011年版）》这一表述，说明教师在选择不同的学习方式应因人、因教材而异，充分考虑教师、学生、教学内容三者的联系和区别，冷静分析，有效结合课程内容的特点，采用不同的学习方式，提高课堂教学的有效性。下面，以《比的意义》一课为例，谈谈对学习方式的有效交替、互补、融合。
一、 概念的理解，以启发式教学为主
小学数学的概念具有高度的抽象性，学生的思维处于从形象思维为主逐步过渡到抽象思维为主，理解和掌握概念有一定的难度。教学时，应当遵循学生的认知发展规律，选择适当的教学方式进行教学。对于定义式的概念，条件和结论十分明显，不需要花很大的时间去探究，学生也能抓住概念的本质，因此，采用启发式的学习比较好。
片段一：理解比的意义（启发式教学为主）
15÷10 15比10
10÷15 10比15
42252÷90 42252比90
师：请同学们观察这些算式？说说你发现了什么？
生：我发现左边都是用除法，（表示两个数相除）；右边都是用比，（表示两个数的比）。
师：你能用一句话概括左边和右边的关系吗？
生：两个数相除又叫做两个数的比。
师：大家同意吗？（同意）既然两个数相除又叫做两个数的比，换句话说，
生：两个数的比表示两个数相除。
师：对，在这句话里，那两个字最重要。
生：相除
师：2个数相乘是比吗？（不是）相加呢？（不是）相减呢？都不是，只有2个数相除，才能叫做2个数的比，这就是比的意义。
案例分析：
在上述的片断教学中，教师采用边启发边引导的方式，让学生在老师的引导下、思考并总结出比的意义，使学生成为学习的主体，逐步学会学习。在形成比的意义后，抓住关键词语相除，引导学生进行精细化的剖析，通过对关键词语的分析，使学生弄清楚概念的内涵和外延，深入理解概念。启发式学习使学生在较短的时间内能够掌握大量的数学知识，有利培养学生积极性，快速提高学生的课堂效率。注意：启发式的教学也要尊重学生已有的知识经验，在学习过程中深化理解并灵活应用。
二、问题的解决，以探究式的学习方式为主
学生通过阅读能够自己领会和把握的内容，要把学习的主动权给学生，使学生在主动参与研究的前提下，运用科学的方法对问题进行分析、思考，在这个过程中获得创新实践能力和自主建构知识体系的一种学习方式，这种学习方式是学生终身学习所需要的品质。在课堂上，教师要给学生足够的时间和空间，适时组织学生围绕“比”的问题去研究、探索、讨论等，实现了探究式的学习方式，有利于发展学生的主体性。
片段二：比的问题理解（以探究式的学习方式为主）
师：引导学生自学教材第49页“做一做”之前的内容，并完成下面的问题. 先自学，在同桌合作完成，最后汇报。（温馨提示：请以15：10为例，同桌合作完成）
（1）几比几有几种不同写法？读法呢？
（2）比的各部分名称是什么？
（3）怎样求比值？比值可以怎样表示？
（4）想一想，比与除法、分数之间有什么联系与区别？并同桌合作完成下面表格：（以15：10=15÷10= 为例子）
案例分析：
探究性学习主要以问题探究为主。学生通过自学，经历了发现问题、分析问题、解决问题的活动，在和同桌的交流过程中，思维发生碰撞，经过磨合，获取知识和技能，增强问题意识，培养探究精神和创造能力。由于小学生认知水平和生活经验有限，特别是当问题深、难时，学生探究起来就有一定的困难，教师要适时引导、讲解，指导学生推动探究的进程，获取问题的解决。在这个片段中，先让学生自学，再同桌合作完成，这样探究式的学习有助于学生深刻理解比的相关知识，但在比和除法、分数的区别探究，个别优秀的学生可能知道它们的区别，其它学生可能不明白，教师就要特别关照和鼓励学生，引导他们前后桌交流，或者给予必要的提示，使学生按时完成任务。如果不以探究式的学习为主组织教学，简单告诉学生答案，学生会记住，但是他们无法真正理解，没有在“做”的过程和“思考”的过程中积淀，缺乏应有的经历、体验和感悟。
三、学法的选择，应重视不同学习方式的互补
笔者认为，教师在教学中要做到“启发式的学习”与“探究性的学习”各司其职；教师要根据教学目标、教学内容以及学生的特点及时调整，学会灵活多种学习方式，将启发式的学习”与“探究性的学习”互相融合，互相补充，相得益彰。这节课大体经历了创设情景，揭示课题；探究新知，理解比的意义（同类量的比；不同类量的比；比较分析）；自主学习，合作探究（自主学习，同桌合作；汇报交流；小结）；巩固知识，拓展应用；回顾总结，交流收获等几个环节，对比的意义的理解和感悟贯穿始终，成为这节课清晰的教学主线和脉络。创设情景、揭示课题和探究新知、理解比的意义以启发式的学习为主；自主学习，合作探究和巩固知识，拓展应用等几个环节以探究性的学习。每一个教学环节又有不同的学习方式互补。就比的相关知识的理解，如果说片段二对主要运用了探究性的学习；那么片段三的启发式的学习无疑是对上述探究性学习的补充和拓展。
片段三：强化“比的相关知识”
师：请看表格，这是比、除法、分数它们之间的联系和区别，你能尝试用字母表示它们的内在联系吗？（能）请写在本子上，文云你上来板演。
师：b不等于零，说明什么？你又想到什么？
生：比的后项不能为零，除法中的除数不能为零，分数中的分母不能为零；我想到比的意义：两个数的比表示两个数相除。
师：还有要补充的吗？
生：有，比的前项除以后项等于比值。
师：同学们都说的非常好！用字母表示把我们今天所学的知识都连在一起，使你们看到字母就想到很多，你们真是太厉害了。
案例分析：
启发式的学习和探究性的学习各有其好的地方，也有不足。探究性的学习比较放得开，它更重视学生主动学习和独立思考，更强调学生探究的过程，注重学生创新能力的培养；但学生获得的知识比较零散，缺乏条理性和系统性。启发式的学习是教师向学生提供前人的发现、创造的经验，学生把这些经验内化为自己的经验，使其成为学生认识事物、分析问题、处理问题的一种学习方式，它在较短的时间内让学生吸收更多的信息，使学生有成就感；但学生接触到的知识是现成的，需要反复训练以强化记忆才能达到巩固。这个片断教学中主要应用了启发式的学习，教师提出问题引导学生从关注比、除法、分数它们之间的联系和区别，尝试用字母表示它们的内在联系，这是从一些题到一类题，是学生认识上的深化。如果教师没有提出这个问题，学生对比、除法、分数的内在联系就没有提升，而在教师的引导下，学生通过比较分析，进一步明确b不等于零原因，对于个别知识比较零散的学生，教师这一总结，使他对今天的知识进行系统性的了解，达到巩固、强化的目的，并且会运用这些知识解决一些实际问题。
在教学实践中，教师除了正确理解各种学习方式的内涵及相互关系，还需要注意以下几点：各种学习方式都有优势和不足；学习方式要因时、因地、因人而异，不能“一刀切”；要善于依据学科中不同教学内容，灵活运用适当的学习方式；要实事求是，要设计符合学校实际、学生特点的探究活动；探究学习和启发式的学习是最基本、最常用的方式。经验告诉我们，任何走极端的行为都有可能导致危险。如果一定要把接受和探究作为学习方式的两个极端，那么在这两个极端之间还有非常广阔的中间地带，存在学习方式的“结合部”，在这里接受中有探究、探究中有接受。
参考文献：
