发布时间：2023-06-22 09:32:08
序言：写作是分享个人见解和探索未知领域的桥梁，我们为您精选了8篇的函数最值的应用样本，期待这些样本能够为您提供丰富的参考和启发，请尽情阅读。
一、函数f（x）=x2-2x+2在区间[-1，3.2]上的最大值和最小值的动态演示
1.利用几何画板画出f（x）=x2-2x+2的图像，在x轴上绘制好A点（-1，0）和B点（3.2，0），即区间[-1，3.2].在线段AB上构造一个点C，度量出C点的横坐标，记为x，再计算出f（x），绘制好D（x，f（x））；选择C、D【构造】|【轨迹】，得到f（x）=x2-2x+2（x∈[-1，3.2]）的图像.
2.隐藏图像上不要的元素，使图像更加简洁.过D点作y轴的垂线段交y轴于E点.C点在线段AB上移动时，D点的纵坐标与E点的纵坐标一样.通过E点的值的变化可以清晰地反映函数f（x）=x2-2x+2在区间[-1，3.2]上的最大值和最小值.
3.选择点E【编辑】|【操作类按钮】|【动画】，制作好按钮.只要按就可以让F点在图像上运动起来，观察出何时取最大值和最小值，最后将E、F的标签改为x、f（x），如图1.
图1
二、函数f（x）=x2-2x+2在区间[t，t+2]上的最大值和最小值的动态演示
1.利用几何画板画出f（x）=x2-2x+2的图像，在x轴上绘制一点A，度量A的横坐标，记为t，计算t+2；绘制点B（t+2，0），构造线段AB，在线段AB取一点P，度量其横坐标，记为x，计算f（x），绘制点M（x，f（x））；选择P、M【构造】|【轨迹】，得到f（x）=x2-2x+2（x∈[t，t+2]）的图像.
2.隐藏图像上不要的元素，使图像更加简洁.作出函数图像的对称轴，过A、B两点作x轴的垂线段，作出线段PM，再过M作y轴的垂线段（虚线），最后将A、B、P、M的标签改为t，t+2，x，f（x），如图2.
图2
3.拖动点t让函数f（x）=x2-2x+2（x∈[t，t+2]）的图像动起来.观察函数在区间[t，t+2]的最大值和最小值，并从中总结出需要的结论.
4.当t≤-1时，函数的最大值为f（t），最小值为f（t+2）；当-1
三、函数f（x）=x2-2tx+2在区间[-1，1]上的最大值和最小值的动态演示
1.在x轴上构造一点A，过A点构造x轴的垂线，再在垂线上构造一点B，度量其纵坐标，记为t，并将B点标签改为t.
2.绘制函数f（x）=x2-2tx+2图像；绘制点C（-1，0）、D（1，0），构造线段CD，在线段CD上取一点E，度量其横坐标，记为x，计算f（x），绘制点F（x，f（x））；选择E、F【构造】|【轨迹】，得到f（x）=x2-2tx+2（x∈[-1，1]）的图像.
3.隐藏图像上不要的元素，使图像更加简洁.作出对称轴，并作出线段EF，再过F作y轴的垂线段（虚线）.将点E、F的标签改为x，f（x）.
编者按：最值问题遍及高中数学的所有知识点，综合性强，是高考的必考内容.同时，最值问题可以将各种知识作为背景来进行考查，形式多样，不容易被考生所掌握.如果考生从最值问题的常见类型、求解策略以及解答时的易错点三个角度来备考并加以掌握，其实最值问题也没想象中那么难.
近几年高考中的最值问题，在考查内容上，涉及的知识点广泛，如求函数的值域，求数列中的最大项或最小项，求数学应用问题中有关用料最省、成本最低、利润最大等问题；在解题方法上，求最值的方法有很多，如判别式法、均值不等式法、变量的有界性法、函数的性质法、数形结合法等.
1.二次函数的最值
求解二次函数的最值一般是先配方，再借助二次函数的图像解答.数学中的很多最值问题最后常转化为二次函数的最值问题来求解.
例1 （2008年高考重庆理科卷）已知函数的最大值为M，最小值为m，则的值为
难度系数 0.70
解 选C.
小结 二次函数的最值问题是其他很多最值问题（如三角函数、数列、解析几何、应用性最值问题）的基础.最值问题要特别强调“定义域优先”的原则，本题实质上是求给定区间内的二次函数的值域问题.
2.导数法求最值
导数的引入为函数最值的求解开辟了一条新路，我们通常用导数法求函数的最值要比用初等方法简便得多，因此导数法求最值也是一种不可忽视的方法.
设函数在上连续，在上可导，求的最大值与最小值的步骤如下：
①求函数在内的极值；
②将函数的各极值与， 进行比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值.
例2 （2011年高考江西理科卷）设上存在单调递增区间，求a的取值范围；
（2）当在上的最小值为，求在该区间上的最大值.
难度系数 0.60
解 （1）解答过程省略.
（2）令，可得两根所以在和上单调递减，在上单调递增.
当时，有，所以在上的最大值为又即在上的最小值为于是得从而在该区间上的最大值为
小结 本题主要考查函数与导数的基础知识.导数是研究函数单调性及最值的有效工具.
3.均值不等式求最值
均值不等式：若，则当且仅当时等号成立.应用均值不等式要注意“一正、二定、三相等”的要求.
例3 （2012年高考湖南理科卷）已知两条直线 和l1与函数y=|log2 x|的图像从左至右相交于点A，B ，l2与函数y=|log2 x|的图像从左至右相交于点C，D.记线段AC和BD在x轴上的投影长度分别为a，b.当m 变化时，的最小值为
难度系数 0.55
解 由题意得选B.
小结 本题除了考查考生对对数函数图像的理解外，还考查利用基本不等式求最值的方法.考生在解题时应注意将配凑成的形式，再利用基本不等式进行求解.
4.辅助角型三角函数最值
求函数y=asin ωx+bcos ωx的最值可以转化为求y=Asin（ωx+φ）的最值，再利用三角函数的有界性可求.
例4 （2011年高考新课标理科卷）在则AB+2BC的最大值为 .
难度系数 0.65
解 最大值为2
小结 本题考查正弦定理的应用及三角函数的性质和公式的应用，熟练运用化一公式并利用函数的有界性处理是解答问题的关键.
不等式的恒成立问题
不等式的恒成立问题常转化为函数的最值问题来求解.如：恒成立，即恒成立，即例5 （2012年高考天津理科卷）已知函数的最小值为0，其中
（Ⅰ）求a的值；
（Ⅱ）若对任意的有成立，求实数k的最小值；
（Ⅲ）证明难度系数 0.50
解 （Ⅰ）据题意可知函数 的定义域为由当x变化时的变化情况如下表：
因此， f（x）在x=1-a处取得最小值.由题意有f（1-a）=1-a=0，所以a =1.
（Ⅱ），取，有，故不合题意.当时，令，即，于是
令，得
①当时， 在上恒成立，因此在上单调递减.从而对任意的，总有，即在上恒成立.故符合题意.
②当时，对于，故在上单调递增.因此，当取时，，即不成立.故不合题意.
综上可知，k的最小值为.
（Ⅲ）证明过程省略.
关键词：初中数学；二次函数；多角度；区间
二次函数求最值类的问题千变万化，然而只要掌握一定的技巧，学会多角度分析，定能找到解题思路，以不变应万变，顺利解决难题。本文以二次函数求最值问题的题型为基础，进行了解题模式的探讨。
一、确定区间，结合图象性质
数形结合是解决数学问题的有力武器，在解决二次函数求最值的问题中也不例外，通过结合图象性质，快速准确地确定区间，开辟出解题思路。
1.定轴定区间，直接判断
当二次函数所给的函数区间固定，对称轴固定时，我们可以通过做出函数图形，清晰直观地判断和计算出函数的最值。这类题型比较简单，所以我在教学中，主要教会大家准确地做出函数图形，从而解决问题。
比如，对于定轴定区间函数求最值问题：求函数y=-x2+4x-3在区间[1，4]的最大值及最小值。首先我们分析二次函数的表达式，二次项系数小于零，说明函数图象开口向下，函数的对称轴为x==2。然后我们根据区间范围，函数的对称轴，开口方向可以做出该二次函数的草图。通过观察这一函数的图象，我们可以得出二次函数的最大值应在对称轴处取得，二次函数的最小值在端点x=4处取得，通过将x轴的坐标轴代入函数表达式，即可求出相应的最大值与最小值，从而得解。
讲完例题后我向学生强调了这类题型的易错点。定轴定区间类的二次函数求最值问题相对来说是最简单的求最值问题，然而学生因为粗心大意也会发生错误，比如画错开口方向，大家一定要记住二次项系数大于零开口向上，二次项系数小于零开口向下。然后端点处和对称轴处的函数值只要将对应的x值代入函数表达式，便可准确地求出，进而做出函数图象。
在这部分知识的教学中，我通过强调做函数图象的细节，引导学生在做题时通过直接地观察，准确地得到最值，提高了课堂的效率。
2.定轴动区间，相对位置
定轴动区间类的二次函数其对称轴确定，然而闭区间是不确定的。这类问题考查的是对称轴与函数区间的相对位置关系，当函数区间发生变化时，随着与对称轴的相对位置发生变化，函数的最值也可能会发生变化，所以学生要掌握分类讨论的思想，讨论不同情况下的函数最值。
例如，求函数y=x2+2x-1在区间[t，t+2]上的最大值与最小值。这道题的类型属于定轴动区间类问题，首先我们确定函数的对称轴为x=-1。随着t的取值不同，我们发现可以将这一问题分为三种情况进行讨论，一是当对称轴位于区间[t，t+2]的函数右侧时，二是当对称轴位于区间[t，t+2]的函数内时，三是当对称轴位于区间[t，t+2]的函数的左侧时，进而可以将t的值也划分为三个范围进行讨论。在第一种情况下，t+2
在上述例题的教学中，我通过引导学生进行分类讨论，将问题分为各种情况然后求出最值，思路清晰，条理明确，能够完整准确地确定该类二次函数的最值，取得了很好的教学效果。
3.定区间动轴，考虑变量
对于定区间动轴类的二次函数问题，由于区间固定而对称轴不确定，因此函数的最值也会随着对称轴与区间的相对位置变化而发生变化，因此解决这类问题同样需要进行分类讨论，与定轴动区间类最值问题相似。
例如，求二次函数y=x2-ax+1在区间[0，2]上的最小值。我引导学生依照定轴动区间问题的求解思路，将该问题分成三种情况进行讨论。通过计算，可得到二次函数对称轴为x=，当区间范围内的函数位于对称轴左侧时，即a>4时，函数在区间[0，2]内是单调递减的，因此二次函数在x=2处取得最小值，为5-2a。当对称轴包含在区间范围内的函数时，即0≤a≤4，由于该二次函数开口向上，所以在对称轴处取得最小值，为-+1。分析到这一步的时候我向学生强调了求最大值的做法，这道题仅让求最小值，而恰好对称轴处为最小值，若这道题还要求求出最大值的话，学生也应按照定轴动区间类问题中这种情况下的解题思路再次进行分类讨论。当区间范围内的函数位于对称轴右侧时，即a>0时，函数在区间[0，2]内是单调递增的，因此，二次函数在x=0处求得最小值1。
在上述问题的教学中，我通过引导学生利用定轴动区间类最值问题的求解技巧与思路，顺利地探求出动轴定区间类问题的求解方法，通过这样类比与分类的讨论思想，让学生成功地理解与学会了这部分数学知识，高效地完成了教学目标。
二次函数的对称轴位置、函数区间都会对二次函数的最值造成影响，学生在解题时，一定要看清题目对对称轴和区间的要求，多角度分析问题，采取正确的解题策略。
二、含有系数，字母视为常数
有时求最值问题所给的二次函数的系数是用字母表示的，对于这类问题的求解方法是将字母视为常数，并根据字母所表示的系数的位置不同，可能需要进行分类讨论。
二次函数的表达式可写作y=ax2+bx+c，当所给函数的常数项用字母表示时，自然将其视为常数处理。例如，求二次函数y=x2+2x+a在区间[0，1]上的最大值。二次函数在[0，1]上单调递增，x=1时函数的最大值为3+a。当所给函数的一次项系数用字母表示时，这类问题就是上述所讲的动轴定区间类问题，将字母视为常数，再结合自变量的范围，按照分类讨论的思想进行求解。当所给函数的二次项系数用字母表示时，例如，求二次函数y=ax2+4x-3（a≠0）在区间[1，3]内的最大值。对这一例题进行分析，a的大小首先影响的是开口大小，因此首先分为a>0和a
在上述教学中，我通过教授学生将含有字母的系数视为常数的思想，引导学生攻克了含有参数的二次函数求最值问题，加深了学生对二次函数的理解与运用。
三、实际应用，正确列函数式
二次函数在实际生产生活中也有很广泛的应用，通过利用二次函数求最值的方法，我们能够解决最优化问题。对于二次函数在日常生活中的应用问题进行分析，正确列出函数表达式是非常关键的步骤。
例如，某商场将进价为2000元的冰箱以2400元售出，平均每天能售出8台。为了响应国家“家电下乡”政策，商场决定降价。冰箱售价每降低50元，平均每天能多售出4台。那么每台冰箱降价多少元时，商场每天销售这种冰箱的利润最高？最高利润为多少？求解这道题，我们首先应当确定冰箱的利润y与每台冰箱降价x的函数表达式，y=（2400-x-2000）（×4+8）=-x2+24x+3200。我们可以做出该函数的图象，对称轴为x=150。
然后结合自变量x的取值范围，我们可以求得二次函数在对称轴处取得最大值，也就是说，当冰箱降价150元时，商场的利润最大为5000元。然后我对二次函数应用题进行了总结，这类问题学生首先应该读清题意，确定正确的函数表达式，然后应用定轴定区间二次函数求最值的求解方法，即可求得应用题中的最优结果。
在上述教学中，我对如何将实际生活问题转化为数学二次函数极值问题的处理方法进行了讲解，引导学生学会有效地结合函数图象进行解题，应用二次函数的性质，成功地求解出应用题的正确答案，进一步加深了学生对二次函数知识的掌握。
多角度分析是促进思维、加快解题速度的一种好方法。综上所述，学生只要切实掌握确定函数区间的技巧，把握住含有系数的二次函数与二次函数的实际应用解法，就能成功地克服部分二次函数难题。总之，从多角度分析和解决问题，有助于迅速找到解题思路，提高学生的数学素养。
参考文献：
[1]徐薇.浅谈初中数学二次函数最值问题的求解[J].数理化解题研究：初中版，2015（13）：26.
关键词：导数 生活 应用
中图分类号： O172？ 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2013）05（c）-0000-00
对于一个实际问题，我们可以建立数学模型，就是列出变量之间的数学关系式（函数解析式），求出函数的最大值或最小值，从而达到解决最优化问题.
我们知道在闭区间上连续的函数一定有最大值和最小值，这在理论上肯定了最值的存在性，但是怎么求出函数的最值呢？首先假设函数的最大（小）值在开区间内取得，那么最大（小）值也一定是函数的极大（小）值，使函数取得极值的点一定是函数的驻点或导数不存在的点。另外函数的最值也可能在区间端点上取得。因此我们只需把函数的驻点、导数不存在的点及区间端点的函数值一一算出，并加以比较，便可求得函数的最值。
例1 有一个铁路线上段的距离为100，某工厂距点为20，，要在线上选定一点向工厂修筑一条公路.已知铁路线上每千米货运的运费与公路上每千米货运的运费之比为，为了使货物从供应站运到工厂的运费最省，问点应选在何处？
分析 这是一道实际生活中的优化问题，建立数学模型，运用导数知识求函数的最值非常简单.
解析 设点选在距离点处，，则
设铁路上每千米货运的运费为，则公路上每千米的运费为（为常数）.设从点到需要的总运费为，则，即
.
下面求在区间上的值，使函数的值最小.
上式两边求导数，得
令，得，，故.
因为，所以，这时，与闭区间端点处的函数值相比较，由于，，因此，当时，的值最小，即点应选在距离点处，这时，货物的总运费最省.
点评 以导数为工具分析和解决一些函数问题，以及一些实际问题中的最大（小）值问题，关键是要建立恰当的数学模型，了解导数概念的实际背景.
例2 某市旅游部门开发一种旅游纪念品，每件产品的成本是元，销售价是元，月平均销售件.通过改进工艺，产品的成本不变，质量和技术含金量提高，市场分析的结果表明，如果产品的销售价提高的百分率为，那么月平均销售量减少的百分率为.记改进工艺后，旅游部门销售该纪念品的月平均利润是（元）.（1）写出与的函数关系式；（2）改进工艺后，确定该纪念品的售价，使旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.
分析 运用导数的基本思想去分析和解决问题，用导数的知识求可导的连续函数的最值，这是导数作为数学工具的具体体现.
解析 （1）改进工艺后，每件产品的销售价为，月平均销售量为件，则月平均利润（元），
与的函数关系式为
（2）由得，（舍）
当时；时，函数 在取得最大值.故改进工艺后，产品的销售价为元时，旅游部门销售该纪念品的月平均利润最大.
答：该商品售价定为每件30元时，所获利润最大为23000元.
点评 导数的引入，大大拓宽了高职数学知识在实际优化问题中的应用空间.
例3 设某物体一天中的温度T是时间t的函数，已知，其中温度的单位是℃，时间的单位是小时.中午12：00相应的，中午12：00以后相应的取正数，中午12：00以前相应的取负数（如早上8：00相应的，下午16：00相应的）.若测得该物体在早上8：00的温度为8℃，中午12：00的温度为60℃，下午13：00的温度为58℃，且已知该物体的温度早上8：00与下午16：00有相同的变化率.（1）求该物体的温度T关于时间的函数关系式；（2）该物体在上午10：00到下午14：00这段时间中（包括端点）何时温度最高？最高温度是多少？
分析 求闭区间上连续函数的最值、极值时，通过研究导函数的符号，列表求得该函数的单调区间、极值点（极值）、端点值，从而求得最大值.也可以不讨论导数为零的点是否为极值点，而直接将导数为零的点与端点处的函数值进行比较即可.
解析 （1） 因为，
而， 故，
.
.
（2） ， 由
当在上变化时，的变化情况如下表：
-2
（-2，-1）
-1
（-1，1）
1
（1，2）
2
+
-
+
58
增函数
极大值62
减函数
极小值58
增函数
62
由上表知当，说明在上午11：00与下午14：00，该物体温度最高，最高温度是62℃.
点评 列表法是导数应用的一种基本方法，虽然列表的过程稍微有点复杂，但从表格中可以直接得出极值点、单调区间、最值.函数的极值与函数的最值时有区别和联系的：函数的极值是一个局部性的概念，而最值时某个区间的整体性的概念.
本文主要通过三个实际例子说明导数在生活中的应用，为解决实际问题提供有力的帮助.
参考文献
【1】王荣成.数学.苏州大学出版社.1998.
（1） 求参数的取值范围
多数给出单调性，利用导数研究函数单调性的逆向思维问题，灵活运用等价转化、分类讨论、数形结合等思想方法，建立关于字母参数的不等关系。
（2） 用导数方法证明不等式
其步骤一般是：构造可导函数——研究单调性或最值——得出不等关系——整理得出结论。
（3） 与实际情景下的最优解问题以及几何图形相关的最值问题
根据实际条件或几何知识建立函数关系，然后用导数方法求最值。
下面我们具体来谈谈导数在解决函数问题中的应用技巧。
首先来了解下导数运用的基本方法：
（1） 求可导函数的单调区间，实质上是解导数不等式，若求减区间，则求不等式f'（x）
（2）证明可导函数f（x）在（a，b）上的单调性，实质上是证明不等式。
若证明函数f（x）在（a，b）上递增，则证明f'（x）≥0在（a，b）上恒成立；若证明函数f（x）在（a，b）上递减，则证明f'（x）≤0在（a，b）上恒成立。
（3）求可导函数的极值，实质上是解方程f'（x）=0，然后列表分析即可。
（4）求函数的最值，则在求极值的基础上与端点函数值比较再确定其最值。
（5） 可导函数为偶函数，则其导函数为奇函数；可导函数为奇函数，则其导函数为偶函数，反之亦然。
（6）导数与方程的根的分布及不等式的综合，实质是函数单调性、极值与最值得进一步应用，常结合数形结合思想、转化化归思想解决问题。
下面我们用实际例题具体谈谈在高考题型中如何把握导数的运用。
一、利用函数的单调性证明不等式
当要证明的不等式比较直观时，我们可以直接构造函数；然后用导数证明该函数的单调性，再利用函数单调性达到证明不等式的目的，即把证明不等式转化为证明函数的单调性.
例1：证明：对?坌x≥0有不等式ln（1+x）≥，x∈［0，+∞）.
证：设f（x）=ln（1+x）-，x∈［0，+∞）.
则f′（x）=-=.显然对?坌x＞0，有f′（x）＞0.
故函数f（x）在［0，+∞）上严格增加，且f（0）=0，从而f（x）≥f（0）=0.
即ln（1+x）≥，x∈［0，+∞）.
下面再来看需要将不等式变形后构造函数，然后利用导数证明该函数的单调性，达到证明不等式的类型题.
例2：已知a，b∈R，b＞a＞e，求证：a＞b（e为自然对数的底）.
证：要证a＞b，只需证lna＞lnb，即证blna-alnb＞0.
现设
f（x）=xlna-alnx（x＞a＞e），
则f′（x）=lna-.a＞e，x＞a，lna＞1，＜1，f′（x）＞0，因而f（x）在（e，+∞）上递增.又因为b＞a，f（b）＞f（a），blna-alnb＞alna-alna=0，即blna＞alnb.所以a＞b成立.
用函数的单调性证明不等式的步骤：
1.确定函数自变量所在的区间I；
2.求f′（x），确定f（x）在区间I上的单调性；
3.由单调性得到不等式.
解决这类问题的关键在于构造函数，其次要把要证明的不等式变形f（a）＞f（b）为的形式，然后在相应的区间上用导数的知识判断其单调性，再利用单调性得到所证明的不等式.用导数证明不等式，有时还要注意所构造的函数中区间端点处是否连续，即是否要补充函数中端点处的定义.
二、利用函数的最值（或极值）证明不等式
由待证不等式建立函数，通过导数求出极值并判断极大值还是极小值，再求出最大值或最小值，从而证明不等式，这就是利用函数的最值（或极值）证明不等式的思路.
例3：已知f（x）=x-x，当x，x∈［-1，1］时，求证：|f（x）-f（x）|≤.
证：当x∈［-1，1］时，f′（x）=x-1≤0；
f（x）在［-1，1］上递减.故f（x）在［-1，1］上的最大值为f（-1）=；函数的最小值为f（1）=-，所以f（x）在［-1，1］上的值域为［-，］.所以，当x，x∈［-1，1］时，|f（x）|≤，|f（x）|≤.
例4：证明：当p＞1，0≤x≤1时，有不等式2≤x+（1-x）≤1.
证：设f（x）=x+（1-x），x∈［0，1］，则f′（x）=p［x-（1-x）］.
令f′（x）=0，即x-（1-x）=0，解得x=（可称为驻点）.
函数f（x）在驻点、区间端点的函数值分别为f（）=，f（0）=1，f（1）=1.
由于函数在［0，1］上连续，因此函数在［0，1］上存在最大值与最小值，且分别为1，；于是2≤x+（1-x）≤1.
利用函数的最值（或极值）证明不等式的步骤：
1.确定函数自变量所在的区间；
2.求导，确定在区间上的极值，并确定最值；
3.由最值得到不等式.
从例题我们可以看出利用函数的最值证明不等式思路更为清晰，方法更为简明，有利于避免不等式证明中的一些转化、放缩等问题.在不等式的证明中，转化与放缩恰恰又是难点所在，所以以后遇到当函数取最大（或最小）值时不等式都成立的问题时，我们可以把不等式恒成立的问题转化为求函数的最值问题.因此利用导数求函数最值是不等式证明的一种重要方法.
三、利用Lagrange中值定理证明不等式
在Lagrange中值公式中ξ∈（a，b），我们根据ξ在（a，b）之间的取值可以估计f′（ξ）取值范围，从而得到不等式，这就是应用Lagrange中值定理证明不等式的思想.
例5：证明：当x＞1时，e＞ex.
证：现设f（t）=e，t∈［1，x］，故f（t）在区间［1，x］上满足Lagrange中值定理的条件，即存在ξ∈（1，x），使得f′（ξ）=.又f′（t）=e，f′（ξ）=e，从而得到=e.1＜ξ＜x，e＜e＜e，＞e.故有e＞ex.命题得证.
例6：设e＜a＜b＜e，证明lnb-lna＞（b-a）.
证：令f（x）=lnx，x∈［a，b］（e＜a＜b＜e）.显然函数f（x）在［a，b］上连续，在（a，b）内可导，有Lagrange中值定理知，至少存在一点ξ∈（a，b），使得
f（b）-f（a）=f′（ξ）（b-a）.
即
lnb-lna=（b-a），a＜ξ＜b.
设φ（t）=，则φ′（t）=.当t＞e时，φ′（t）＜0，所以函数φ（t）在（e，+∞）单调减少，从而φ（t）＞φ（e），t∈（e，e）.即＞=，ξ∈（a，b），亦即（b-a）＞（b-a）.故得到
lnb-lna＞（b-a）.
利用Lagrange中值定理证明不等式的步骤：
1.确定函数的对应法则，自变量所在区间［a，b］；
2.验证函数在区间内满足Lagrange中值定理的条件，从而得到
f′（ξ）=，ξ∈（a，b）；
3.对f（x）求导，从而得到f′（ξ），由此建立一个等式；
4.由的范围确定f′（ξ）的范围，从而验证不等式.
导数是新课标高考中必考的热点之一，其中正确求导是利用导数解决问题的前提，用导数研究函数的单调性是核心.运用导数求函数的单调性、极值、最值是高考命题的重点，在选择题、填空题、解答题都有涉及.而运用导数解决实际问题是函数应用的延伸，由于传统的数学应用题被概率解答题取代，近几年很少单独命题，但结合其它知识，常在最后两题位置之一考查导数、含参不等式、方程、解析几何等方面的综合应用问题，难度较大.从近几年高考看，全国各地高考试卷都有一个小题（选择或填空），5分，考查导数的单调性方面的单一运用，如给出导数的图象等信息，研究原函数的单调性、极值、最值等，以中偏高档题为主；一个大题，14分左右，以实际应用问题或以函数为载体，主要考查复合函数的求导，导数的单调性、极值、最值，解方程或解不等式，进而研究函数的零点或证明不等式，兼顾考查分类讨论.此类题难度阶梯上升，逐级增加，具有较强的综合性，对考生能力要求较高，不仅需要牢固掌握基础知识、基本技能，还要求考生具有较强的分析能力和计算能力.各地文、理科试卷在导数部分差别较大，理科更注重综合应用.
命题特点
导数的应用在高考中选择、填空、解答各种题型均可出现，以解答题为主，难度一般为中高档题.涉及的题型主要有：函数的求导和用导数解决曲线的斜率、倾斜角、切线方程；运用导数解决实际应用问题，即从实际问题出发，建立函数模型，从而解决实际问题；利用导数求函数的单调区间，或判断函数的单调性以及函数的极值、最值，进一步研究函数的零点或证明不等式，此类题综合性强、难度大，一般作为高考压轴题；从最近几年的高考试题看，解答题必考，这类题往往具有“稳中求新”、“稳中求活”等特点，更多地体现导数的强大的工具和魅力，注重对数形结合、分类讨论、转化化归等数学思想方法的考查.
1. 导数研究函数的单调性、极值和最值
导数应用注重基础知识、通性通法的考查，常与函数、方程等知识相结合，对参数进行分类讨论.
例1 [f（x）]为R上的可导函数，且对任意[x∈R]，均有[f（x）>f ′（x）]，则有（ ）
A. [e2015][f（-2015）]
B. [e2015][f（-2015）]e2015f（0）]；
C. [e2015][f（-2015）]>[f（0）]，[f（2015）
D. [e2015][f（-2015）]>[f（0）]，[f（2015）>e2015f（0）]
解析 构造函数[g（x）=f（x）ex]，则[g ′（x）=f ′（x）-f（x）ex].
因为对任意[x∈R]，均有[f（x）>f ′（x）]，且[ex>0]，
[]函数[g（x）=f（x）ex]在[R]上单调递减，
[][g（-2015）>g（0）， g（2015）
即[f（-2015）e-2015>f（0）e0=f（0），][f（2015）e2015
也就是[e2015][f（-2015）]>[f（0）]，[f（2015）
答案 C
点拨 本题主要考查了利用导数研究函数的单调性以及构造函数比较大小的方法，是一道非常精巧的小题，看似简单，但技巧性强.根据选项中函数值的形式准确构造函数，再把函数值的大小比较问题转化为函数的单调性问题来研究是解题的关键，其构造方法大家要熟练掌握.
2. 与最值有关的恒成立问题
恒成立问题通常转化为函数的最值问题来处理.通过构造函数，把不等式转化为函数，继而研究函数最值达到解题目的.
例2 已知函数[f（x）=2x+b，g（x）=x2+bx+c（b，c∈R）]，对任意的[x∈R]恒有[f（x）≤g（x）]成立.
（1）当b=0时，记[h（x）=g（x）f（x）]若[h（x）]在[[2，+∞）]上为增函数，求c的取值范围；
（2）证明：当[x≥0]时，[g（x）≤（x+c）2]成立；
（3）若对满足条件的任意实数b，c，不等式[g（c）-g（b）≤M（c2-b2）]恒成立，求M的最小值.
解析 （1）因为任意的[x∈R]恒有[f（x）≤g（x）]成立.
所以任意的[x∈R]恒有[2x+b≤x2+bx+c]，
即[x2+（b-2）x+c-b≥0]恒成立.
由二次函数知，[Δ=（b-2）2-4（c-b）≤0]，
化简得[c≥b24+1]，即[c≥1].
当[c≥1，b=0]时，记[h（x）=g（x）f（x）=12x+c2x]，
因为[h（x）]在[2，+∞]上单调递增，[h′（x）≥0]在[2，+∞]上恒成立，
即[12-c2x2≥0]恒成立，即[c≤x2]在[2，+∞]上恒成立，
所以[c≤[x2]mim=4]，故c的取值范围为[1，4].
（2）要证明[g（x）≤（x+c）2]成立，
只需证明[（2c-b）x+c（c-1）≥0]在[x≥0]时恒成立.
在[c≥1，]的情况下，[c（c-1）≥0]，
而[c≥b24+1≥][2b24×1=|b|]，
可见[2c-b=c+（c-b）>0]，
故当[x≥0]时，一定恒有[（2c-b）x+c（c-1）≥0]，证毕.
（3）由（2）得，[c≥|b|].
当[c=|b|]时，[c=2，b=±2]，
这时验证不等式[g（c）-g（b）≤M（c2-b2）]成立.
当[c>|b|]时，[c2>b2]，不等式可化为[g（c）-g（b）c2-b2≤M]，
因此需求[g（c）-g（b）c2-b2]的最大值或者它的值域，
[g（c）-g（b）c2-b2]=[c+2bc+b]=2-[cc+b]=2-[1bc+1]，
而[c
因此[g（c）-g（b）c2-b2]的最大值为[32]，故M的最小值为[32].
点拨 不等式恒成立求参数取值范围问题经常采用下面两种办法.一是分离参数求最值，即要使[a≥g（x）]恒成立，只需[a≥g（x）max]，要使[a≤g（x）]恒成立，只需[a≤g（x）min]，从而转化为求函数的最值问题.二是当参数不容易分离时，可以直接求函数的最值，建立关于参数的不等式求解，这是通法.例如：要使不等式[f（x）≥0]恒成立，可以求得[f（x）]的最小值[h（a）]，令[h（a）≥0]即可求出a的范围.
3. 利用导数研究函数的零点或不等式的解集或方程的根
此类问题综合性比较强，通常要构造函数，把问题等价转化为函数问题，研究函数的单调性、极值、最值，作出函数的草图，数形结合.
例3 已知函数[f（x）]是[（0，+∞）]上的可导函数，若[xf ′（x）>f（x）]在[x>0]时恒成立.
（1）求证：函数[g（x）=f（x）x]在[（0，+∞）]上是增函数；
（2）求证：当[x1>0，x2>0]时，有[f（x1+x2）>f（x1）+f（x2）].
解析 （1）由[g（x）=f（x）x]得，[g ′（x）=xf ′（x）-f（x）x2].
因为[xf ′（x）>f（x）]，
所以[g′（x）>0]在[x>0]时恒成立，
所以函数[g（x）=f（x）x]在[（0，+∞）]上是增函数.
（2）由（1）知函数[g（x）=f（x）x]在[（0，+∞）]上是增函数，
所以当[x1>0，x2>0]时，
有[f（x1+x2）x1+x2>f（x1）x1]，[f（x1+x2）x1+x2>][f（x2）x2]成立.
从而[f（x1）
两式相加得[f（x1+x2）>f（x1）+f（x2）].
备考指南
1. 回归课本，重视对基本函数与导数定义、图象、运算与性质的复习.对于函数与导数知识的考查，试题多数围绕函数与导数的概念、图象、运算、性质等方面命题，围绕二次函数、三次函数、分段函数、指数函数、对数函数等几个基本的初等函数来设计，考查函数的单调性、奇偶性、周期性和对称性，考查导数的几何意义、导数的基本运算等.所以，我们对函数与导数部分的复习，一定要回归课本，重读教材，只有把课本中的例、习题弄明白，夯实基础，才能真正掌握、灵活运用，达到事半功倍的效果.
2. 加强对函数应用意识的培养和训练.高考加大了对函数应用性问题的考查力度，试题贴近生产、生活，情境具有公平性，难度适当，设问新颖灵活，而解决这类问题所涉及的数学知识、数学思想和方法又都是高中数学《数学大纲》和《课程标准》上要求掌握的概念、公式、定理等基础知识和方法，体现了新课程中“发展考生的数学应用意识”.所以，在备考复习中，我们一定要加强对函数应用意识的培养和训练，对试题所提供的信息资料进行观察、阅读、归纳、整理和分析，并与熟悉的函数模型相比较，先确定函数的种类，再利用相关的函数知识将实际问题转化成数学问题解决，最后对实际问题进行总结作答.
3. 理解函数与导数在其他数学知识中的渗透与整合.高考试题既重视考查数学基础知识和基本技能，又能够考查考生继续学习所必需具备的数学素养和潜能.函数与导数作为高中数学的核心内容，常常与其它知识结合起来，形成层次丰富的各类综合题，成为高考试卷中的把关题和压轴题，为考生提供了一个能力竞争的平台.因此，在备考复习中，一定要把基本的初等函数知识与三角、数列、不等式、方程等知识交叉和融合，还要渗透到解析几何、立体几何问题中，充分认识和利用导数的工具性作用，构建知识网络，全面提高解决综合性问题的能力.
限时训练
1. 已知函数[f（x）=（3a2-2a）?2x]在定义域内单调递减，[f ′（x）]是函数[f（x）]的导数，且[f ′（0）=ln4]，则a的值为 （ ）
A. [-12] B. 2
C. [-12]或2 D. 不存在
2. 函数y=f（x）在区间[a，b]上的最大值是M，最小值是m，若M=m，则f′（x） （ ）
A. 等于0 B. 大于0
C. 小于0 D. 以上都有可能
3. 设函数[f（x）=x-ax-1]，集合M=[{x|f（x）0}]，若M?P，则实数a的取值范围是 （ ）
A. （-∞，1） B. （0，1）
C. （1，+∞） D. [1，+∞）
4. 已知函数y=-x2-2x+3在[a，2]上的最大值为[154]，则a等于（ ）
A. -[32] B. [12]
C. - [12] D. [12]或-[32]
5. 设函数fn（x）=n2x2（1-x）n（n为正整数），则fn（x）在[0，1]上的最大值为 （ ）
A. 0 B. 1
C. [（1-22+n）n] D. [4（nn+2）n+1]
6. 已知函数[f（x）=x3+ax2+bx+c]，下列结论中错误的是 （ ）
A. [?x0∈R]，[f（x0）=0]
B. 函数[y=f（x）]的图象是中心对称图形
C. 若[x0]是[f（x）]的极小值点，则[f（x）]在区间（[-∞]，[x0]）上单调递减
D. 若[x0]是[f（x）]的极值点，则[f ′（x0）=0]
7. 若函数f（x）=x3-12x在区间（k-1，k+1）上不是单调函数，则实数k的取值范围是 （ ）
A. k≤-3或-1≤k≤1或k≥3
B. -3
C. -2
D. 不存在这样的实数
8. 对任意的x∈R，函数f（x）=x3+ax2+7ax不存在极值点的充要条件是（ ）
A. 0≤a≤21 B. a=0或a=7
C. a21 D. a=0或a=21
9. 设f（x），g（x）分别是定义在R上的奇函数和偶函数，当x0，且g（-3）=0，则不等式f（x）g（x）
A. （-3，0）∪（3，+∞） B. （-3，0）∪（0，3）
C. （-∞，-3）∪（3，+∞） D. （-∞，-3）∪（0，3）
10.设函数[fx满足x2f ′x+2xfx=exx，f2=e28，][则x>0时，fx] （ ）
A. 有极大值，无极小值
B. 有极小值，无极大值
C. 既有极大值又有极小值
D. 既无极大值也无极小值
11. 函数f（x）=5-36x+3x2+4x3在区间[-2，+∞）上的最大值 ，最小值为 .
12. 函数f（x）的定义域为R，f（-1）=2，对任意x∈R，f′（x）>2，则f（x）>2x+4的解集为 .
13. 已知方程ex-2x+a=0有零点，则a的取值范围是 .
14.在平面直角坐标系[xOy]中，已知点P是函数[f（x）=ex（x>0）]的图象上的动点，该图象在P处的切线l交y轴于点M，过点P作l的垂线交y轴于点N，设线段MN的中点的纵坐标为t，则t的最大值是 .
15. 设函数f（x）=ln（2x+3）+x2.求f（x）在区间[-34，14]上的最大值和最小值.
16. 设f（x）=2x3+ax2+bx+1的导数为f′（x），若函数y=f′（x）的图象关于直线[x=-12]对称，且f′（1）=0.
（1）求实数a，b的值；
（2）求函数f（x）的极值.
17.对于三次函数[f（x）=ax3+bx2+cx+d（a≠0）]，定义：设[f ″（x）]是函数[y=f（x）]的导函数[y=f ′（x）]的导数，若[f ″（x）=0]有实数解[x0]，则称点（[x0]，[f（x0）]）为函数[y=f（x）]的“拐点”.现已知[f（x）=x3-3x2+2x-2]，请解答下列问题：
（1）求函数[f（x）]的“拐点”A的坐标；
（2）求证[f（x）]的图象关于“拐点”A对称；并写出对于任意的三次函数都成立的有关“拐点”的一个结论（此结论不要求证明）.
18. 已知函数[f（x）=xlnx].
一、函数关系式与定义域
函数关系式包括定义域和对应法则，所以在求函数的关系式时必须要考虑所求函数关系式的定义域，否则所求函数关系式可能是错误的。
例1：某单位计划建筑-矩形围墙，现有材料可筑墙的总长度为100m，求矩形的面积S与矩形长x的函数关系式?
解：设矩形的长为x米，则宽为(50一x)米，由题意得：
S=x(50-x)故函数关系式为：S=x(50-x)．
如果解题到此为止，则本题的函数关系式还欠完整，缺少自变量x的范围。也就说学生的解题思路不够严密。因为当自变量x取负数或不小于50的数时，S的值是负数，即矩形的面积为负数，这与实际问题相矛盾，所以还应补上自变量x的范围：o
即：函数关系式为：S=x(50-x)(0
在用函数方法解决实际问题时，必须要注意到函数定义域的取值范围对实际问题的影响。若考虑不到这-点，就体现出学生思维缺乏严密性。若注意到定义域的变化，就说明学生的解题思维过程体现出较好思维的严密性。
二、 函数最值与定义域
函数的最值是指函数在给定的定义域区间上能否取到最大(小)值的问题。如果不注意定义域，将会导致最值的错误。如：
例2：求函数y=x2 -2x-3在[一2，5]上的最值．
解：•．•y=x2 -2x-3=(x2 -2x+1)-4=(x-1)2 -4
．•．当x=1时，ymin = -4
初看结论，本题似乎没有最大值，只有最小值。产生这种错误的根源在于学生是按照求二次函数最值的思路，而没有注意到已知条件发生变化。
这是思维呆板性的一种表现，也说明学生思维缺乏灵活性。
其实以上结论只是对二次函数y=ax2 十bx+c(a>0)在R上适用，而在指定的定义域区间[p，q]上，它的最值应分如下情况：
(1)当-
(2) 当- >p时，f (x)在[p，q]上单调递减函数 f(x)max= f(p),f(x)min=f(q)
(3)当p ≤-≤q时，y=f (x)在[p，q]上最值情况是：f(x)min =f(-)=f(x)max=max{f(p)，f(q) }．即最大值是f(p)，f(q)中最大的一个值。
故本题还要继续做下去：
一2≤1≤5
f(-2)=(-2)2 -2×(-2)-3=-3
f(5)=52 一2×5-3=12
f(x)max=max{f(-2)，f(5)}=f(5)=12
函数y=x2 -2x-3在[一2，5]上的最小值是-4，最大值是12．
在函数定义域受到限制时，若能注意定义域的取值范围对函数最值的影响，并在解题过程中加以注意，便体现出学生思维的灵活性。
三、 函数值域与定义域
函数的值域是该函数全体函数值的集合，当定义域和对应法则确定，函数值也随之而定。因此在求函数值域时，应注意函数定义域。
例3：求函数y=4x-5+ 的值域．
错解：令t=,则2x=t2+3
y=2(t2+3)-5+t=2t2+t+1=2(t+)2 +≥
剖析：经换元后，应有t≥o，而函数y=2t2+t+1在[0，+∞)上是增函数，所以当t=0时， ymin =1．
故所求的函数值域是[1，+∞)
利用换元法求值域和最值时，必须注意换元后要转化变量的范围，避免以上错误结果的产生。
