发布时间：2023-06-27 16:02:31
序言：写作是分享个人见解和探索未知领域的桥梁，我们为您精选了8篇的三角函数变换规律样本，期待这些样本能够为您提供丰富的参考和启发，请尽情阅读。
三角函数的工具性有所减弱，平面向量、导数的工具性作用替代了三角函数在原教材中的工具性作用．但三角函数作为指数函数、对数函数之后的一类重要函数，重点学习了函数的奇偶性和周期性，使函数的概念和性质得以进一步深化．
因此，在高考中把三角函数作为函数的一种，突出考查它的图象与性质，尤其是形如函数y=Asin(ωx+φ)的图象和性质．对三角公式和三角变形的考查，或与三角函数的图象与性质相结合，或直接化简求值．在化简求值的问题中，不仅考查考生对相关变换公式掌握的熟练程度，更重要的是以三角变形公式为素材，重点考查相关的数学思想和方法．
重视基础知识的教学，把握好习题的难度
近几年的高考试题降低了对三角恒等变形的要求下，逐步抛弃了对复杂三角变换和特殊技巧的考查，将重点转移到对三角函数的图象与性质的考查，对基础知识和基本技能考查上来，加强了对三角函数图象与性质的考查力度．这启发我们三角函数的复习要立足课本、抓好基础、控制难度．在复习中，应立足基本公式，寻求题目条件与结论之间差异，建立联系，以达到消灭差异的目的．“变”为主线．三角变换包括角的变换、三角函数名称的变换、三角函数次数的变换等，在复习中强化“变”的意识是三角复习的关键，但题目不宜太难，特殊技巧的问题坚决不做，2006年三角题只能作为个别现象．建议各位老师在二轮复习中将教材习题进行归类分析比较，帮助学生进一步熟悉解决三角问题的一般规律性方法，达到举一反三的目的.
重视三角函数问题中四类问题的训练
（1）应用常规方法和技巧解决三角式的化简、求值、证明问题，主要掌握三角函数的求值问题；
（2）在掌握函数y=sinx、y=cosx、y=tanx、y=Asin(ωx+φ)，特别是正弦函数的图象与性质的基础上，研究一些三角函数的性质，解题策略一般都是将所要研究的函数化归为只含有一个、一次的三角函数形式；
（3）三角形中的三角函数问题；
（4）三角函数与其它知识交汇融合的问题．
关注2007年新考试大纲的变化
据说新考试大纲将“理解y=Asin(ωx+φ)中的A、ω、φ的物理意义”改为“理解y=Asin(ωx+φ)的物理意义”，体现了与物理等知识的联系；新大纲还有如下变化：将“掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义”增加为“掌握正弦、余弦、正切、余切的概念”，将“正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质”由了解变为理解．
注意对三角形中问题的复习
由于教材的变动，有关三角形中正弦定理、余弦定理、解三角形等内容提到了高中来学习，加上近年加强数形结合思想的考查和对三角变换要求的降低，所以对三角的综合考查将向三角形中问题伸展，复习中要重视正弦定理、余弦定理在解三角形问题的作用，但挖掘不要太深．
重视三角函数与其它知识的结合
三角函数与其它知识，特别是与向量等内容的结合可能成为新的命题热点，在复习中要加强训练．
客观题考点分析
一、知识体系
同角三角函数关系式、诱导公式、两角和差的公式、二倍角公式及其综合应用.
三角恒等变换是三角函数的基础，是一种重要的数学能力，要立足于教材，弄清公式的来龙去脉，同时要注意对公式的正用、逆用以及变形运用的训练，要在灵、活、巧上下功夫，以增强变换意识.
二、核心解读
1. 三角恒等变换是一种基本技能，从题型上一般表现为对三角式的化简、求值与证明. 对所给三角式进行三角恒等变换时，除需使用三角公式外，一般还需运用代数式的运算法则或公式，如平方差公式、立方差公式等. 对三角公式不仅要掌握其“原形”，更要掌握其“变形”，才能在解题时真正达到运用自如，左右逢源的境界.
2. 在运用三角公式进行三角变换时，要从函数名称和角的差异两方面综合分析，再从差异的分析中决定公式的选取. 一般变换的规律是：切割化弦，异名化同名，异角化同角，高次化低次，无理化有理.
三、近几年高考命题特点
1．考查题型以选择、填空为主，分值约占5%，10%，基本属于容易题和中档题.
2．重点考查两角和与差的三角公式和倍角公式等，其中对倍角公式灵活运用的考查是高考的热点.
四、2011年高考真题再现
考点1考查同角三角函数关系
（1）应用同角之间的平方关系、倒数关系和商数关系解决三角函数的求值、化简、证明等问题；
（2）已知一个角的三角函数值，求其他角的三角函数值时，要注意对角化简，一般是把已知和所求同时化简，化为同一个角的三角函数，然后求值.
例1（2011年全国理科卷）已知∈，，sin= ，则tan2=__________.
评析先由∈，，sin= 和 sin2+cos2=1，求得 cos＝，再由tan= ==，求得tan2= = = .
考点2考查诱导公式
（1）+2k（k∈Z），，±，±的三角函数值是化简的主要工具. 使用诱导公式前，要正确分析角的结构特点，然后确定使用的诱导公式；
（2）将不能直接使用诱导公式的角通过适当的角的变换化为能使用诱导公式的角，如：+=2+ +等（注：若k+出现时，则要分k为奇数和偶数讨论）；
（3）诱导公式的应用原则是：负化正，大化小，化到锐角为终了，特殊角能求值则求值；
（4）化简是一种不能指定答案的恒等变形，化简结果要尽可能使项数少、函数的种类少、次数低、能求出值的要求出值、无根式、无分式等.
例2(2011年辽宁理科卷)设sin= ，则sin2=_________.
评析本题考查了二倍角公式等三角函数知识.
sin2=cos=2sin2 1=2
易错提醒利用同角三角函数关系、诱导公式时，容易出现符号错误.
考点3考查两角和、差公式
两角和、差的三角函数公式是高考热点之一，其题型既有小题(选择题、填空题)，也有大题(靠前的解答题)，主要是容易题和中等题. 重点是考查基本公式的应用和恒等变换思想.
例3(2011年浙江理科卷)若0
评析因为+= ，所以cos =cos=coscos+sin ・sin= == .
技巧点拨解题的关键在于把“所求角”表示为“已知角”. ①当“已知角”有两个时，“所求角”一般表示两个“已知角”的和或差的形式；②当“已知角”只有一个时，此时应着眼于“所求角”与“已知角”的和或差的关系，然后应用诱导公式把“所求角”变成“已知角”；③常见的配角技巧：=（+），=（），= [（+）+（）]，=[（+）（）]，+= ，等等.
考点4考查形如f(x)=asinx+bcosx+k的函数
若函数f （x）的解析式通过三角恒等变换可转化为f （x）=asinx+bcosx+k的形式，则函数f （x）的解析式可化为f （x）=sin（x+）+k（其中cos= ，sin= ）的形式.
例4（2011年安徽文科卷）设f （x）=asin2x+bcos2x，其中a，b∈R，ab≠0，若f （x）≤ f 对一切x∈R恒成立. 有以下结论：①f=0；②f ＜ f ； ③f （x）既不是奇函数也不是偶函数；④f （x）的单调递增区间是（k∈Z）；⑤存在经过点（a,b）的直线与函数f （x）的图像不相交. 以上结论正确的是 _____________(写出正确结论的编号).
评析先将f （x）=asin2x+bcos2x，a，b∈R，ab≠0变形为f （x）= sin（2x+），再由f （x）≤对一切x∈R恒成立，得a，b之间的关系，然后顺次判断命题真假.
由f （x）=asin2x+bcos2x=sin（2x+）及f （x） ≤对一切x∈R恒成立，知=，求得a=b>0. 所以f （x）=bsin2x+bcos2x=2bsin.
①f =2bsin=0，故①正确；
②==2bsin，故②错误；
③f （x）≠±f （x），故③正确；
④因为b>0，所以2k≤2x+≤2k+，解得k≤x≤k+，故④错误；
⑤因为a=b>0，要使经过点（a,b）的直线与函数f （x）图像不相交，则此直线与x轴平行，又f （x）的振幅为2b>b，所以该直线必与f （x）图像有交点，故⑤错误.
答案：①③.
考点5考查二倍角公式
掌握倍角公式和半角公式，运用公式进行简单的三角函数式的化简、求值以及恒等式的证明，是高考的热点.
注意以下几组常见的公式：
（1）用cos表示sin2，cos2,tan2：sin2 =；cos2 = ；tan2 = ；
（2）用cos表示sin，cos，tan：sin=±；cos=±；tan= ±；
（3）用sin,cos表示tan：tan ==.
注：上述三组公式从左到右起到一个扩角降幂的作用，从右到左起到一个缩角升幂的作用.
例5(2011年江苏卷)已知tan=2，则的值为__________.
评析因为tan2 ===，而tan= cot2x，所以tan2x=,又因为tan==2，解得tanx= ，所以的值为.
考点6考查综合应用
三角函数的化简求值是常考题型. 它往往出现在小题中，或者是解答题中的一问，其中必然渗透着简单的三角恒等变换和三角函数的性质，着重考查三角函数的基础知识、基本技能和基本方法.
例6（2011年天津理科卷）设函数f（x）=tan2x+，设∈，若f =2cos2，求的大小.
评析由f =2cos2，得tan=2cos2，即 = 2（cos2sin2），即 = 2（cossin）・（cos+sin），又因为sin+cos≠0，所以可得（cossin）2 = ，解得sin2= ，由∈，可得2∈，所以2=，=.
五、2012年高考命题趋势
1. 考查两角和差的三角函数公式，经常以小题形式出现，难度不大；
2．考查二倍角公式的运用，题型可以是小题，也可以是大题，为中档题；
3．考查三角恒等变换的化简与求值问题，一般都在大题中进行考查；
4．解答题属中、高档题目.对三角恒等变换的考查形式有稳重求变、求活和“能力立意”的命题趋势.
1．已知角的顶点与原点重合，始边与横轴的正半轴重合，终边在直线y=2x上，则cos2=_________.
2．若tan=3，则的值等于_________.
3．已知sin=+cos，且∈，则的值为___________.
旧教材对概念的引入一般都是先给出定义，然后再举相应的一些例子予以说明。这样教学逻辑性是强了，但不能照顾到学生的思维能力。而新教材中一些的问题在恰当的地方提了出来，不但引导教师的数学活动，而且能够培养学生的问题意识，带着这些问题学生可以更好的自主学习和培养学生的创新精神。在这种理念下出版的新教材相对于旧教材在问题设置方面变化较大，问题意识贯穿在整个教材的始终。对于穿插在教材中的“观察”、“思考”、“探究”、“观察与猜想”、“阅读与思考”、“探究与发现”、“信息技术应用”等拓展性栏目，有效的调节了数学课堂学习的气氛，改变了传统数学教材的呆板面目，为新教材增色不少。而且新的课程标准也强调了知识的联系性，通过不同数学内容的联系和启发，强调类比、推广、特殊化、化归等思想方法的运用，学习数学地思考问题的方式，提高学生学习数学的思维能力，培养学生的理性精神，教师都可以通过新教材中的一些设计的问题在课堂教学中由学生自主完成，很多有经验的教师都认为课堂上要大胆留给学生自主学习的空间，把学生小组合作学习与学生自主学习有机结合起来，让每个学生都积极地参与到学习中去，成为课堂上真正的主人。
在高中学生掌握的三角函数的主要内容是任意角的概念、弧度制、任意角的三角函数、同角三角函数间的关系、诱导公式、两角和与差的正弦、余弦和正切公式、二倍角的正弦、余弦和正切公式，以及三角函数的图象和性质。在旧教材中三角函数安排在第一册（下）第四章即在高一下学期进行学习。而新教材安排在必修4的第一章和第三章，根据黑龙江省的教学顺序，在高一上学期的期中考完试之后进行学习。
现在我从几个角度去分析三角函数这部分内容的新旧教材内容编写及体系设置的差异：
（1）在形式上的对比：
旧教材是36节课时，新教材是24节课时。
从教材内容先后顺序的调整，更符合学生的认知规律，体现课程标准中倡导的螺旋式的教学模式。新教材展示了研究数学所渗透的多种思想方法，如化归思想，数形结合思想，换元思想，分类讨论思想。同时在数学式子和图形的变化中，让学生领会分析、探索，类比，平移，伸缩变换等这些常用的基本方法，培养学生用数学的意识，从而使学生在获取知识和运用知识的过程中发展思维能力，提高思维品质，培养创新精神。
（二）在内容上的对比：
1、新教材引入了计算器计算。
2、任意角三角函数一节弱化了正弦线，余弦线，正切线，强调了坐标运算。
3、新教材弱化同角关系式结构，减少了tanα·cotα=1 强调运用与推导。
4、诱导公式加入了正切公式，位置与顺序做了调整。
5、新教材将两角和差的正余弦公式放在“三角函数图与性质”之后。
6、新教材将“函数y=sin(ωχ+φ) 的图象”一节放于正切函数图象之后。
7、新教材删去了“已知三角函数值求角”的内容。
8、新教材增加了“三角函数模型的应用”的内容。
9、旧教材中只有“三角函数与欧拉”，“潮汐与港口”两个阅读材料。
新教材有三种专题：
阅读与思考中包括：“三角学与天文学”和“振幅、周期、频率、相位” 。
探究与发现中包括：“函数y=Asin(ωχ+φ) 及函数y=Acos(ωχ+φ) 的周期 ”和“利用单位圆中的三角函数线研究正弦函数、余弦函数的性质”
信息技术应用中包括：“利用正切线画函数y=tanχ,x∈(-■,■) 图象”和“利用信息技术制作三角函数表”。
10、例题习题中出现了许多高考习题，以及方法与思维较为灵活的综合习题等。
内容的调整降低了难度，使教师在教学中既注重基础知识又加强能力的培养，我们在教学中可以依据教材的特点，教材几乎每一部分的右侧都有“？”，让学生可以在课上或课下进行积极的研究与讨论，教师在备课过程中可以设计问题教学法，引导学生带着问题进行学生。教学中注重分层教学，辅助以多媒体教学手段，编写了分层作业，其中有基础作业，能力作业等。
（三）在教学要求上： 旧教材的具体要求是：
1、使学生理解任意角的概念、弧度的意义；能正确地进行弧度与角度的换算。
2、使学生掌握任意角的正弦、余弦、正切的定义，了解余切、正割、余割的定义；掌握同角三角函数的基本关系式；掌握正弦、余弦的诱导公式。
3、使学生掌握两角和与两角差的正弦、余弦、正切公式；掌握二倍角的正弦、余弦、正切公式 通过公式的推导，了解它们的内在联系，从而培养逻辑推理能力。
4、使学生能正确运用三角公式，进行简单三角函数式的化简、求值和恒等式证明（包括引出积化和差、和差化积、半角公式，但不要求记忆）。
5、使学生会用单位圆中的三角函数线画出正弦函数、余弦函数、正切函数的图象，并在此基础上由诱导公式画出余弦函数的图象；理解周期函数与最小正周期的意义，并通过它们的图象理解这正弦函数、余弦函数、正切函数的性质；会用“五点法”画正弦函数、余弦函数和函数的简图，理解A、ω、φ的物理意义。
6、使学生会由已知三角函数值求角，并会用符号arcsinx、arccosx、arctanx表示。
而新教材的具体要求是：
1、了解任意角的概念和弧度制，能进行弧度与度的互化。
2、借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式的正弦、余弦、正切，能画出的y=sinx,y=cosx,y=tanx图象，了解三角函数的周期性。
3、借助图象理解正弦函数，余弦函数在[0,2π] ，正切函数在(-■,■)上的性质（如单调性、最大和最小值、图象与x轴交点等）。
4、理解同角三角函数的基本关系式： sin2x+cos2x=1,■=tanx.
5、结合具体实例，了解y=Asin(ωχ+φ)的实际意义；能借助计算器或计算机画出y=Asin(ωχ+φ)的图象，观察参数A,ω,φ对函数图象变化的影响。
6、会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型。
7、经历用向量的数量积推导出两角差的余弦公式的过程，进一步体会向量方法的作用。
8、能以两角差的余弦公式导出两角和差和正弦、余弦、正切公式，二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系。
9、能运用上述公式进行简单的恒等变换，以引导学生推导半角公式，积化和差、和差化积公式（公式不要求记忆）作为基本训练，使学生进一步提高运用联系转化的观点去处理问题的自觉性，体会一般与特殊的思想，换元的思想，方程的思想等数学思想在三角恒等变换中的作用。
（四）教学体会及建议
1、重视诱导公式的归纳和作用：因为在其它章节中只要是与角有关系的问题,例如：解三角形中；直线的倾斜角和斜率；立体几何中的成角问题等都会涉及到诱导公式的使用。它的作用是将任意角的三角函数化为锐角三角函数，从中领会化归的数学思想及蕴含的创新意识。
2、三角函数线作为三角函数的几何表示，可适当补充一些三角函数线的应用，如比较三角函数值的大小；已知求x, 让学生增强“数形结合”的意识，培养学生运用数形结合的思想方法。也为今后学习有关内容打下基础。
3、同角公式的应用中，对于已知某任意的一个三角函数值，求该角的其他三角函数值，如已知sinα+cosα求sinα,cosα。解决这个问题，关键在于如何正确运用平方根的概念，正确的进行分类。让学生自己去体会总结最佳途径，以免多走弯路。
（一）试题遵循新课程标准、教学要求和考试说明
三年来各知识点、考试要求及试题难度对照：
1.三角、平面向量与复数考点三年试题对比分析
2.集合与简易逻辑、函数与导数、不等式考点三年试题对比分析
3.数列考点三年试题对比分析
4.算法、概率与统计三年试题对比分析
5.立几、解几考点三年试题对比分析中高档题 近三年，考查呈现以下一些特点：
1. 8个C级要求每年全部考查。其中， 直线方程、两角和与差的三角函数为中档题，圆的方程为中高档题，等差数列、等比数列一般为难题，一元二次不等式、基本不等式难易不定。
2. 几乎每年必考的知识点：集合、复数、算法、概率、统计且为容易题，因此，对其要重视但不要挖深。
3. B级要求考查较多，如函数的奇偶性与单调性，指数与对数函数的性质，常见分式函数、无理函数的值域与最值；导数的运算及其几何意义；同角三角函数关系、诱导公式、 三角函数的图象及其变换，三角函数的性质（值域与最值、单调性、奇偶性与周期性等），正弦定理与余弦定理，解三角形；空间点、线、面位置关系的判定，空间几何体的表面积与体积，点面距离；椭圆、双曲线及抛物线的简单几何性质等。
（二）突出数学基础知识、基本技能、基本思想方法的考查
三年试题均突出对数学基础知识和基本技能的考查，08年试题较贴近教学实际，数学基础题的比例较大。
09年试题小题过于简单，单个知识点的题过多， 小题区分度欠佳。10年小题前7题难度尚可，但后面的小题过于综合，大题小题化倾向较明显。
（三）10年试题值得注意的几个问题
1.运算量的加大是一种导向
前两年试题的运算量较少，新课改后的学生的探究能力，思维的发散能力，思维的批判性及数学合作交流能力明显有了改观，学生的运算能力直线下降，估计会加大运算量的考查。
2.关于课程标准、教学要求、教材的关系问题，考试说明的作用问题
10年试题中出现了一些与课标、教学要求不太完全吻合的试题。教师宜根据学生特点和教学要求，作适当的挖掘、延伸。
二、2011年高考数学复习的应对策略
（一）要加大填空题的训练力度
第一轮复习和二轮复习都要加强填空题的针对训练，增加一些多个知识点综合的小题训练，提高答题的正确率；对于C级要求的知识点要务必重视。
（二）2011年对下列知识点要给以关注
1.三角函数的周期性；2.幂函数、函数与方程；3.诱导公式；4.三角函数的图象与变换；5.线性规划；6.复数的几何意义；7.四种命题；8.全称量词与否定量词；9.统计（抽样方法、平均数与方差）；10.充要条件；11.空间几何体的表面积与体积（尤其是组合体）；12.直线的斜率与倾斜角；13.直线平行与垂直的判定；14.椭圆标准方程和简单的几何性质(离心率、准线等) ；15.抛物线的标准方程和简单的几何性质；16.几何概型；17.立体几何中空间线、面的位置关系的判定。
（三）重视教材，夯实基础
要特别重视教材中的典型例习题的挖掘和提炼。（四）回归通法，练好技能
强调通性通法的熟练掌握和应用，通过适量的练习，总结出一般解题规律。
【关键词】职高数学；多媒体技术；三角函数；数学教学
数学是研究空间形式和数量关系的一门综合学科，学生在学习数学并运用数学解决问题时，会不断进行直观感知、观察发现、空间想象、归纳概括、运算求解、数据处理、结果建构等一系列思维过程，但也因其高度抽象的概念、简洁的教学语言、严密的逻辑体系、深刻的数学方式使大部分学生难以学好数学.对于职高生来说，他们的文化基础薄弱，教师们的教法更是各显神通.多媒体技术在教育领域的引入，为传统的职高数学教学注入了新活力，教师们利用多媒体课件进行教学，通过文字、图形、动画等多样化方式，把数学规律和运用过程等形式直观地展示给学生，还可以引导学生自己动手操作.通过这样多种感官刺激，学生的学习兴趣被瞬间燃起，产生强烈的求知欲，积极主动地参与到数学学习过程中去.
三角函数内涵丰富、外延广泛，是数学教学中重要的一部分，学好这一章对学生在数学和其他领域中具有重要的作用.笔者运用多媒体技术对此章节进行教学实践，给学生创造出一个全新的课堂教学，收到了预期的效果.因此，多媒体技术在数学教学中的作用是显而易见的，主要体现在：
一、多媒体导入新课，创设学习情境，激发学生兴趣
心理学研究表明，人类获取信息83%来自视觉，11%来自听觉，1.5%来自触觉.那么在课程的起始阶段有效导入新课，迅速吸引学生眼球、集中学生注意力，把学生思绪带进课程内容是教师上好一节课的重要基础.教师们要弃掉在课堂上滔滔不绝“填鸭式”的教学方式，应充分利用多媒体大容量、多趣味、图文声并茂等特点设计好每一节的新课导入教案，为学生创设出趣味性的学习情境，才能调动学生的感官器官参与，让学生能有身临其境、在最佳的状态下学习新知识.
笔者所在职高的任教班级文化基础较差，学生水平参差不齐，数学成绩更是不忍睹视，学生学习数学的主动性严重缺乏，很多学生甚至有厌学情绪.因此笔者在导入三角函数这一章的新知识学习时，首先得设计出较为简单的案例学习，让学生产生对三角函数学习兴趣.
在学习《任意角的三角函数》一章时，考虑本章节多为定义讲述会让学生产生厌学情绪，如果笔者在进行新知识学习时，通过多媒体向同学播放小明和家人到游乐场玩摩天轮的视频，精彩而又刺激，这视频纷纷引来已经乘坐过摩天轮的同学热烈讨论和未乘坐过同学的好奇心，于是，笔者说道：“同学们，今天我们就要进行一次数学摩天轮之旅，请同学带着问题再细看一次视频，然后进行回答好吗？”同学们丝毫没有感觉到这是枯燥的数学题，兴致勃勃地说，“好”.
问题如下：如图所示（图略）：摩天轮的半径为15 m，中心点O离地面为25 m，现在小明已在摩天轮，5秒后小明会从点P以每秒1度的速度逆时针转动，请问35秒后小明将会离地面多高？
许多学生有着摩天轮亲身的体验，对问题解决的自信心会自然提高.摩天轮的转动与角的终边转动表现相同，转轮的周期性与角的任意性也基本一致.所以通过呈现与学生生活贴近的问题情境，自然而然地吸引学生注意从而进入本节的课题――任意角的三角函数
显然，这样的多媒体情境导入数学新课更容易被学生所接受，并极大限度地把学生的注意力转移到学习中来，重燃学生学习数学的兴趣.对于学业水平偏低的职高学生来说，复杂问题以学生喜闻乐见的情境方式加以简单化，会让学生对数学改观，觉得数学通俗易懂，从而慢慢消除对数学学习的抵触和恐惧心理.
二、多媒体讲授知识，突出学习重点，培养创新能力
如上文所讲，数学是一门极具抽象概念的学科，大部分的知识都要结合图像获得.相当一大部分的学生由于无法获得相对实质的概念理解，往往只知数据表面而不知规律结论的形成过程，再加上传统的教学手段对重难点知识的教学存在一定程度的局限性，所以学生对数学的后续学习会产生困难，对重点难点知识更加难以掌握.因此，教师在枯燥无味的数学课堂上要善于利用多媒体技术，用图文并茂的课件再加上适当的声音改学生的无意注意为有意注意，让学生清楚地看到事物的变化，以静化动，以抽象化具体，以模糊化直观，以无趣化生动，充分调动学生的各个感官系统进行数学学习，扩大学生的认知空间，减少学生自我想象的困难，更好地进行重点难点教学，为提高课堂教学提供有效途径.
正所谓“数离形时少直观，形离数时难入微”，在《正弦函数图像》这节课中，教会学生用五点法画出正弦函数简图是本节课的重点和难点，笔者便运用多媒体技术，形象、直观地把正弦函数一个周期内的两个端点、最高点、最低点及中点这五个点的位置和坐标明显标注，再用动态、颜色鲜艳曲线将这五个点连接起来，在电脑上把一个正弦函数一个周期内的图像画出来了，让同学们清楚明白的看到整个操作过程.
在熟练掌握函数图像的基础上，笔者组织学生在电脑室进行y=Asin（ωx+φ）+b的函数图像变化的内容教学，利用电脑直观地观察此函数变量A，w，φ，b，对函数图像的影响.笔者在对学生进行基本的知识回顾后，指导学生运用几何画板软件在电脑上先进行以下函数的图像操作：
几何画板有着强大转换动能，只要学生输入对应的几个数据，就能得到相应的三角函数值；随着鼠标拖动改变A、w、φ的值，正弦函数就会发生相应的变化.学生通过动手操作，与小组讨论，并通过调整A、w、φ的大小来观察图像变化，便能容易自行得出这些变量对图像的影响，总结出图像变化规律.
在此过程中，学生的学习积极性极高，表现出很强的求知欲，例如在研究综合性问题y=sin3x+π2的图像变换时便产生了分歧：
甲同学认为做法应该如下：先将y=sinx的图像向左移动π2个单位，得到y=sinx+π2，保持图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的13倍，就可以得到y=sin3x+π2.
乙同学却认为应该这样变换：先把图像上所有点的纵坐标不变，横坐标缩短为原来的13倍，得到y=sin3x，再向左平移π2个单位得到y=sin3x+π2.
课堂立刻热闹起来，同学们议论纷纷，各抒己见.于是笔者建议同学们把以上问题在几何画板上检验一下，看看哪种答案是成立的.最后同学们得出结论：两种变换方法都是可以的.笔者便再一次确定同学的结论，说到：振幅变化与周期变换和相位变化是没有联系的，相位的变化主要是根据周期来确定.
本节课内容较为抽象，如果采用传统的教师在黑板上手工绘图展示不仅耗时工作量大，在周期和相位的变化让学生得不到清晰直观的演示，效果教学极差.利用几何画板的直观形象、动态演示进行教学，不仅弥补了职高学生作图能力差的劣势，更提供了让学生自己动手操作、作图观察的机会，充分发挥学生的学习主体地位，让学生在实践中接受知识，应用知识.
三、多媒体巩固练习，增多教学信息，提高教学效果
德国心理学家H.EbbingHaus提出的遗忘规律告诉我们，遗忘是在学习之后立即开始的，在学习完后的24小时内遗忘的最多最快，所以，防止学习后便遗忘的最好办法就是课后练习.这要求教师所布置的课后作业要紧扣教学目标、能够突出教学内容的重点难点，而不是随便在教材课后练习或者练习册上勾画几题敷衍了事.运用多媒体布置课后练习，可多样化设计出相对应的巩固练习，不仅省去了板书的时间，而且可以给学生提高大量的信息和练习内容.
针对职高学生的特点，教材的练习题笔者一般都是作为辅的练习材料，学生自主选择做与不做的空间比较大，因为笔者一般自行设计出练习题并用多媒体呈现给学生.
例如，数控专业的同学们在学习完三角函数图像变换后，笔者利用多媒体给学生展示了
正弦交流电的波形演示实验，让学生明白交流电是如何产生的，以及正弦交流电的物理量与三角函数变量值的相似关系.视频中发电机的转子在转动，接在电路中的小灯泡一亮一灭的非常有规律，笔者引导学生注意观察交流表指针的偏转情况，观察电流强度随着时间做周期性变化的情况是否符合三角函数的特征.
于是，笔者便将作业布置为如下：请通过各种途径查找如上述演示的类似三角函数在日常生活中的应用例子，并将具体的操作情况分享给大家.一周后同学们将结果一一呈现给大家，成果挺丰富，如：钟摆的运动、沙漏演示、波的传播等等.这些例子都与函数表达式有关，学生在练习的过程中进一步巩固了知识，更强化了数学模型在生活中的应用能力，为他们在专业课的学习奠定了坚实的基础.
结语：实践证明，不管是三角函数还是其他知识的教学，职高数学教学确实需要借助多媒体技术的优势进行新方式教学，多媒体技术的几何直观性和数形整合性给数学这门严谨的学科注入新活力也是毋庸置疑的.运用多媒体技术不仅能为学生创设出具富启发性的学习情境，能有效地激发学生领悟数学思维和信息处理能力，更让学生由“听、讲”被动的学习方式改变为积极参与、观察实验、主动思考，系统地构建自我知识体系，为自身知识、能力、素质等方面的提高奠定了良好的基础.但是，多媒体技术与数学课程内容的整合还有很大的改正空间，在以后的教学中笔者将继续努力学习，积极探索，寻找、开发出更好的与多媒体结合的数学教学方式.
【参考文献】
[1]龚运勤，唐振球.架起数学史成为提高中学生数学学业成绩的桥梁[J].数学教育学报.2011（06）.
[2]汪晓勤，王苗，邹佳晨.HPM视角下的数学教学设计：以椭圆为例[J].数学教育学报.2011（05）.
例1 （2014年湖北省荆州高考数学模拟试卷）集合A={-1，0，1}，B={y|y= cos x，x∈A}，则A∩B=
A.{0} B.{1} C.{0，1} D.{-1，0，1}
难度系数 0.75
错解 A={-1，0，1}，B={y|y=cos x，x∈A}={y|-1≤y≤1}，A∩B={-1，0，1}.选D.
错因 涉及含有三角函数问题的集合的表示方法以及两个集合的交集的定义与求法问题，关键是结合题目条件确定相关的集合后再加以运算.以上错解没有充分考虑集合B中函数值y=cos x中的自变量x的取值限制，直接结合余弦函数得到-1≤y≤1，而实际上这里x∈A，求出B={cos 1，1}是解题的关键.
正解 A={-1，0，1}，B={y|y=cos x，x∈A}={cos 1，1}，A∩B={1}.选B.
小结 涉及三角函数值的应用问题，同学们一定要注意三角函数中对应自变量x的取值范围的限制条件，不能盲目直接利用三角函数的图像与性质来求解，要充分考虑题目条件或隐含条件中对相应角的取值限制.
易错点2：诱导公式显身手，题目条件需挖掘
例2 （2014年甘肃省高考数学一模试卷）定义在R上的偶函数f（x）满足f（x+1）f（x）=-2[ f（x）≠0]，且在区间（2 013，2 014）上单调递增.已知α、β是锐角三角形的两个内角，则f（sin α）、 f（cos β）的大小关系是
A. f（sin α）< f（cos β） B. f（sin α）> f（cos β）
C. f（sin α）= f（cos β） D.以上情况均有可能
难度系数 0.55
错解 由f（x+1）f（x）=-2[ f（x）≠0]，得f（x+2）= - =- = f（x），所以函数f（x）是R上的周期为2的周期函数.
又偶函数f（x）在区间（2 013，2 014）上单调递增，所以其在区间（-1，0）上单调递增.根据偶函数的性质，可知函数f（x）在区间（0，1）上单调递减.
由于α、β是锐角三角形的两个内角，所以sin α与cos β的大小无法确定.选D.
错因 涉及三角函数值大小比较的问题，同学们要注意结合函数在相应区间内的单调性，并结合自变量的大小关系来加以正确判断.以上错解对于α、β是锐角三角形的两个内角的条件没有充分挖掘，直接得出sin α与cos β的大小无法确定，进而导致错误判断.实际上，结合条件，sin α与cos β的大小是可以判断的.
正解 由f（x+1）f（x）=-2[ f（x）≠0]，得f（x+2）= - =- = f（x），所以函数f（x）是R上的周期为2的周期函数.
又偶函数f（x）在区间（2 013，2 014）上单调递增，所以其在区间（-1，0）上单调递增.根据偶函数的性质，可知函数f（x）在区间（0，1）上单调递减.
由于α、β是锐角三角形的两个内角，所以α+β> ，即 >α> -β>0.所以1>sin α>sin（ -β）>0，即1>sin α>cos β>0.所以有 f（sin α）< f（cos β）.选A.
小结 涉及三角形中的三角函数值问题，同学们一定要注意对题目条件的挖掘，结合三角形的性质以及三角函数的对应公式来分析与求解.解答本题的关键是由α、β是锐角三角形的两个内角，得到α+β > ，通过不等式的转化与应用，结合正弦函数的图像与性质以及诱导公式来综合解答.
易错点3：三角函数有界性，考虑问题要慎重
例3 （2014年江苏省苏州市高三第一次调研卷）设a，b均为大于1的自然数，函数f（x）= a（b+sin x），g（x）=b+cos x，若存在实数m，使得f（m）=g（m），则a+b=______.
难度系数 0.40
错解 存在m使得f（m）=g（m），即存在m使得a（b+sin m）=b+cos m，则有b（a-1）=cos m-asin m= cos（m+φ）∈[- ， ].所以b（a-1）≤ ，即b2≤ .显然，当a=2时，b2≤5，此时b=1或b=2，故a+b=3或a+b=4.
错因 涉及三角函数中的辅助角公式的应用问题，往往通过转化并结合三角函数的有界性来综合与应用.以上错解对三角关系式加以正确转化，但在考虑参数a，b的值时，没有充分利用条件中a，b均为大于1的自然数这个条件，同时结合相应的不等式加以科学推理与分析.
正解 存在m使得f（m）=g（m），即存在m使得a（b+sin m）=b+cos m，则有b（a-1）=cos m-asin m= cos（m+φ）∈[- ， ].所以b（a-1）≤ ，即b2≤ = = + +1=2（ + ）2+ .
由于a，b均为大于1的自然数，所以b2∈（1，5]，则b2=4，即b=2.
由2（a-1）≤ 展开并整理有3a2-8a+3≤0，解得 ≤a≤ ，满足大于1的自然数a只能是a=2，即a+b=4.
小结 涉及三角函数的有界性问题，关键是对条件进行限制与应用.本题通过三角函数的辅助角公式，利用三角函数的有界性，推出a，b的关系，同时a，b均为大于1的自然数，结合不等式的性质、二次函数的图像与性质、不等式的求解等来讨论a，b的范围，从而求出a，b的值.
易错点4：图像平移与变换，方向单位齐注意
例4 （2014年高考浙江文科卷）为了得到函数y=sin 3x+cos 3x的图像，可以将函数y= ・cos 3x的图像
A.向右平移 个单位 B.向右平移 个单位
C.向左平移 个单位 D.向左平移 个单位
难度系数 0.68
错解 由y=sin 3x+cos 3x= cos（3x- ），则可以将函数y= cos 3x的图像向右平移 个单位，即可得到y= cos（3x- ）的图像.选B.
错因 涉及三角函数图像的平移与变换问题，同学们要注意结合三角函数平移前后对应的同名三角函数关系式中自变量与因变式对应的变化.以上错解对自变量x的考虑不到位.
正解 由y=sin 3x+cos 3x= cos（3x- ）= cos 3（x- ），可将函数y= cos 3x的图像向右平移 个单位，即可得到y = cos 3（x- ）的图像.选A.
小结 三角函数的图像平移时，平移方向遵照规律“左加右减，上加下减”执行，即：①将三角函数y= f（x）的图像向x轴负（或正）方向平移φ（φ>0）个单位，则将y= f（x）中的x用x+φ（或x-φ）代换，所得新的三角函数图像的函数解析式为y= f（x+φ）[或y=f（x-φ）]；②将y= f（x）的图像向y轴正（或负）方向平移m（m>0）个单位，则将y= f（x）中的f（x）用f（x）+m[或f（x）-m]代换，所得新的三角函数图像的函数解析式为y = f（x）+m[或y= f（x）-m]，然后进行整理即可.
一、 掌握作图
作函数y=Asin(ωx+φ)的图象有两种方法，一是“五点法”，二是“变换法”．
“五点法”是作函数y=Asin(ωx+φ)图象的实用方法．用“五点法”作图时，一定周期、二定起点、三按周期规律均匀分布其余四点．
“变换法”在实际作图时并不太方便，但它能帮助我们认清函
数y=Asin(ωx+φ)与正弦函数y=sinx之间的内在联系，应用很广泛．常用的变换规律是：
y=sinx
沿x轴向左平移φ(φ>0)个单位或向右平移|φ|(φ
纵坐标不变，横坐标变为原来的1ω（周期变换）
y=sin(ωx+φ)
横坐标不变，纵坐标变为原来的A倍（振幅变换）
y=Asin(ωx+φ)
例1试用五点法作出函数f(x)=2sin(2x-π3)的图象，并说出这个函数的图象可以由函数y=cosx的图象经过怎样的变换得到．
解析列表描点得出f(x)=2sin(2x-π3)的图象（如图1所示）.
2x-π30π2π32π2π
xπ6512π
23π
1112π76π
y020-20
y=cosx，即y=sin(x+π2)．将y=sin(x+π2)图象沿x轴向右平移56π个单位，得到y=sin(x+π2-5π6)即y=sin(x-π3)的图象；将所得图象上的各点横坐标变为原来的12（纵坐标不变），得到y=sin(2x-π3)的图象；再将所得图象上各点的纵坐标变为原来的二倍（横坐标不变），得到y=2sin(2x-π3)的图象．
二、 学会识图
这里的识图是指由给出的图象，能写出与之对应的函数y=Asin(ωx+φ)的解析式，从而进一步地，能够认识和研究这个函数的有关性质．
由所给图象写出与之对应的函数y=Asin(ωx+φ)的解析式，关键是确定A、ω和φ的值．方法较为灵活．A通常由最大值和最小值确定，ω由周期确定：ω=2πT，而φ=-ωx0（这里的x0是指用“五点法”作图时的起点的横坐标）．另一种常用的方法则是将图象上的点的坐标代入，借助待定系数法求解．
例2已知函数y=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|
解析由图象知A=2，T=2［6-(-2)］=16，故ω=2πT=
2π16=π8．
又图象起点的横坐标x0=-2，
所以φ=-ωx0=-π8・(-2)=π4．所以f(x)=2sin(π8x+π4)．
其初相φ=π4，周期T=16，振幅A=2.由2kπ-π2≤π8x+π4≤2kπ+π2，得16k-6≤x≤16k+2，即增区间为［16k-6,16k+2］(k∈Z)；同理可得减区间为［16k+2,16k+10］(k∈Z)．
三、体验用图
“用图”是数形结合思想的体现，学会运用函数y=Asin(ωx+φ)的图象解决与三角函数有关的数学问题和实际问题，可以使我们的思维品质和解题能力得到有效的锻炼与提高．
例3某港口的水深y(m)是时间t(0≤t≤24,单位：小时）的函数.下面是该港口的水深数据表.经长时间的观察，描出的曲线如图3所示，经拟合，该曲线可近似地看成正弦函数y=Asinωt+B的图象．
(1)试根据数据表和曲线，求出函数
y=Asinωt+B的表达式；
(2)一般情况下，船舶行时船底同海底
的距离不少于4.5m时是安全的．如果某船
的吃水深度（船底与水面的距离）为7m，
那么该船在什么时间段能够安全进港？若该
船欲当天安全离港，它在港内停留的时间最多不能超过多长时间（忽略离港所需的时间）？
【关键词】初等数学；代数；变形；解题；技巧
在数学的学习中，解题的过程能让学习数学变得更加生动精彩，通过数学解题，可以使学生获得数学知识和进一步生活所必需的基础知识和基本技能.近年来，在初等数学的考试中题目越来越灵活，特别是在中考，高考等选拔性考试中，不仅注重学生对基础知识的掌握，而且越来越重视学生对知识的灵活运用，在解题时对有些题目采取正确的解题技巧，作出适当的变形，可以使解题过程充满趣味同时提高解题效率.
一、一元二次方程的变形技巧
在一元二次方程的求解过程中或者是在解可化为一元二次方程的分式方程时，常常会通过适当的式求的方程的解.变形使问题简化.
二、三角函数化简的变形技巧
三角函数的化简就是对三角函数的恒等变形，使之成为最简形式.而化简的最重要策略就是进行三角恒等变形，三角函数式的恒等变形中包含的公式多，涉及的知识面广，题型变化大，若探索不出解题规律，就会无从下手.克服方法有：（1）要能灵活的运用公式，熟记三角公式，深刻领会公式的实质，弄清公式的来龙去脉，不但会顺用公式，而且能逆用公式，掌握公式的各种变形情况及派生公式，还要明确各类公式的主要作用；（2）要能掌握三角变换的基本规律，如化复为单，化不同角为同角，化异名为同名，化高次为低次，化多项为单项等；（3）要注意代数式恒等变形法则的作用，如乘法公式、因式分解、分式运算、根式运算、配方等.
三、代数中的变形技巧
代数学习在中学数学学习中及其重要，在代数学习中，掌握好变形技巧能够使我们更好的明确解题方向，简化问题.代数中常见的变形有对数变形，指数变形等等.
1.指数的变形技巧
2.对数的变形技巧
