发布时间：2023-09-15 17:13:52
序言：写作是分享个人见解和探索未知领域的桥梁，我们为您精选了8篇的微分方程在化学中的应用样本，期待这些样本能够为您提供丰富的参考和启发，请尽情阅读。
关键词：微分方程 应用
中图分类号：O175 文献标识码：A 文章编号：1672-3791（2012）12（a）-0215-01
微分方程指的是，联系着自变量，未知函数及它的导数的关系式子。微分方程是高等数学的重要内容之一，是一门与实际联系较密切的一个内容。在自然科学和技术科学领域中，例如化学，生物学，自动控制，电子技术等等，都提出了大量的微分方程问题。在实际教学过程中应注重实际应用例子或应用背景，使学生对所学微分方程内容有具体地，形象地认识，从而激发他们强大的学习兴趣。
1 应用问题举例
1.1 生态系统中的弱肉强食问题
在这里考虑两个种群的系统，一种以另一种为食，比如鲨鱼（捕食者）与食用鱼（被捕食者），这种系统称为“被食者—捕食者”系统。
Volterra提出：记食用鱼数量为，鲨鱼数量为，因为大海的资源很丰富，可以认为如果，则将以自然生长率增长，即。但是鲨鱼以食用鱼为食，致使食用鱼的增长率降低，设降低程度与鲨鱼数量成正比，于是相对增长率为。常数，反映了鲨鱼掠取食用鱼的能力。如果没有食用鱼，鲨鱼无法生存，设鲨鱼的自然死亡率为，则。食用鱼为鲨鱼提供了食物，致使鲨鱼死亡率降低，即食用鱼为鲨鱼提供了增长的条件。设增长率与食用鱼的数量成正比，于是鲨鱼的相对增长率为。常数>0，反映了食用鱼对鲨鱼的供养能力。所以最终建立的模型为：
这就是一个非线性的微分方程。
1.2 雪球融化问题
有一个雪球，假设它是一个半径为r的球体，融化时体积V的变化率与雪球的表面积成正比，比例常数为>0，则可建立如下模型：
1.3 冷却（加热）问题
牛顿冷却定律具体表述是，物体的温度随时间的变化率跟环境的的温差成正比。记T 为物体的温度，为周围环境的温度，则物体温度随时
2 结语
文中通过举生态系统中弱肉强食问题，雪球融化及物理学中冷却定律问题为例给出了微分方程在实际中的应用。在讲解高等数学微分方程这一章内容时经常举些应用例子，能引起学生对微分方程的学习兴趣，能使学生易于理解和掌握其基本概念及理论，达到事半功倍之效。
参考文献
[1] 王嘉谋，石林.高等数学[M].北京：高等教育出版社，2012.
关键词：常微分方程；教学改革；教学内容；教学方法；教学手段
中图分类号：G624文献标识码：A文章编号：1009—0118（2012）11—0004—02
常微分方程是基础数学的一个重要组成部分，常微分方程在整个数学大厦中占据着重要位置。自然科学（物理、化学、生物及天文）中的许多一般规律，用常微分方程的语言来表达最为自然。因此，常微分方程是探索实际问题的重要工具。特别是随着动力系统及非线性科学的发展，需要一批能够在该领域不断开拓进取的人才。但是该课程在目前的教学中还存在一些问题：（1）本课程包含一些冗长繁琐的计算公式和定理推导，而教学课时数普遍较少，因此在使用传统教学方法和手段授课时，使得有些内容不能深入细致地讲解，导致教学效果不佳；（2）受传统教学模式的影响，忽略了教学过程中师生的交流和学习效果的验收，使学生陷入思维的惰性中，限制了学生的批判性、创造性思维能力。因此，如何改革传统的教学模式，用新的思路去改进现有教学方法，以培养学生的创新能力对作为基础课程的常微分方程显得尤为重要。本文从教学内容、教学方法和教学手段等方面探讨常微分方程课程的教学改革。
一、教学内容的更新
（一）合理选配教科书和参考书
关于常微分方程的教材有很多，如何合理的选配教科书和参考书是搞好教学改革的关键一环。事实上，给学生指定一些参考书，让他们在课余时间对照课堂上教师的讲授的内容进行学习，有助于学生进一步加深对常微分方程这门课程的了解，从而让他们从单纯的课堂中走出来。所以，合理的选配教科书和参考书是很有必要的。对于不同层次的学生，由于培养目标和教学计划的差异而有所区分，因此应根据学生具体情况的不同选取教材。
对于基础较好的学生，可选择理论内容较为丰富的教材，如文献1，2 。对于此类学生，他们不但要掌握一些基本的计算方法和推导公式，如一阶微分方程的初等解法、高阶微分方程的求解公式、及线性微分方程组的求解公式等，还要知道这些公式、方法的具体来源，推导过程。这就需要教师在教授过程中注重这些公式、原理的理论分析与证明，因此对教材的选取，应以理论侧重为主。对于特别优秀的学生，可直接选用国外原版教材，如文献3 ，让学生在学习之余提高他们阅读外文文献的能力。对于基础一般的学生来说，侧重于使之掌握相关公式的应用，对于相关理论的含义，只需了解其内容并能熟练应用即可。在教学上应以侧重使学生领会公式的推导原理和方法，熟练掌握公式的具体运用，淡化理论证明为主。因此，可选用理论与计算兼而有之，侧重于计算为主的教材，如文献4 。
（二）适当选取教学内容
像常微分方程这样的基础课，其教学内容比较经典成熟，但仍应该根据科学和社会发展的需要，用现代数学的思想、观点为指导，重新审视教学内容，与时俱进地吐故纳新，加入一些最新的前沿性知识。例如，近几十年来动力系统及其非线性科学得到了迅猛发展，极大的促进了力学、物理、生物、地理等领域的发展，如果能将这方面的新理论新方法同常微分方程中的一些知识结合起来进行讲授，将会起到很好的效果。
对于具体的教学内容还应在选定教材后，根据学时等的安排合理选择教学内容。当学时较少时，可适当删减一些复杂且将来会随着深造而进一步学习的内容，如文献1 中的第六章非线性微分方程中的第五、第六节，以及第七章一阶线性偏微分方程。在学时较充裕的情况下，可增加一些当今微分方程中的热点问题。例如，加强Picard逼近法及解的存在唯一性证明，将它们同运用等价积分方程建立迭代推导关系同后面动力系统思想联系起来，不但给出了存在唯一性的相关证明，更对当今动力系统中的一些思想和观点给出一定的介绍和阐释5 。这样，不但可以让学生学到的知识具有前瞻性，而且还可以帮助他们开阔思维、拓展视野、培养兴趣、增加学习积极性。让课程的结束成为他们深入钻研的开始，吸引他们继续在这一领域前行。
二、教学方法的改进
（一）传统教法与现代教法相结合
教学方法一般是指与一定教学目标和任务相关的具体操作程序，是完成教学任务所使用的方法。我们可以把现行的教学方法大体分为传统教法和现代教法。站在形势发展需要的角度看，传统教法有其弊端：它一般是以滔滔不绝的讲解为主。教师的主要精力在于讲授教材，学生的学习是被动的、消极的。可是它必竟是在人类社会发展的历史中流传下来的，到如今仍有它的合理性的一面，有的仍是教师教学中不可缺少的方法，所以不能一概否定。新方法的出现，是随着社会发展的需要、社会的变革产生的，是积极的。它与传统教法的出发点不同，它是从灌输知识为主转变到启发学习为主。在教学观念上倡导适应个别差异、因材施教，强调把教学的重心从怎么“教”转到怎么“学”上。因此，若能结合这两种方法，在教学实践的应用中做全面的、客观的、现实的分析，深入研究，总结效果，会大大的提高教学效果。
在常微分方程课程的讲授中，有许多公式定理需要推导。若教师只是灌输式的教学，学生只是被动的接受，将会逐渐失去对这门课程的兴趣和积极性。因此，在讲授课程的同时，可将启发式、对话式教学引入课堂。例如，在讲完一阶微分方程的初等解法后，我们可以引导学生自己考虑几种常见的一阶微分方程的类型之间的关系，从而引出微分方程中的“化归思想”。这样，在教学过程中将讲授式与启发式教学结合起来，不但能增加学生的学习兴趣，让他们在教师的引导和自己的主动思考中拓展思维空间和知识结构，更能让他们较为全面的掌握系统的理论知识。
（二）考核方式多元化
恰当、正确的考核方式可以及时反应教师的教学效果，因此，制定适当的考核方式是了解学生对所学知识掌握情况的有效手段之一。对此，我们将考核分成三个部分：学习态度考核、随机口试考核、期末考试6 。
学习态度考核是由教师和课代表平时详细记录每一个学生的出勤、上课表现、作业完成情况等方面，学期末由课代表和主讲教师共同评定成绩。随机口试考核则是由教师事先准备一系列的问题，在课堂或课后由学生随机抽取一道题目作答。这种方式可以引导学生注重常微分方程的基本概念和重要思想，使教师能直接掌握学生对知识细节的熟悉度以及学生的思维能力和综合运用知识的能力。期末考试以闭卷的方式进行，其内容包含本课程的主要理论知识，应突出考查学生对知识的理解程度和运用能力。在试题的选定过程中，应以考查学生对基本概念，基本理论的理解度以及对知识的综合运用度为基本原则。通过这三方面的考核，不但使教师较全面的把握学生的所学知识的掌握程度，也能增进学生与教师之间地学习和交流。
三、教学手段的多样化
（一）引入多媒体教学
使用多媒体教学是一种新型的教学模式，需要在教学过程中不断总结与交流，努力将传统教学模式的优点和现代教学模式的长处有机地结合起来。实践证明：两者结合的好坏是新型教学模式成败的关键，传统教学模式讲得好的教师往往使用现代教学模式也更加成功，原因在于保持了传统教学模式的优势7 。随着计算机技术的发展，多媒体教学具有传统教学模式无法取代的优势。
图文并茂，从直观上展示公式、定理的意义，并激发学生学习微分方程的兴趣。多媒体教学利用图像和图形的结合.能够给学生更多感官上的刺激。变抽象的定理内容为具体，这就使学生更容易理解和掌握教学内容。节省课堂时间，提高教学效率。常微分方程课程涉及大量复杂繁琐的公式计算和定理的推导，如果只使用黑板加粉笔的传统教学模式，将在板书上花费过多的时间和精力。若能合理的运用多媒体教学，把需要的教学内容制作成为简洁、生动的课件，并直接在课堂上播放，便能大大减少教师花在板书上的时间，使教学内容变得紧凑而有条理。显然，只要我们不断地总结经验，利用多媒体教学发挥更大的作用，教学成果一定会有显著提高。
（二）充分利用网络资源
由于课堂教学在时间上的限制，学生无法完全掌握在课堂上所学的知识。对此，一方面，教师可以利用课余时间对学生的课程进行辅导和讲解。在答疑过程中，要注意引导学生对所学内容进行归纳总结，进一步梳理重、难点，提炼出自己的想法和观点，这样才能较好的发挥答疑的作用。另一方面，还可充分利用网络资源。如将课件上传到校园网上供学生自学；通过qq或电子邮件等网络工具，这便打破了学生在学习时间上的限制，真正实现了教学相长，同时调动了学生学习的积极性，弥补了课堂教学不足，进而提高教学质量。
四、结语
本文从三个方面对常微分方程课程的教学改革进行探讨。在教学中根据课时等因素合理安排教学内容，注意避简就难，突出解决重点、难点。授课时不拘泥于教材内容的排序，注重对各知识点进行重组和精炼。注重讨论式教学、启发式教学。充分利用网络资源，引导学生进行自主式、探究式学习。针对学生平时的考核，了解学生对所学知识的掌握情况，进而不断改进和提高教学方法和教学手段，认真总结教学经验，从而逐步提高该课程的教学质量和教学水平。
参考文献：
[1]王高雄，周之铭，朱思铭，王寿松.常微分方程[M].北京：高等教育出版社，2006.
[2]丁同仁，李承治.常微分方程教程[M].北京：高等教育出版社，2004.
[3]V.I.Arnold，Ordinary Differential Equations，MIT press，Princeton，1973.
[4]焦宝聪，王在洪，时红廷.常微分方程[M].北京：清华大学出版社，2008.
[5]张伟年.本科数学专业常微分方程教学改革与实践[J].高等理科教育，2003，（1）：19—21.
一、数学建模在高数教学中的意义
数学建模是用数学的方法将特定对象的内涵完整、清晰而又简洁地表述出来。在高数教学中建模思想占据重要地位，它是将数据和实际问题相连接的纽带，以物理、化学为代表的自然科学和以金融、管理为代表的社会科学以及以机械为代表的工程学中都经常用到数学模型。
二、数学建模在常微分方程模型数值解法的应用
本文以商品价格为例探讨数学建模的实际应用。在完全的市场经济体制中，产品的价格由市场的需求决定：供大于求，产品价格自然上不去；求大于供，产品紧俏，价格自然下不来。换句话说，假定我们忽略一些影响产品价格不断波动的因素，仅考虑市场和产品因素，可以说，市场上供与求的关系一定程度上决定了产品的价格，然而，实际上，产品的价格受到多方面的影响，不会完全取决于市场需求，且产品价格也不是一成不变的，它会是一个波动值。
1.模型的构建
我们用数学模型来表示产品价格与市场需求的关系：设定时间为t，产品定价为p（t）。p（t）不等于生产厂家的价格定位，这时市场供需关系发生变化，供与求的不均衡会导致产品价格需要重新定价。在新的定价下，供需关系会再次产生变化，这样循环反复。因为供需关系的变化，产品的价格就是不断变化的，是动态的，我们发现产品价格p（t）和供求关系的比值―有正相关的关系，我们用f（p，r）代表市场需求，用g（p）代表向市场供应的产品数量（r为设定值），那么可得到下式
注意，p0代表产品在时间t=0的定价，α是正的实数。
从这里我们可以看出市场价格的模型是一个关于一阶常微分方程的数学模型，可以通过常微分方程的数值解法求解分析。
研究团队、制药产业及医疗服务业已经认可生命科学仿真系统的作用。在化学工程师和计算机辅助过程工程专家的帮助下，生物工程师可以运用这些手段解决诸多生理学和医学问题。
2仿真技术的研究进展
系统生物学要使用定量分析来研究生命系统。起因于处理大量数据的需要。学者通过计算机仿真技术，利用定量分析来处理临床问题，产生了名叫系统医药学的新学科。化学工程师长期参与生物学和生物医学的定量分析。Peppas和Langer认为在20世纪60年代早期化学工程师就参与生物医药工程。Bailey和同事研究出一种控制新陈代谢的手段，这种手段不仅可用于生物制造技术，也可用于其他生物问题。2005年，Solis和Stephanopoulos指出了纳米级的系统工程需要解决的问题。2006年，Doyle和Stelling回顾了用计算机仿真技术去分析代谢网络的一些重要的成果。2009年，Eissing、Chaves和Allgower利用仿真模型来分析细胞死亡。近年来，有许多论文概述了计算机工程师和化学工程师在医疗系统中的作用。对化学工程师，尤其是工艺系统工程师来说，免疫系统是一个采用仿真技术的复杂系统，化学工程师能够研究免疫系统和病毒之间的相互作用。2004-2005年，Deem开发了一种运用计算机仿真技术研究了病毒和疫苗造成的免疫反应的定量模型。Chakraborty在2003年用仿真技术研究了免疫系统的细胞间的通信，以及免疫反应。2006年，Joly和Pinto认为HIV-1发病机理的数学模型优化了药物治疗的方法。这种方法会导致药物设计和配方设计的改进。Yin在2007年提议把病毒当作一种产品，研究病毒生长和传播时需要考虑时空的影响。可以预见，将来人们会用生理学模型和计算机技术设计出最佳药物配方。为了有效地进行仿真，需要根据生物具体的特性建立多种生理学计算模型。几年前，学者启动生理组计划（PhysiomeProject），旨在寻找人和其他真核生物的计算模型。迄今为止，该计划主要关注使用CellML标准的细胞电生理学的数学模型。CellML标准是一种使用细胞进程模型的生物物理学模型标准。另外SBML标准是一种能够辨识生物进程的计算机可读标准。最近，一个名为虚拟生理人的项目进一步促进了欧洲学者研究生物医学的建模和仿真。学者开发了一些数据库去存储生物模型。细胞模型系统和生物模型数据库是其中两个重要的数据库，两个数据库都建议使用CellML标准和SBML标准。学者可使用这两个数据库来探索复杂的生命系统。生物模型在药物的使用方面有重要作用，这不仅是一个通用手段，而且对癌症治疗和眼病治疗也有特殊的贡献。2002年，Cstete和Doyle提出一种生物反馈系统的逆向工程分析原理。2003年，Tyson、Chen和Novak回顾一些生物控制模块的设计原则。
3简单系统的建模
2001年，Hangos和Cameron强调明确建立模型的目的，模型是在对现象总结的基础上，用计算机能够接受的方式反映规律，建模是下一步仿真计算的基础。对复杂系统来说建模十分必要。复杂系统不可能设计出含所有现象的实验，因为部分量不可测量，并且几个现象间很难找到相互关系。尽管学者已经在测量基因与代谢领域取得巨大进展，但仍有许多生物量无法测量，即便能够测量出一些，测量的准确性也不够高。下面的例子是伦敦大学研究得到的一种模型，该模型模拟了血流改变时动脉壁内皮细胞的反应。血流改变刺激细胞产生化学信号，而这些化学信号拉长了内皮细胞，在某些条件下，巨噬细胞在动脉壁上增加了，最后导致动脉粥样硬化。动脉粥样硬化斑块的位置与血流改变的区域息息相关。并造成影响。学者研究出两个模型来探索这种影响。模型一是细胞表面的血液模型，首先把细胞表面分解成许多不同的小三角形区域（0.4um），这个模型可以看成一个斯托克斯公式的边界积分表达式，通过该模型可以研究在血流作用下细胞的受力情况。模型二研究了力对细胞骨架的影响，细胞骨架保持细胞形状，可以使用开尔文体模型研究这个问题，它是由1个缓冲器和2个平行的弹簧构成的黏性弹性系统，开尔文体代表一种将机械力转化成生化信号的细胞成分，这种生化信号会导致Src激酶的活化，Src激酶会调节Rho激酶和GTP酶（Rac和Rho），而Rho激酶和GTP酶可以控制细胞结构和形态。简单的展示了该过程。此模型可以解释很多现象，但仍然有一些问题解释不了，例如当涉及体内细胞间的通信时，该模型不适用。研究人员建立复杂的仿真模型，这些模型涉及化学和机械领域，可以使用这些模型来进一步研究各种生理学和临床医学现象。
4复杂系统的建模
生命系统具有很强的鲁棒性，生命系统和多反馈的鲁棒性系统相似。建模时要识别模型中的薄弱区域，在该薄弱区域模型可能不够准确，需要用模型进行预测，这要求修改模型。在复杂模型中，特别要注意内部参数不能测量的区域，当处理涉及复杂生理问题时，这些区域变得很重要。原料中包括必要成分A，A和其它成分一起加到反应器。在该反应器上，一些原料反应生成副产物B。在这个过程中，在一定范围内控制成分A的数量很重要。在反应器上，A在催化剂C的催化下生成B，B在催化剂D的催化下生成A。A的数量决定CSTR产生C或者D的数量。如果A加入很多，将会产生C催化正反应。如果A加入的很少，将产生D催化逆反应。与此同时，膜反应器过滤掉废物。这个简单的工艺流程初步反映了血液中葡萄糖调节机制。葡萄糖由肠道进入血液，并供给其它所有的器官。葡萄糖维持在一定浓度很重要，因为维持在一定浓度可以确保人类各种机能的良好反应，这种调节过程称为葡萄糖稳态。如果葡萄糖糖浓度高，胰腺产生胰岛素，指示肝脏把葡萄糖转化成糖原，如果血液中的葡萄糖浓度低，胰腺产生胰高血糖素，将糖原转化回葡萄糖。肝细胞还将血液中废品送入胆汁，并通过胆管过滤并排泄。这是一个涉及多个器官的复杂系统，探索该系统需要考虑许多器官间的联系，葡萄糖稳态系统可以用7个模型表示。
1）.胰高血糖素受体模型
通过胰高血糖素模拟肝细胞表面受体的活化，受体活化产生三磷酸肌醇。该模型由5个微分方程构成，分别描述受体的各种状态、G蛋白的活化和三磷酸肌醇的产生。
2）.钙模型
模拟由三磷酸肌醇活化产生的钙信号通路。该模型由2个微分方程构成，分别涉及细胞质和内质网中钙浓度。钙模型的前提是Hill方程。
3）.环磷酸腺苷模型
模拟受体的活化和环磷酸腺苷的产生。该模型由5个微分方程构成，分别关于环磷酸腺苷的浓度、S-腺苷甲硫氨酸（SAM）的浓度、受体的比例、不活动的比例以及核定位蛋白激酶A的比例。模型遵守Hill方程。
4）.胰岛素模型
模拟肝脏对于胰岛素的反应，该模型由1个描述糖原合成酶激酶（GSK）活化的微分方程构成。
5）.血液模型
模拟葡萄糖在血液、肝脏和胰腺之间的运输，该模型由1个描述血液中葡萄糖浓度的微分方程构成。
6）.糖原分解模型
模拟控制糖原分解与合成的4个因素，葡萄糖及6磷酸葡萄糖的控制、钙离子的控制、环磷酸腺苷的控制、胰岛素的控制。该模型是一个模糊逻辑模型，该模型描述糖原合成酶（Sta，控制糖原合成速率）及糖原磷酸化酶（Pho，控制糖原分解速率）的活性水平。该模型由4个微分方程构成，分别关于糖原磷酸化酶（Pho）、糖原合成酶（Sta）、糖原和细胞内的葡萄糖。
7）.胰腺模型
模拟胰高血糖素或胰岛素的释放。该模型由2个微分方程构成，分别关于胰岛素和胰高血糖素的血液浓度。每一个微分方程都要遵循Hill方程。上述7个模型共同构成葡萄糖的调控模型，需要软件管理系统来协调它们。Saffrey等人在2007年描述一种模型管理系统。该管理系统用来存储模型和数据。在该系统中，上述的7个模型互相联系，共同模拟出葡萄糖稳态系统。Hetherington等人详细描述这个葡萄糖稳态系统的模型。
5完善和应用模型
建立模型以后，需要进一步完善。可以选择各种不同的实验者，将实验者分成多个小组，分别观察和记录他们的数据，根据这些数据完善和调整模型，甚至改变模型，最终确定适合不同人的具体的模型。通过这些具体的模型可以预测未来的变化情况，为了达到某些目的也可以设计一些干预措施。在其他领域中，学者已经充分研究了基于模型工程的设计方法，利用这些设计方法可以达到一些想要的结果，虽然这些设计方法还不成熟，需要进一步完善，但值得借鉴。在生命科学中，要特别注意干预措施也可能会导致一些危害。这些干预措施包括环境干预、药理学干预或基因干预。环境干预通过物理或化学因素，药理学干预主要通过临床干预。在上一部分描述的复合模型中，广泛的使用了计算机辅助过程工程技术，和优化技术寻找最佳解决方案，如糖尿病患者的最佳胰岛素剂量；使用随机技术寻找高敏感度模型的解决方案；使用区间方法确定能够接受的最坏情况。上述方法和模型已经被用来预防一些疾病。如糖尿病患者很可能患非酒精性脂肪肝（NAFLD），利用上述方法可以提出一些措施，有效地避免Ⅱ型糖尿病患者患非酒精性脂肪肝（NAFLD）。基于模型的方法（例如优化、随机分析、间隔方法）将促进生物学和医学的发展，并且随着生物学和医学的发展，这些方法将更完善。要在生物学和医学领域中很好地使用这些方法和模型，必须要掌握生命科学的知识和计算机的知识，单个的研究者常常不具有这两个领域的知识，因此合作很重要。那些希望从事相关研究工作的学者必须合作，例如通过短期或长期项目，建立一个促进合作的机制。
6结论
1 引言
近几十年来，随着电子计算机的发展和应用，在宇宙航行、机器人控制、导弹制导以及核动力等高科技领域中，自动控制技术具有越来越重要的作用。自动控制技术的应用范围现已扩展到生物、医学、环境、经济管理和其他社会生活领域中，自动控制已经成为现代社会活动中不可或缺的部分。自动控制原理课程是高校电类、机械类及相关专业的一门重要专业基础课，是本科生后续课程和研究生课程的基础，在专业课程体系中占有重要地位[1-2]。自动控制原理概念多且抽象，公式较多，且要推理数学公式，整个课程系统性强。运用传统的板书和多媒体很难达到教学的目的，为了达到教学的目的和效果，在自动控制原理教学中引入思维导图，从而激发学生学习自动控制原理的兴趣，提高教学质量。
2 思维导图
思维导图[3-4]（Mind Maps）是由英国的托尼·博赞（托尼·布詹）于1970年代提出的一种辅助思考工具。思维导图通过在平面上的一个主题出发画出相关联的对象，像一个心脏及其周边的血管图，故又称为“心智图”。
思维导图既简单又极其有效，是一种革命性的思维工具。思维导图运用图文并重的技巧，把各级主题的关系用相互隶属与相关的层级图表现出来，把主题关键词与图像、颜色等建立记忆链接。思维导图充分运用左右脑的机能，利用记忆、阅读、思维的规律，协助人们在科学与艺术、逻辑与想象之间平衡发展，从而开启人类大脑的无限潜能。思维导图因此具有人类思维的强大功能。
思维导图是一种将放射性思考具体化的方法。放射性思考是人类大脑的自然思考方式，每一种进入大脑的资料，不论是感觉、记忆或是想法（包括文字、数字、符码、食物、香气、线条、颜色、意象、节奏、音符等），都可以成为一个思考中心，并由此中心向外发散出成千上万的关节点，每一个关节点代表与中心主题的一个连结，而每一个连结又可以成为另一个中心主题，再向外发散出成千上万的关节点，呈现出放射性立体结构。而这些关节的连结可以视为一个人的记忆，也就是个人数据库。
人类从一出生即开始累积这些庞大且复杂的数据库，大脑惊人的储存能力使人们累积了大量的资料，经由思维导图的放射性思考方法，除了加速资料的累积量外，更多的是将数据依据彼此间的关联性分层分类管理，使资料的储存、管理及应用因更有系统化而提高大脑运作的效率。同时，思维导图最善用左右脑的功能，藉由颜色、图像、符码的使用，不但可以协助人们记忆，增进创造力，也让其更轻松有趣，且具有个人特色及多面性。
3 思维导图在自动控制原理教学中的应用
利用思维导图引入课程 学习和认知事物过程一般都是感知—分析—综合。先对学习的内容自动控制原理有一个整体的全面的认识，通过思维导图这个工具绘制自动控制原理的整体的脉络图。通过思维导图感知认识这门课程，直观认识课程的各个知识点，然后分析各个知识点之间的联系，再通过学习课程达到全面认识整个课程体系。
自动控制原理课程介绍了自动控制的基本概念，控制系统在时域和复域中的数学模型及其结构和信号流图；阐述了线性控制系统的时域分析法、根轨迹法、频域分析法以及校正和设计等方法；详细地讨论了线性离散系统的基础理论、数学模型、稳定性及稳态误差、动态性能分析以及数字校正等问题；在非线性控制系统的分析方面，给出相平面和描述函数的方法。
通过图1可以使学生对自动控制原理课程框架有一个全面的认识。
建立控制系统的数学模型的思维导图 思维导图以放射性思考模式为基础的收放自如方式，除了提供一个正确而快速的学习方法与工具外，运用在创意的联想与收敛、项目企划、问题解决与分析、会议管理等方面，往往产生令人惊喜的效果。它是一种展现个人智力潜能极致的方法，将可提升思考技巧，大幅增进记忆力、组织力与创造力。在控制系统的分析和设计中，首先要建立控制系统的数学模型。控制系统的数学模型是描述系统内部变量（或物理量）直接关系的数学表达式。在静态条件下，即变量各阶导数为零，描述各变量之间关系的代数方程叫静态数学模型。描述各变量直接的微分方程叫动态数学模型。建立控制系统数学模型的思维导图，可以将与数学模型相关联的知识点展现出来。思维导图运用图文并茂的技巧，开启人类大脑的无限潜能。思维导图充分运用左右脑的机能，协助人们在科学与艺术、逻辑与想象之间平衡发展。
图2是控制系统数学模型的思维导图，从思维导图可以直观地看出，控制系统数学模型的建模方法有分析法和实验法。实验法是人为地给系统施加某种测试信号，记录系统的输出响应，并用适当的数学模型去逼近，又称系统辨识。分析法建模是对控制系统的各部分的运动机理进行分析，根据系统依据的物理规律和化学规律分别列写相应的方程。也就是确定控制系统的输入输出变量，列写各元件的微分方程，消去中间变量，写出输入输出变量的微分方程。控制系统的数学模型形式在时域内有微分方程、差分方程、状态方程；在复数域有传递函数、结构图。频域内有频率特性。通过思维导图把控制系统数学模型的各个知识点有机地连接起来，在教学过程中，学生容易理解和掌握知识点的关系。
4 结论
自动控制原理课程具有内容丰富、理论性强、知识面广、知识点更新快的特点。思维导图为学生提供了一个快速而有效的学习方法，在知识的理解和关联、问题的解决和分析方面，往往产生事半功倍的效果。作为自动控制原理教学改革的尝试，实践证明，思维导图运用在自动控制原理教学中提高了教学质量，增强了教学效果。
参考文献
[1]胡寿松.自动控制原理[M].5版.北京：高等教育出版社，2007.
[2]唐超颖.自动控制原理课程的探究性教学实践[J].电气电子教学学报，2007（6）：91-93.
进入21世纪，随着科学技术的飞速发展，电子计算机的应用已经渗透到各学科的每一个领域之中，各学科的进一步发展对计算机的依赖程度越来越高，化学工程学科也不例外。目前，计算机已经深入应用到化工模拟、计算化学和化工制图等化学工程学科的各个层面之中，对化学工程的发展起着巨大的促进推动作用。化学工作者应该抓住机遇，在新时期努力学习计算机知识、熟练掌握运用计算机，将其应用到化工设计、化学本文由收集整理计算中去，使化工学科能够更快地发展。
化学工程作为一门基础学科，长期以来是以实验为基础发展起来的，是一门理论与实验相结合的学科。随着计算机技术和信息技术的发展日新月异，化学工程的研究中又增加了计算与计算机模拟的方法，它已经逐渐成为化学工程中最富有生命力的研究方法。随着电子计算机在化学工程中的广泛应用，传统的化学工程学科已逐渐成为一门集实验、计算、理论于一体的综合性学科。
从20世纪50年代开始，科研工作者就利用计算机解算化工过程的数学模型，使研究方法出现了一个革新。经过几十年的发展，化工过程模拟已经成为普遍采用的常规手段，被广泛应用于化工过程的研究、开发、设计、生产操作的控制与优化、操作培训和技术改造之中。
一、流程模拟
化工过程流程模拟或流程模拟是根据化工过程的数据，诸如物料的压力、温度、流量、组成和有关的工艺操作条件、工艺规定、产品规格以及一定的设备参数，如蒸馏塔的板数、进料位置等，采用适当的模拟软件，将一个有许多个单元过程组成的化工流程用数学模拟描述，用计算机模拟实际生产过程，并在计算机上通过改变各种有效条件得到所需要的结果，其中包括最受关心的原材料消耗、公用工程消耗和产品、副产品的产量和质量等重要数据。
流程模拟就是在计算机上“再现”实际生产过程，由于这一“再现”过程不涉及实际装置的任何管线、设备以及能源的变动，因此给化工模拟人员最大的自由度，可以在计算机上任意进行不同方案和工艺条件的探讨、分析。流程模拟式计算机技术是化工方面的最重要应用之一。应用流程模拟系统不仅可以节省时间，也可节省大量资金和操作费用，提高产品质量和产量，降低消耗。流程模拟系统还可以对经济效益、过程优化、环境评价进行全面地分析和精确评估，并可以对化工过程的规划、研究和开发及技术可靠性做出分析，并快速准确地对多种流程方案进行分析和对比。
二、单元模拟
化工工业处理的过程是以质量、动量和能量的连续流动为特征，传统手段对这一过程的处理很大程度上是依靠经验以及一些宏观参数表达的经验关系式。现代流程模拟技术中，绝大部分单元过程仍被处理为“黑箱”模型，对流动、传质、热、反应比较敏感的单元过程的设计、放大，需要了解有关质量、动量、能量流更多微观和深入的信息，单元模拟技术就是为了解决这一问题而产生的。
在单元模拟过程中，单元内部的介质基本是多组分或多相的，传质、传热、反应过程相互耦合。单元模拟技术通过离散方法求解这一耦合体系，以获得空间和时间的速度分布、温度分布、压力分布、浓度分布、相分数分布等。单元模拟技术可以提供传统手段难以获得的大量信息，如单元过程内部所有参数的空间分布和动态变化，通过这些信息可以深入理解单元过程内部的机理，在发生异常时亦有助于分析原因。因此，它是一种低成本的调优手段，当结构形式或结构参数变化后，单元过程内部随工艺参数和操作参数而变化的过程，可以在计算机上很方便地进行试验，直接用于优化和改造手段，而且单元模拟的计算不是经验性的，比较可靠，目前单元模拟主要用于化工生产的工程放大、优化设计、诊断及扩能改造、生产调优及控制四个方面。
三、反应动力学模拟
化学反应动力学是一门研究各种因素对反应速率的影响规律和反应机理的科学，在根据实验结果和对反应机理研究的基础上建立了化学反应动力学方程，它们对反应器的设计、最优化条件的选择都是必不可少的理论基础。
目前所采用的物理化学教材对一系列对峙、平行、连
续等复杂反应的动力学方程仅给出分离变量法或消元法等单一的数学处理方法，这种方法对于非常简单的复杂反应可以求出解析解，但大多数化学反应的反应机理非常复杂，由于从反应机理得到的微分方程组，非常不便求解，因此借助电子计算机用数值解法，可以方便地求解从反应机理得到的微分方程组。
计算机模拟在复杂化学反应动力学的计算中有着广泛的应用，通过计算机模拟计算得到的结果可以预知反应过程中各反应物质浓度的变化，通过对连续反应最佳时间的计算可以控制反应时间以得到所需要的物质的最大浓度，通过计算平行反应和对峙放热反应最佳温度，可以控制反应温度，优化反应条件，使生成产物的速率达到最大值，这些计算机模拟计算的数值可以为实际工业生产中工艺条件的控制以及反应器的设计提供重要的参考数据。
四、分子模拟
从分子水平来研究化工过程及产品的开发和设计，无疑是21 世纪化学工程的一个重要方向，计算机模拟研究已渐成为与实验研究及理论研究相平衡的认识自然规律的第三种重要方法。化工热力学数据对于化学工业过程的设计、操作以及优化具有重要的作用。热力学数据一般通过三个途径取得：即实验测定、理论总结及计算机分子模拟。通过计算机分子模拟，可以较为严格地从流体的微观相互作用出发，预测流体的宏观热力学性质。特别是在一些极端的条件（如高温、高压、剧毒）下，进行实验是很困难的，计算机模拟则较易实现，并且比较经济。采用计算机分子模拟方法，可以得到相当可靠的热力学体系的径向分布函数、宏观热力学性质以及输运性质，这为我们建立与改进各种描述实际现象的理论或模型提供可靠的依据。
化学是一门基础性学科，是以实验为基础发展起来的理论与实验相结合的学科，随着计算机技术在化学学科中的广泛应用，逐渐形成了应用计算机研究化学反应和物质变化的独立学科，它以计算机为技术手段，进行化学反应方面的数值计算，这就是计算化学。
计算化学是理论化学的重要分支，是利用电子计算机、通过数值计算解决化学问题的一门方法学。计算化学是一门新兴的、多学科交叉的边缘科学，它运用数学、统计学与计算机程序设计的方法，进行化学方面的理论计算、实验设计、数据与信息处理、分类、分析和预测。随着化学仪器对自动化要求越来越高，许多化学实验过程用人工进行控制相当困难，需要可靠的控制技术系统，因此计算机计算模拟技术从根本上改变了化学实验技术。
计算化学以数值计算为基础，用高级语言及其编程技术，解决化学中的数值计算问题，它将数学的计算方法通过计算机程序具体地应用于化学过程中，通常用来研究化学中一些常用的、共同的、较为常见的计算方法，是化学计算的核心。实验数据的内插、函数拟合、线性方程组求解、高阶方程组求解、解微分方程组、求本征值与本征向量等，它们均与化学中量子化学、分析化学、化学平衡、化学动力学和试验数据处理等密切相关。现代计算化学技术的发展，已经能够将各种化学性质与分子结构之间的关系定量地联系起来，化学因此正从实验科学迈向实验、计算、理论相结合的综合性学科，化学已经由多实验少计算，演变为先实验再计算，也必将逐步演变为先计算再实验。
目前计算化学在无机化学、分析化学、有机化学、物理化学、结构化学中都有广泛地运用，具体来说，计算化学要完成的任务主要有量子结构计算、分子从头计算、半经验计算和分子力学计算等量子化学和结构化学范畴，以及物理化学参数计算，包括反应焓、偶极距、振动频率、光谱熵、反应自由能、反应速率等理论计算，这些属于化学热力学、化学动力学及统计热力学范畴。在计算化学中，数值计算是最根本的任务，其目的是将已知参数通过适当的数学计算得到一个预期的结果，这个结果可以和实验结果相比较，也可以和前人的研究成果相比较，最终得出结论，用来指导化学实验的实施。
化学工程设计具体的任务涉及物料衡算、能量衡算、厂区布置图绘制、车间布置图绘制、设备装备图绘制、管道布置图绘制、带控制点工艺流程图绘制、设备选型及强度校核计算等许多工作，如此众多繁杂的工作，如能引入计算机辅助，将大大减轻化工设计工作的强度。
过去那种利用普通纸笔绘制化工图样、利用计算尺和计算器进行的各种计算将被计算机软件应用所取代。计算机辅助设计制图和普通制图相比不仅具有绘制精确、图面整洁等优点，而且还具有随意修改、重复利用、按需打印等普通手工绘制无法具备的特点，利用计算机辅助设计
进行化工工程图绘制已经是21世纪的基本趋势。
[关键词]高等数学；人才培养；模式转型；分层次教学
[中图分类号] G642 [文献标识码] A [文章编号] 2095-3437（2017）01-0136-02
随着新升本科高校人才培养模式转型的日渐深入，我国高等教育教学改革的时代大潮已迎面扑来。[1-3]高等数学作为高等学校大面积开设的一门重要的公共基础课，具有概念抽象、内容多、理论性强等特点，其严谨的数学思想，精确的数学结论，为众多学科提供必要的理论基础。在人才培养模式转型下，高等数学课程教学的改革，在于要和其他课程一起，紧紧围绕学生专业应用能力培养，更加突出相关数学理论的应用属性。[4，5]
面对人才培养目标对高等数学课程的新需求，面对转型对课程教学环境的冲击，如何将传统教学融入时代的脉搏，改革教学方法，改革教学内容，构建新的课堂教学模式，是我们每个任课教师都必须认真研究的问题。为此，我们通过深入调研、实践，进行一些积极的探索。
一、研究专业需求，合理规划课程教学内容
强化学生专业应用能力培养，基础理论课教学必然被挤压。科学合理地缩减高等数学的教学内容，体现高等数学教学的专业针对性作为教学改革的首要任务，至关重要。实际操作中，我们在注重课程基本内容的同时，深入不同专业，与学科专业课教师和实践课教师沟通，了解其专业所需的高等数学知识，整合课程教学内容，调整教学重点，增补一些与专业相关的教学案例，以实现高等数学教学与专业技能培养的自然衔接。
例如，对土木、机械专业学生，在讲授曲线曲率、解微分方程等知识时，我们结合专业学习，引入受力梁弯曲时其绕曲线微分方程模型，并阐述方程求解中出现的两个常数正是对应实际问题梁截面变化时的两个重要参数：线应变和角应变。在讲授积分的应用内容时，要求学生会计算特殊平面、空间图形的重心、惯性矩等，并用案例说明其在构建稳定性分析中的重要应用。对电子专业，则详讲傅里叶级数、曲线曲面积分等相关知识，介绍电磁学方面的一些微分方程。对经管专业，则带着学生品味伽马、白塔函数相关性质，介绍其在统计学中的广泛应用，补充生产增长函数数学模型等。总之对每一个专业，我们都要深挖数学知识在该专业领域的应用，尽量从实例引入概念，介绍其在解决实际问题及科研工作中的效用，拉近数学与应用之间的距离，改变高等数学在学生心中纯数学的形象。
在课程一般内容把握上，更注重高等数学基本方法、基本思想的提炼，强化学生对基本理论知识的理解与应用，通过对课程内容的离散化、模块化处理，使课时、内容与专业对高等数学知识需求相匹配。而一些复杂的定理证明、解题技巧训练等，如柯西中值定理证明，复杂级数敛散性，求极限、积分的特殊技巧，一致连续，一致收敛等，则在课堂教学中删去，让有需求的学生课后学习。
二、创新课堂教学模式，精心设计课程核心理论教学
应用型人才培养强调学以致用，而课堂教学的根本是让学生领悟概念，掌握重要的结论，能灵活应用所学知识。因此，我们利用较多精力，在调研专业需求的基础上，对教学内容进行模块化处理，对教学重点、难点进行梳理，重新提炼教材内容，统筹进度安排。教学过程中，在不失严谨性的前提下，尽量以平易近人的语言，简明直观的方式，引入知识背景介绍，阐明数学思想方法，合理设计案例式、问题驱动式、引导启发式等教学模式，使教学内容更直观、更通俗，让理论接地气。
如极限的概念，在高等数学中具有核心的地位，贯穿数学分析的始终，连续、导数、各类积分、级数等都能用极限过程加以定义。极限思想在教学过程中的凸显，就像一只手将学生慢慢拉进了微积分的殿堂。但学生对“？着-N”、“？着-？啄”的定义，很难理解。课堂中我们设计例题，让变量在一定条件下“无限逼近”某常数活起来，如取？着=0.1，0.01，0.001，甚至比你能写出来的任何很小的数更小，单位是纳米级，引导学生进行想象，同时穿插一些历史背景故事，如牛顿、莱布尼兹最初对无穷小的表述，贝克莱悖论引发的危机，柯西、魏尔斯特拉斯的完善等，这使课堂趣味大增，学生在学习体味数学之妙的同时，树立了学习高等数学的信心。
又如在定积分教学中，对分割、近似、求和、取极限这一特殊过程，结合面积、体积、质量、位移等几何直观或物理问题，进行情景设计，用多媒体将其图形化、直观化，调动学生互动，实现对其数学思想的理解。在此基础上，通过积分符号是“Sum”中首个字母“S”拉长的含义，将连续变量“积分”与离散变量“无穷和”对应，学生会有一种心领神会的感觉，从而直观感受积分和微分的亲密关系，感受“化整为零”、“以直代曲”、“从有限到无限”等数学思想的神奇。进而将定义升华至“微元法”应用层面，把剪纸片、切萝卜、剁肉馅等，用不同“微元法”思路套合，列出相应的积分表达式。从一元积分到二重积分、三重积分、曲线和曲面积分等，一样的思想只是结论不同而已，学生的学习从理解到掌握，会水到渠成。
三、注重现代教育技术的应用，将“用数学”的理念贯穿教学过程
现代教育媒体技术，能让我们的课堂教学图形并茂，能让枯燥的数学公式活起来，冷冰冰的函数动起来，让一些抽象的数学理论直观可视，让一些传统上很难理解掌握的知识，迎刃而解。[2，6]数学软件集成了数学领域的各种优秀成果，通过程序语言的人机对话，使数学问题变得简单，使科学计算触手可及。现代网络技术的发展，又为人们讨论交流、查询文献、自主学习提供了极大便利。课堂教学中，我们要用现代教育理念，通过讲授、反转课堂等形式，调动学生学习兴趣，引导学生高效学习，借力数学实验、数学建模等案例教学，将提高学生“用数学”能力的培养始终放在首位。
如泰勒公式，在近似计算中十分重要，是提升学生数学应用能力的必备知识，但多数学生学习时非常排斥。教学设计中，我们由全国建模竞赛储油罐油面标定的数学建模案例入手，引出计算函数定积分的实际需求。但是，其初等原函数不存在，如何求解呢？先引导学生利用泰勒公式分析，利用数学软件计算，问题就会迎刃而解，这使学生印象深刻。然后再将相关问题的Matlab模块化程序介绍给学生，将解决类似问题的一些论文、著作、专题资源等推荐给学生，让有兴趣的学生深入研究，为他们处理相关问题夯实基础。
四、加强学生个性化自学引导，注重课程分层次教学研究
当今社会是一个需要终生学习的社会，学生大学里不仅要学习专业知识，还要不断提高自学能力，培育兴趣，释放潜能，实现个性化学习。作为教师，针对学生不同的知识要求，有意识的设计不同层次的教学内容，指导他们科学检索资料，开展讨论合作，适时向学生推荐优质教学资源，引导他们能正确、高效的自主学习，是适应教学改革转型的重要举措。
如向量知识、级数理论等，不仅具有很强的数值计算、信息通讯的应用特征，而且有理论性强、论证复杂的现代基础数学特征。教学中，可介绍这些知识在专业方向、数学建模、挑战杯、ACM竞赛等应用中的一些实例，培养学生知识应用能动意识。也可提醒有考研深造需求的学生这些知识需达到的更高的标准要求，向他们推荐优秀论文、经典书籍，推荐微课、慕课、网络公开课、专题论坛等网络资源，引领学生科学自学，提高学生数学素养。
在考试考核方面，确立以能力考核为核心，以过程考核为主的考核理念，引导学生立足自身情况，开展自学研究，撰写学习小论文、建模报告等，实现与分层次教学相适应的理论学习、知识应用、创新能力等的综合考核。
五、几点思考
人才培养模式转型条件下，现代科学技术的应用、现代网络教学的应用在高等数学教学中的作用更加突出。每一位教师必须加强学习，拓宽知识面，掌握先进教学工具，才能跟上时代的步伐，适应新的教学需求。
人才培养模式转型条件下，高等数学教学不仅要研究数学内容，还要研究学生的专业学习需求，强调学生知识应用能力的培养。这不仅是教学方式的变革，也是对传统数学教学理念的挑战。教师如何平衡理论讲授和实际应用的关系，还需要深入的探索。
人才培养模式转型条件下，OBE（成果导向教育）作为一种新的教育范式[7]，正被重视和引入。高等数学教学，要融入与专业培养相匹配的“一体化”课程体系，还需要我们在实践中慢慢解读和领会。
[ 参 考 文 献 ]
[1] 王家军，徐光辉，王胜奎.高等数学教学方法的改革实践与回顾[J].大学数学，2010（4）：4-6.
[2] 巨小维，顾贞，杨磊.应用型本科院校高等数学教材改革研究[J].高师理科学刊，2015（11）：75-77.
[3] 赵小艳，李继成. MOOC环境下大学数学教学方法思考[J].大学数学，2015（3）：46-48.
[4] 孙凤芝.技术技能型大学高等数学教学改革研究[J].长春师范大学学报，2016（2）：107-109.
[5] 张伟峰，刘丹，张昕，等.基于专业导向的高等数学教学改革研究[J].大学教育，2016（1）：93-95.
［论文摘要］数学教育不仅传授数学知识、技能和能力，更重要的是培养数学思维能力，提高数学素质。本文就高等数学教学中对学生数学素质的培养方式方法作了一个初步探讨。
在步入21世纪的时刻，作为高等院校的基础课程之一的高等数学在其他各个领域及学科中发挥出越来越大的作用。数学不但深入到物理、化学、生物等传统领域，而且深入到经济、金融、信息、社会等各领域中。传统的数学教育正在向以培养学生数学素质为宗旨的能力教育转变。在这种转变下，改革和创新高职高等数学教学模式，使原本初等数学基础较差的高职学生特别是文科学生摆脱对学习数学的恐惧，学会用数学的思维方式观察事物，用数学思维方法分析和解决实际问题，成为数学教育工作者特别是从事高职高数的教学教育工作者关注的问题。高职文科高等数学教育不同于普通高校理工类高等数学的教育，不应过多强调其逻辑的严密，思维的严谨，而应将之作为专业课程的基础，强调其应用性，学生思维的开放性，解决实际问题的自觉性。因此，高职高等数学教育应遵循“以应用为目的，以必需够用为度”的原则，体现“联系实际，深化概念，注重应用，重视创新，提高素质”的特色。目前高校传统的课堂教学仍然是实施教育的主渠道，改革教学方法则是推进创新教育的关键之一。以下就高等数学课堂教学中如何培养学生创新能力作一初步探讨。
1.化繁为简，激发学生学习高等数学的兴趣。
高职学生特别是文科类学生数学基础普遍较差，因而对学习数学缺乏兴趣，学习缺乏主动性、探究性、联系性，这样学生在学习过程中难以体会到学习的乐趣，因此造成一种恶性循环，渐渐对数学产生厌学情绪。而“兴趣是最好的老师”，没有学习的兴趣，何谈培养数学素质。因此，改革教学方法，提高学生学习兴趣是高等数学教学改革的关键。数学，尤其是高等数学，向来以抽象著称，有机会学习高等数学的都不是“常人”，是“精英”。而职业教育使这种“精英教育”变成了“大众教育”，受教育的对象是企业未来的“高级蓝领”。所以职业教育中的高等数学教学，不在于教师的理论水平有多高，对数学公式、定理的论证多么完美，重要的是学生学到了什么，是否会应用。教师所要做的就是把抽象、繁琐的理论直观化、简单化，让学生易于接受。如地球表面是一个球面，可为什么我们平常看到的却是平面呢?其实这就是以直代曲。曲面上微小的局部可以认为是一平面，一条弯曲度很小的曲线也可以认为是直线。这样就给学生一个具体的可供想象的空间，使他们懂得用这一数学理论解释生活中的现象，结果，不仅加深了学生对这一概念的理解，而且也利于培养他们对数学的兴趣。
数学世界是一个充满美的因素并令人神往的世界，数学中的许多公式、定理从内容到形式都给人以强烈的美感，如高数中的牛顿-莱布尼茨公式、格林公式都充分显示了数学的简洁美、对称美及和谐美，其丰富的内涵令人称奇。定积分、二重积分、三重积分、曲线积分、曲面积分也都具有对称性。在教学中揭示这种数学的美,可以大大提高学生的学习兴趣,加深对内容的理解。
针对文科专业专科生的实际情况，课堂上不必做繁琐的定理证明，不必强求理论严密与体系完整，尽量简明扼要阐述一些观点和方法，让学生容易接受和掌握数学工具，重在介绍数学思想、方法和实际计算的技能。在内容上着重基本概念的描述，如对微分中值定理、函数单调性和曲线凹凸的判别定理，定积分和二重积分的性质等均可采用图形直观解释；对洛必塔法则，二元函数可微的条件以及格林公式等均可采用定性的方法，向学生强调能运用这些定理即可；对极限概念的处理，可改变以往教材中的定义方式，注重直观，注重对微积分实际意义的理解，力求掌握思想实质。采用直观定性的几何图形的描述方法来定义，强调极限的工具作用。对连续、导数、微分和定积分以及二重积分等概念的教学，在每次讲到一个新概念时，就复习前一个概念的方法来比较其抽象过程，使学生对这些概念形成一条网络线，使学生的思维始终贯穿于这些网络线的形成过程中，从而训练学生从实际问题抽象出数学问题的形象思维，为以后学习数学建模打下基础。此外，还要尽量从周围现实事物出发讲清数学概念和理论，举些日常生活中例子，让学生学起来轻松自在，容易理解。比如在讲解定积分定义时由曲边梯形面积问题引入定积分定义，这时适时介绍美国著名的麻省理工学院在圆形大礼堂的弯曲屋顶下有许许多多近似矩形（曲边梯形）的玻璃窗，十足体现了定积分的一项基本概念——求曲线下面积的办法，即“分割、近似代替、求和、取极限”，从而也巧妙地表明了这所名牌大学是何等重视数学并付诸实际。这样使学生对求曲线下面积的方法加深了理解。
2.启发引导，增强趣味性
一个人的数学素质，不仅仅是掌握了多少数学知识，更重要的是看他能否善于思考，用正确的思维方式解决问题。因此，在教学中，教师应重视问题的启发，以数学问题为载体，通过有目的、有重点地暴露解决问题的思维过程，帮助学生真正参与教学，抓住思考问题的本质，掌握正确的思维方法，从而提高数学素质和数学创造性思维能力。如在讲解洛必达法则时，考虑无穷大比无穷大或无穷小比无穷小，这看起来是不能解决的问题，但如果考虑无穷大可以从它们增长的趋势来进行分析，也就是可以从它们的导数之比来分析，问题就可以解决了，这就是洛必塔法则的威力之处。
同时，教学中要注重使学生对基本概念的理解和方法的掌握，抓住概念的内在联系进行讲授。例如定积分、重积分、线积分、面积分等都是从不同的具体原形抽象概括出来的，但它们之间却有着本质的联系，即都是“分割取近似，求和取极限”的思想方法。又如不定积分与定积分，不定积分的几何意义是求原函数族，而定积分的几何意义是求曲边梯形的面积，但当上限为变量的定积分时，此时的定积分就是被积函数的一个原函数，从而说明了定积分与不定积分概念的内在联系，这种联系还体现在运算上，如牛顿———莱布尼兹公式f(x)dx=f(b)-f(a)就建立起了定积分与不定积分的桥梁关系。这样学生就能轻松地领会，要计算f(x)在［a,b］上的定积分,可先求出f(x)的不定积分f(x)dx=F(x)+C然后再计算差值F(b)-F(a)就可得到所要求的定积分值。这种揭示内在联系的辩证思维能逐步提高学生的认知能力，发展学生的思维能力，把学生培养成具有良好数学素质的人才。
3.以严谨的教学态度感染学生
教师的教学态度直接影响到学生听课的注意力和思维的活跃程度。因此，教师要有计划地科学地将培养学生独立思考能力落实到每堂课的每一个教学环节中，时刻要思考“如何让学生用自己的脑子读书”，克服思维惰性。首先应让学生在听课中产生“共鸣”，使教师的教与学生的学融为一体。譬如高等数学第一节绪论课除了介绍高等数学在现代科学中的基础地位和特殊的重要性外，还可以讲些激励的话，使他们树立起学好数学的信心和勇气。同时在介绍高等数学方法论的同时让学生调整好从中学到大学的心理过渡，使学生有一定时间进行心理调整。而教学计划宜采用“先慢后快”，设置一个由中学到大学的坡度，最终使学生能尽快的适应新的教学模式，完成从中学到大学的心理过渡。实践证明此法是行之有效的。
