发布时间：2023-09-20 18:10:29
序言：写作是分享个人见解和探索未知领域的桥梁，我们为您精选了8篇的高数指数函数样本，期待这些样本能够为您提供丰富的参考和启发，请尽情阅读。
试题注重立足于课本,考查基本知识、基本公式及同学们的运算能力和合理变形能力,对三角变换的要求有所降低．三角化简、求值、恒等式证明、图象、最值、解斜三角形为考查热点．
常见题型：①三角函数的图象与性质；②化简和求值；③三角形中的三角函数；④最值．本文对高考重点、常考题型进一步总结，强化规律，解法定模，便于同学们考试中迅速提取，自如运用．
考点1．三角函数的求值与化简
例1 已知cosα=17,cos(α－β)=1314,且0
(Ⅰ)求tan2α的值.（Ⅱ）求β.
解：（Ⅰ）由cosα=17,0
tanα=sinαcosα=43，于是tan2α=2tanα1－tan2α=2×431－(43)2=－8347
（Ⅱ）由0
又cos(α－β)=1314，sin(α－β)=1－cos2(α－β)=1－(1314)2=3314
由β=α－(α－β)得：cosβ=cos［α－(α－β)］=cosαcos(α－β)+sinαsin(α－β)
=17×1314+437×3314=12，所以β=π3.
突破方法技巧：三角函数的化简、计算、证明的恒等变形的基本思路是：一角二名三结构．即首先观察角与角之间的关系，注意角的一些常用变式，角的变换是三角函数变换的核心！已知角与特殊角的变换、已知角与目标角的变换、角与其倍角的变换、两角与其和差角的变换. 如α=(α+β)－β=(α－β)+β，2α=(α+β)+(α－β)，α+β2=(α－β2)－(α2－β)等．第二看函数名称之间的关系，通常“切化弦”；第三观察代数式的结构特点．
考点2．解三角形：此类题目考查正弦定理，余弦定理，两角和差的正余弦公式，同角三角函数间的关系式和诱导公式等基本知识，以考查基本的运算为主要特征.解此类题目要注意综合应用上述知识.
例2 设函数f(x)=cos(x+23π)+2cos2x2,x∈R．（Ⅰ）求f(x)的值域；（Ⅱ）记ABC的内角A、B、C的对边长分别为a，b，c，若f(B)=1，b=1,c=3，求a的值．
解：（Ⅰ）f(x)=cosxcos2π3－sinxsin2π3+cosx+1=－12cosx－32sinx+cosx+1
=12cosx－32sinx+1=sin(x+56π)+1，f(x)的值域为［0,2］
（Ⅱ）由f(B)=1得sin(B+56π)+1=1即sin(B+56π)=0又因0
突破方法技巧：
(1)内角和定理：三角形内角和为π，这是三角形中三角函数问题的特殊性，解题可不能忘记！任意两角和与第三个角总互补，任意两半角和与第三个角的半角总互余.锐角三角形三内角都是锐角三内角的余弦值均为正值任两角和都是钝角任意两边的平方和大于第三边的平方.
(2)正弦定理：asinA=bsinB=csinC=2R(R为三角形外接圆的半径).注意：①正弦定理的一些变式：(i)a:b:c=sinA:sinB:sinC；(ii)sinA=a2R,sinB=b2R,sinC=c2R；(iii)a=2RsinA,b=2RsinB,c=2RsinC；②已知三角形两边一对角，求解三角形时，若运用正弦定理，则务必注意可能有两解.
(3)余弦定理：a2=b2+c2－2bccosA,cosA=b2+c2－a22bc等，常选用余弦定理鉴定三角形的形状.
(4)面积公式：S=12aha=12absinC.
特别提醒：（1）求解三角形中的问题时，一定要注意A+B+C=π这个特殊性：A+B=π－C,sin(A+B)=sinC,sinA+B2=cosC2；（2）求解三角形中含有边角混合关系的问题时，常运用正弦定理、余弦定理实现边角互化．
考点3．求三角函数的定义域、值域或最值：此类题目主要有以下几种题型：（1）考查运用两角和的正弦公式化简三角函数式，以及利用三角函数的有界性来求值域的能力.（2）考查利用三角函数的性质, 诱导公式、同角三角函数的关系式、两角差的公式，倍角公式等基本知识，考查运算和推理能力.（3）考查利用三角函数的有界性来求最大值与最小值的能力.
例3 已知函数f(x)=(1+cotx)sin2x+msin(x+π4)sin(x－π4)．
（1）当m=0时，求f(x)在区间［π8,3π4］上的取值范围；（2）当tanα=2时，f(α)=35，求m的值．
解：（1）当m=0时，f(x)=sin2x+sinxcosx
=12(sin2x－cos2x)+12=22sin(2x－π4)+12
又由x∈［π8,3π4］得2x－π4∈［0,5π4］，所以sin(2x－π4)∈［－22,1］，
从而f(x)=22sin(2x－π4)+12∈［0,1+22］.
（2）f(x)=sin2x+sinxcosx－m2cos2x=1－cos2x2+12sin2x－m2cos2x
=12［sin2x－(1+m)cos2x］+12
由tanα=2得sin2α=2sinαcosαsin2α+cos2α=2tanα1+tan2α=45，
cos2α=cos2α－sin2αsin2α+cos2α=1－tan2α1+tan2α=－35，所以35=12［45+(1+m)35］+12，得m=－2．
突破方法技巧：
三角函数的最值主要有以下几种类型：①形如y=Asin(ωx+φ)、y= asinx+bcosx的，充分利用其有界性去求最值；②形如y=sinx+cosx+sinxcosx的，换元去处理；③形如y= asinx+bsin2x的，转化为二次函数去处理；④形如y= 2－cosx2－sinx 的，可采用反表示的方法，再利用三角函数的有界性去解决，也可转化为斜率去通过数形结合解决．
考点4．三角函数的图象和性质：此类题目要求同学们在熟练掌握三角函数图象的基础上对三角函数的性质灵活运用.会用数形结合的思想来解题.
例4 已知函数f(x)=23sinxcosx+2cos2x－1(x∈R)（Ⅰ）求函数f(x)的最小正周期及在区间［0,π2］上的最大值和最小值；（Ⅱ）若f(x0)=65,x0∈［π4,π2］，求cos2x0的值．
解：由f(x)=23sinxcosx+2cos2x－1，得f(x)=3(2sinxcosx)+(2cos2x－1)=3sin2x+cos2x=2sin(2x+π6)，f(x)的最小正周期为π
f(x)=2sin(2x+π6)在［0，π6］上单调递增，在［π6，π2］上单调递减，
又f(0)=1,f(π6)=2,f(π2)=－1，f(x)在［0,π2］上的最大值为2，最小值为-1.
（2）由（1）知f(x0)=2sin(x0+π6)，又f(x0)=65,sin(2x0+π6)=35，
由x0∈［π4,π2］，2x0+π6∈［2π3,7π6］从而cos(2x0+π6)=－1－sin2(2x0+π6)=－45
cos2x0=cos［(2x0+π6)－π6］=cos(2x0+π6)cosπ6+sin(2x0+π6)sinπ6=3－4310
突破方法技巧：
研究复杂三角函数的性质，一般是将这个复杂的三角函数化成y=Asin(ωx+φ)的形式再求解，这是解决所有三角函数问题的基本思路.
如果由图象来求正弦曲线y=Asin(ωx+φ)(ω>0,|φ|
关键词：水稻栽培旱育稀植技术分析
水稻，是推动我国农业发展的重要粮食作物。水稻旱育稀植栽培技术，是将旱育秧苗技术以及稀植栽培技术相互结合的高产性栽培技术体系。当前社会主义经济建设新时期，依靠生物科技，大力开发水稻栽培高产技术，发展农业生产，推动农作物高产增收，是促进现代农业科技发展的重要保障。本文针对水稻旱育稀植技术的特点优势进行了简要分析，阐述了水稻旱育稀植技术的实施要点。
一水稻旱育稀植栽培技术特征和技术优势
水稻旱育稀植，是指将水稻良种在旱地条件下培育秧苗，然后进行合理稀植栽培，水稻旱育秧苗技术是有效利用旱地土壤中氧气充足，水热气肥容易协调的优势条件，通过科学的培肥控水管理，培育出秧苗矮壮、根系发达、抗逆力强的秧苗。水稻稀植技术是利用旱育壮秧的优势，根据宽行窄株原则，在单位面积内合理控制和适当减少秧苗的栽植密度，充分利用分蘖成穗，加上科学的肥水调控，实现水稻高产的种植技术。
水稻旱育稀植技术较好地解决了水育秧苗的烂秧和弱苗现象，适宜于缺水地区的水稻种植。旱育稀植技术栽培的秧苗矮壮根系发达，秧苗返青较快，分蘖早成穗多，具有早熟高产、省水省肥、省工省地等特点，经济效益明显。相对而言，水稻旱育稀植技术具有如下优势：
1 省种省工
相对于常规型水稻育秧栽培技术来说，旱育稀植技术的每亩用种量减少一半以上，移栽规格较大，每亩苗栽1.2-2.0万株，大大节省了劳动力投入。通常状况下，相同植株数量的育苗用地，旱育秧稀植技术要比常规栽培技术节省秧田。
2 省肥省水
水稻旱育稀植技术，秧田培育苗秧时可以实行干犁干耙措施，在播种前只需将秧田用水浇透即可，由于旱育稀植栽培秧田密度小，大田施肥可以实行全田施肥，秧田育苗和大田移栽的用水量和用肥量相对节约很多。
3 早熟高产
旱育稀植技术育苗秧田中的水热肥气等土壤条件接近于旱地，温度较高，出苗早，秧苗生长快，可提早移栽，且相对早熟，可有效缓解作物时令矛盾。使用旱育稀植技术的水稻，平均每亩可增产稻谷约65公斤，大大提高了产量。
二水稻旱育稀植技术规程分析
（一）旱育秧苗技术
1 选种催芽
水稻旱育稀植技术，在选种育苗时，要科学选用稳产、抗病的优质品种。选种前选择晴暖天气晒种，用“一浸灵”或“植物龙”等新型药剂进行浸种消毒，防止秧苗出现恶苗病，采用适宜温度进行催芽，提高稻种芽势及出芽率。
2 苗床准备
旱育秧苗是在旱土状态下进行育秧，必须选择肥沃、松软的适宜田地作为苗床，并加以培肥，苗床面积应根据大田移栽密度确定育苗数量。苗床整地前要施肥并耕翻整平，作畦时要求因地制宜，保障苗床四周排水通畅。
3 播种着床
苗床播种前先将苗床进行消毒处理，用水将苗床均匀浇透，计算播种量，采取分畦称量多次撒播的方法均匀撒播谷种，确保苗床落籽疏密适中，撒种后用木板轻轻镇压，再用细土分次撒覆苗床遮盖稻种，保持苗床水分充足，最后架拱盖膜。
4 苗期管理
在播种后直至出苗前要适当用薄膜覆盖严实，并适当控制棚内和苗床温度，在秧苗快出齐时揭去覆盖物保持通风，防止高温蒸伤幼苗。及时进行水分管理控制，防止苗床积水，出苗后应及时透浇补水，及时追肥并进行防病壮苗。
（二）移栽稀植技术
1 施足底肥
水稻旱育秧苗进行大田移栽时，移栽前要均匀耕翻地壤，在犁耙田地之前，施足农家肥、尿素、过磷酸钙、磷酸二氢钾等底肥，反复犁耙于大田土层内，做到大田全层施肥均匀。
2 薄水浅插
大田整田时要呈薄水现泥平整状态，合理秧苗栽插深度，以保持苗秧不倒为宜。水稻秧苗的浅插有利于提高秧苗低位分蘖的成活率，因旱育秧苗根系发达，秧苗矮壮，返青较快，生长旺盛，有利于提高水稻分蘖成穗率，提高产量。
3 合理稀植
水稻稀植技术，是在单位面积内合理控制和适当减少秧苗的栽植密度，利用水稻分蘖的习性，根据大田土壤的肥力情况，移栽适宜秧龄苗株，控制适宜的株行间距和亩栽苗株数量。
4 适时灌溉
秧苗栽植后要做好田间水分管理，适时灌溉。在移栽30―40天后进行晒田处理，确保水稻有效分蘖。在水稻拔节孕穗期较及时进行间歇性灌水，以增强水稻根系的活性，促进水稻生长发育。
（三）大田管理技术
1水分管理
秧苗移栽至返青期间要保持大田浅水灌溉为宜。水稻秧苗返青至分蘖期间要保持3-5cm水层，拔节至成熟期间要保持浅水淹没秧脚，分蘖盛期降低水位露出秧蔸，保持半沟水，直到成熟。
2合理施肥
水稻旱育稀植技术，最好要保持大田移植的底肥充足，并根据实际需要分别在水稻苗秧移栽后，苗秧分蘖以及拔节抽穗期间，科学合理的进行追施化肥，保障水稻生长的肥力供应，以提高水稻结实产量。
3适时除草
水稻旱育稀植，由于前期田地株距间隙空间较大，有利于杂草生长，并根据实际需要在移栽后，及时采用灭草药物进行化学除草或采用中耕方法清除杂草。
4 病虫防治
水稻栽培的大田管理，重点要针对水稻在职和生长期间发生的稻瘟病，稻曲病和白心病等病害，以及稻螟虫、稻飞虱、专心虫等病虫害进行防治。
（四）病虫害防治技术
水稻旱育稀植技术，在水稻生长期应加强相关病虫害防治。稻曲病是于孕穗后期因真菌侵染稻穗颗粒，造成稻穗变质，防治方法是用20%井冈霉素可湿性粉剂喷施并及早除去病穗防止蔓延。在孕穗抽穗期重点防治稻瘟病，可用多茵灵、瘟散、甲基托布津等农药喷施。稻纹枯病是在分蘖后拔节前由真菌侵害水稻叶片及叶鞘并形成病斑，防治措施要着重改善栽培管理，适时浅水灌溉晒田。
稻飞虱群集在稻株下部吸食汁液造成秧苗逐渐枯死，导致水稻抽穗灌浆腊熟期倒伏、结粒不实。水稻二化螟容易造成水稻枯鞘、白穗病害。稻纵卷叶螟幼虫躲在叶苞内啃食叶肉，形成白色条纹，造成水稻减产。重点要抓好螟虫卵孵期的防治，及时用杀螟松乳油、吡虫啉、康福多等药均匀喷施灭治。
【关键词】认识 理解 函数 函数思想一、课题的产生
当我来到这所小学接过这个班时，我发现这个班的学生对数学学习兴趣淡薄，数学计算能力很差，速度很慢，不动脑筋，死搬硬套，不管什么问题，都是罗列起来相加或者是相乘，面对的是比全镇倒数第二名数学平均分还低19.2分的三十多名学生，第一次考试用尽了我所有办法，然而还比倒数第二名低8.7分，就在我一筹莫展时，看到了一只蚂蚁在一个苹果上，东跑西踮，上窜下跳， 来回转游很是辛苦，两个小时过去了，蚂蚁辛勤的工作毫无进展，在苹果上爬来爬去无从下口，就在这时，我顺手为它掀开一点苹果皮，五分钟过去之后，小蚂蚁尝到了苹果的甜头，就钻进苹果里去了，半小时之后，这个又大又红的苹果就被吃成一个大洞。 这个又大又红的苹果就好比科学知识的宝库，口算练习就像掀开一点儿苹果皮，为“小蚂蚁”打开了进入知识宝库的大门。就是在这样的背景下，我启动了“口算教学”它既能让学生全员参与（因为它不难不深），又能让孩子产生兴趣，这样长期下去会形成习惯，就能解决以上问题，而最重要的是在进行口算练习时，孩子的大脑始终处于想象状态，这样有助于发展学生的想象力和创造力。
二、活动过程记录
（一）分组活动根据自然座次把我班32人，每四人一组，分成8个小组，进行抢答练习，排出1，2，3，4名；再根据一轮产生的八个第一名8个人，分成两个小组，所有第二名分成两个小组，……重新进行第二轮抢答练习。根据二轮抢答结果进行第三次分组，再进行第三轮抢答。这样好的和好的一组，差的和差的一组，在同一条起跑线上进行练习。
（二）教师准备好样题，统计表，教师根据学生年龄特点，知识面的大小和新课标的要求，准备50个既要让学生动脑，又很简单，每个学生都能用笔算算出来的题。
（三）活动方法：在每组四人中，我们采用一人读题，三人抢答，先正确回答者为优胜者，在统计表上画“正”字，第一人读完50题换第二人读题，另外三人抢答，每组中，每人读完一题一轮结束，整理统计表，排出1，2，3，4名。
（四）活动时间安排：每次抢答需要15 20分钟完成一次，1，3，5各安排一次完成一轮抢答。
三、结题报告：
通过一年多实验，我们的学生已养成习惯，他们已经能在玩耍、嬉戏、欢乐的气氛中，愉快的完成口算练习，而使我受益最深的还是：“我授课轻松多了，学生接受能力提高了，运算速度加快了，动脑思考的多了，勤于动手的多了，成绩好的多了，学困生少了……”纠其原因和作用机理是：一人读出题目，其它三人要想说出答案就去思考，这个思考的过程，就是动脑思维的过程，人越动脑筋，大脑就变得越灵活，脑越灵活，就越愿意去解决问题，解决了问题就有一种成就感，有成就感就会给他带来快乐，他们越快乐，就越愿意体会这种感觉，因此，他们就会去寻找具有这种感觉的东西去解决数学问题，这样，他们的数学能力就在无意中培养起来了。
四、教学感悟：
计算教学是小学数学教学的重要组成部分，贯穿于小学数学教学的各个环节之中。自古以来，中国的计算教学都较为关注学生计算技能的培养，并取得了较好的成绩，在发展过程中也总结概括出了计算教学模式。近年来，随着素质教育的普遍实施，数学课堂教学比以往有了更进一步的发展，比如更加关注学生生活，更加关注情感、态度、价值观的培养等等一系列成功的变化。在发展的同时，也反应出了一定的问题。在计算教学方面，我认为主要有以下几个方面的问题：一、小学生计算能力较以往有所下降，影响了进一步的数学学习；二、学生数感不强，影响了解决问题的能力；三、小学生对计算器的依赖程度过高等等。我在计算教学中感到无所适从最重要的原因是关于计算教学价值的理解存在偏差。因此，本研究从国内外计算教学价值取向的发展变化出发，反思目前我国计算教学，重点研究计算教学的理性价值取向。
习惯是在我们不断的训练的基础上形成的，好的习惯一旦形成，就会为我们的教学开辟绿色通道，所以，培养习惯就是为我们教学铺路，口算抢答练习，在发展语言能力的同时，发展了学生的思维能力，激发了他们的想象力和创造潜能。孩子的想象是奇特的，就像一座无穷无尽的宝藏，只要你帮助他，就像掀开一点儿苹果皮一样，放飞他们的想象。就会放飞出陈景润、华罗庚、爱迪生、爱因斯坦……
我们班的数学成绩第二次是11名。第三次是第九名，第四次如果加上漏掉的十八个同学的口算成绩应是第六名。这一次考试我们争取进入前三名，而更重要的是培养了学生的想象力和创造力。大自然因为有了想象而妩媚，人是有了想象而有生机，所以我们要激励今天孩子们用自己的眼光看待世界，用自己的（经历）感受生活，用自己的头脑思考问题，用自己的智慧创造一切。
函数是高中数学的重要内容之一。函数的基础知识在现实生活、社会、经济及其他学科中有着广泛的应用；函数与代数式方程不等式等内容联系非常密切。为了更好的理解高中数学课程，需要弄清中、小学数学课程中函数思想的发展脉络。
（1）在义务教育阶段，特别是在小学时期，数、量、图、数据是引导儿童进入数学的源泉。在开始阶段，数和量常常是交织在一起，通常我们总说数量，数是用来刻画量的大小的一种工具，对于学生来说，我们更需要强调它们之间的联系。以重量、时间、长度、面积、路程等量为背景，对我们理解数的概念、数的表示、数的运算等是十分重要的。
在日常生活中，有两种量--常量和变量。在义务教育阶段，首先，帮助学生理解常量，或者理解数量，理解数量的大小，理解数量的加、减、乘、除，等等。
有些量是已知的，有一些是未知的，渗透未知量的概念，这是对量认识的一个飞跃，在小学阶段，经历了一个很长的过程。从常量到变量，这是认识函数思想的另一个飞跃。通过大量的事实，帮助学生了解在日常生活中存在各种变量，度、温度、湿度等等。有些变量和变量之间没有依赖关系，有些变量和变量之间存在着依赖关系，一个量的变化引起另一个量的变化。
通过大量的实例，就建立起了反映变量之间相互依赖关系的概念--函数关系。虽然这样的描述并不是十分严格，但是这是认识函数关系的重要视角。有人认为这是对函数的初步认识，这种说法不完全，变量与变量的依赖关系，从一个方面，揭示了函数的本质。函数是一个变量与另一个变量之间的一座桥，学习了映射，会对“桥”有更深入的理解。
（2）在高中阶段，学习的知识更加丰富了。我们利用更丰富的实例引导学生认识到，函数是刻画日常生活和其他学科规律的重要数学模型。在高中数学中，函数模型应该占有很重要的地位。
（3）在此基础上，进一步抽象概括出函数的严格数学定义。函数关系像一座桥梁把两个变量联系起来，形象的说，在直角坐标系中，函数图像就像一座桥梁把变量x和y联系起来了。
（4）知道了函数的定义之后，再去研究它的性质。
单调性是中学阶段函数最基本的性质之一。一旦我们弄清了一个函数的单调性，就能刻画出这个函数图形的基本形状，以及这个函数变化的基本状况。周期性也是中学阶段函数的一个最基本的性质。我们生活在一个周期变化的世界里。因此，学会用周期的观点来看待周围事物的变化是非常重要的。周期函数，比如，正余弦函数、正余切函数都是刻画周期变化的函数模型。用周期的观点来研究函数，可以使我们集中研究函数在一个周期里的变化，在此基础上，就可以了解函数在整个定义域内的变化情况。
奇偶性也是我们在中学阶段要研究的函数的性质，但是它不是最基本的性质。奇偶性反应的是函数图形的对称性质，可以帮助我们更加准确和集中地研究函数的变化规律。
（5）在高中数学课程中，通过函数的学习逐步形成了映射的思想和映射的定义，函数是两个实数集合之间的一种对应关系，而映射是两个集合之间的一种对应关系。映射能够帮助我们更好的理解两类物体之间的“桥梁关系”。映射的思想和函数的思想在本质上是一样的，只是它们连接的两类对象不同。在运用函数（映射）的思想解决问题的过程中，会不断加深对于函数桥梁作用的理解。
（6）函数的思想在其他部分数学内容的学习中发挥着重要作用。
用函数的观点来讨论不等式的问题会有很大的“好处” 。不等式是高中必修课程中一个重要的内容，例如，一元二次不等式，简单的线性规划问题，用函数的观点看待这些问题，有助于更好的理解这些知识本身。
在高中课程中，函数与数列、函数与导数及其应用、函数与算法、函数与概率中的随机变量、函数与选修3.4中的大部分专题内容都有着密切的联系。用函数（映射）的思想去理解这些内容，是非常重要的一个出发点。反过来，通过这些内容的学习，更加深了对于函数思想的认识。
（7）在大学的数学中，函数（映射）的思想依然发挥着重要的作用。例如，数学系的课程中，数学分析、实变函数、复变函数、常微分方程、偏微分方程、泛函分析等等。这些学科都是从不同角度研究函数所构成的课程。值得一提的是，在对其他课程的学习中，函数（映射）思想仍然起到了重要的作用。
综上所述，函数思想是高中数学课程的一条主线，从一个角度链接起了高中数学课程的许多内容。有了这条主线就可以把数学的知识编织在一起，这样可以使我们对知识的掌握更牢固一些。
我们学习数学是“线性序”，但数学本身不是“线性的”。我们可以从一个知识出发，推出后面的知识，同样我们也可以从另一个知识出发，按照一定的顺序推出来。如果我们对这个网有了深刻的认识，可以从不同的角度从局部到整体，再从整体到局部，把所学的知识有机地联系起来。
为了在高中数学课程中贯穿这一主线，在教学时，应把握以下几点。
（1）对函数的研究一定不能停留在抽象的讨论。教师应该帮助学生在头脑中建立起几个重要的模型，并把这些留在头脑中。
学生应该在头脑中留下几个具体的实际模型，比如，分段函数，以及基本的函数模型，比如，简单的幂函数、指数函数与对数函数、三角函数。结合这些函数，不断地加深对于函数的定义、性质以及函数研究方法的理解。再通过这些模型，理解函数与其他数学知识之间的联系。
（2）函数的教学一定要突出函数图形的地位。不管是用解析式、图表法还是图像法去刻画一个具体函数时，我们都要让学生在脑子里形成一个图形。只有把握住图形才能把握住一个函数的整体情况，这样的学习习惯有助于提高运用几何思想、把握图形的能力。所以，我们常常说学习函数要体现数形结合。
关键词：函数 教学 策略
中图分类号：G718.3 文献标识码：C DOI：10.3969/j.issn.1672-8181.2013.24.082
函数在职业高中教学内容中占有重要的地位，许多专业课程问题的解决都要依赖于函数模型；函数教学在提高学生逻辑思维能力、分析问题解决问题能力的同时，也为今后进一步学习奠定基础。因此，必须对职业高中数学函数教学给予高度重视，研究函数教学策略与方法，提高学生学习效果。
1 函数地位及作用
1.1 初中函数与高中函数的联系
初中阶段函数主要是让学生感受客观世界中量的变化以及量之间变化的依存关系，初步形成运动变化的观念和普遍联系的观念，并建立起直角坐标系，进一步建立数与形的对应关系。高中函数是建立在两个非空数集上的单值对应关系，对函数的本质做出了更好的阐述。它不仅是对初中函数的升华，也对前面学习的集合知识做了巩固和发展，更是学好后继知识的基础和工具。高中函数比初中更全面、更抽象、更概括，所以理解起来更困难，不少学生学习热情大打折扣。
1.2 函数部分高考要求
函数是高考考查的重点内容。现行考纲对函数各块知识的掌握要求做了详细的阐述，除了考查学生对知识的了解和理解外，它还与方程、数列、不等式、导数、线性规划、解析几何等结合在一起考查学生对函数知识的综合应用能力。每年对应高考函数相关试题占分比重相对稳定接近40%，甚至有人说得函数者得数学。
1.3 函数学习对学生自我发展的作用
函数学习可以很好地培养学生的逻辑思维能力，函数思想在学生日常生活及日后工作中都有积极作用，有助于学生把生活现象抽象成函数关系，运用函数观念提出问题，分析问题、转化问题并用函数方法寻找解决问题的途径，获得问题解决的结果，进而促进自身的发展与完善。
2 函数学习误区
2.1 忽视教师指导作用
新课标倡导生自主学习合作学习。自主学习在加强学生主体地位，提高学生学习效果方面有不可或缺的优势，这有利于充分调动学生的学习积极性，提高学习效益。但如果一味放手让学生自主学习，教师在课堂中不发挥指导和调控作用，或者合理性不当，自主学习将流于形式，失去其教学意义。
2.2 函数学习应循序渐进
函数学习是职业高中数学的重中之重，也是对口单招考试的热点。很多教师讲课时为了使学生了解对口单招考试形式，教学要求按高三目标进行处理，结果使学生产生厌学情绪，殊不知学生刚接触职业高中函数，基本函数思想方法尚未形成，一下子提高教学难度，学生也很难理解，教学效果必然大打折扣。职业高中函数教学按不同的学习阶段提出不同的要求，切不可拔苗助长。
3 职业高中函数教学策略
课堂教学中应切实体现“教师为主导、学生为主体”的双主性原则，调动学生学习数学的积极性。教师既要注意教学方法的多样化，又要根据学生的实际情况，注意教学方法的可行性，要善于以引导启发的方式让学生在“认真听就能听懂”的情况下参与教学活动。这种宽松、愉悦的氛围，可消除学生对数学学习的紧张情绪，抑制学习中的不良心理因素，促进学生的数学学习。
3.1 情境设置，感知函数
俗话说好的开端是成功的一半，在高中数学函数新课引入的教学中，教师应通过设置合理的教学情景，帮助学生理解新知，激起学生学习的兴趣，让学生能够从已有的认知理解函数，接纳函数。这样教学不仅能够培养学生的自主学习能力，同时也可以实现教学的高效率。
3.2 迁移类比，理解函数
在教学过程中教师善于将学生已经掌握的知识和方法作为基础，通过知识与方法的正迁移，理解新知识。这样既能巩固以前的知识，又能防止死记硬背，使学生更好地理解和运用所学的新知识，构建清晰的知识体系和知识脉络，发展思维能力。
例如教师指导求函数解析式时，由函数的表达式f（x）=-x+5，写出f（3x-1）的表达式。教师呈现题目之后首先要给学生思考的时间，让学生们进行探究，学生们得出的结论f（3x-1）=-（3x-1）+5=6-3x后，应总结思维的程序和方法。然后教师应对学生进行变式训练，让学生们将刚获得的方法进行迁移和巩固，比如变式有f（x+1）=5x+5，求出f（x）的表达式。学生通过与上一道题的比较，运用类比思想发现可以把f（x+1）的表达式配成含有（x+1）的式子，有f（x+1）=（x+1）2+3（x+1）+1，迅速得到f（x）=x2+3x+2，问题的解决水到渠成，学生在类比中找到解决问题的方法，在迁移中获得成功的体验，感受成功的喜悦，就会更乐意学习。
3.3 数形结合，感悟函数
在职业高中数学教学中，数形结合是一种非常重要的教学方法。对于数学学习困难的学生来说，通过直观的图像更容易理解函数，掌握函数的特征和性质。教学中善于运用数形结合的方法解决问题更能够有效地激起学生学习兴趣，特别是函数的学习，数形结合会收到意想不到的功效。
3.4 生活应用，感受函数
职业高中学生基础薄弱，数学学习困难者多，数学教学氛围比较沉闷。因此，激发学生的学习热情，改善课堂学习气氛是当前教学迫切需要解决的问题。职业高中函数学习，应该与生活实际紧密结合，在生活中了解函数，用函数解决生活问题，让学生体验函数的神奇，激发探索的热情。让学生从生活中挖出函数，感知函数无处不在，品尝函数应用的甜头，感受函数的魅力，他们自然就会乐意参与到函数学习中来。
4 有效策略
有效策略是针对教学效果而言的，并不是所有的教学策略在任何情况下都是有意义和有价值的，使用不恰当甚至可能是无效的，负效的。作为教师必须掌握有关的策略性的知识，在自己面对具体的教学情景、教学材料作出恰当的决策，采用适当的策略，使之有利于引起学生学习意向，激发学生的学习动机；有利于学生理解知识，构建知识方法体系；有利于学生自主学习，提高课堂效益，能为学生终身发展奠定良好的基础。
参考文献：
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关键词：高原鼢鼠；鼠丘；植被；演替
中图分类号：S 812.6文献标识码：A文章编号：10095500(2014)03000806
基金项目：农业部公益性行业科研专项（201203041），甘肃省科技厅项目（1304WCGA174）和草业生态系统重点实验室（甘肃农业大学）开放基金（CYZS2011013）资助
青藏高原高寒草甸生态系统的复杂性，为多种啮齿动物提供了必要的栖息场所\[1\]。高原鼢鼠（Myospalax baileyi）是青藏高原高寒草甸生态系统中主要的啮齿动物，也是高寒草甸的主要鼠害之一，其种群数量变化对高寒草甸生态系统的结构和功能有着深刻的影响\[2，3\]。由于高原鼢鼠在地下生活，其挖掘、采食等活动对天然草地造成不同程度的破坏和干扰\[4-6\]。干扰是影响草地植物群落多样性和植物种类组成的重要因素，高原鼢鼠的造丘活动破坏了草地原有的植物群落，但其土丘却为种子附着、植被更新提供了空间\[7-9\]。因此，研究鼠丘植物群落的演替及植物多样性变化，对研究高寒草地生态系统有重要意义\[10-15\]。试验以祁连山东段高寒草甸为背景，以高原鼢鼠土丘植被为研究对象，研究植被演替过程中植物多样性和生活型变化的结构和趋势，旨在为高寒草甸生物多样性的保护提供科学依据。
1研究区概况与研究方法
1.1研究区概况
研究地点设在天祝县甘肃农业大学高山草原试验站，位于东祁连山的天祝金强河河谷，南北宽5～15 km，东西长30 km。境内地形受马牙雪山和雷公山强烈隆起的影响，形成东西走向的峡谷地带，西高东低。天然草地主要为高寒草原和高寒草甸。地理坐标为N 37°10′～37°14′，E 102°40′～102°49′，海拔2 710～3 880 m，气候寒冷潮湿，太阳辐射强。年均温-0.1 ℃，1 月平均温度-18.3 ℃，7月平均温度12.7 ℃，>0 ℃年积温1 380 ℃；年降水量416 mm，多为地形雨，集中于7、8、9 月。无绝对无霜期，仅分冷热两季。天然草原主要为高寒草原和高寒草甸。主要植物有垂穗披碱草（Elymusda huricus）、矮嵩草（Kobresia humilis）、线叶嵩草（Kobresia capillifoli）、二裂委陵菜（Potentilla bifurca）、秦艽（Gentiana macrophylla）、扁蓿豆（Ruthenian medic）、早熟禾（Poaceae annua）、狗娃花（Heteropappus hispidus）、黄芪（Astragalus membranaceus）、棘豆（Oxytropis bella）等。啮齿动物组成包括高原鼢鼠、达乌尔黄鼠（Spermophilus dauricus）、根田鼠（Microtus limnophylus）、五趾跳鼠（Allactaga sibirica）、狭颅鼠兔（Ochotona thomasi）等10种，高原鼢鼠是该地区的优势鼠种，也是最主要的草原害鼠，对草地植被破坏非常严重，有些区域破坏率甚至能达到50%以上\[16\]。
1.2研究方法
1.2.1样地设置
2011~2013年，在研究地选择高原鼢鼠典型分布区，以定点标记结合鼠丘年龄划分\[17\]的方法，在放牧强度、植被一致的同一块天然草地选择不同年限形成的鼠丘，按形成时间划分为5个演替阶段，即阶段Ⅰ：当年；阶段Ⅱ：1年；阶段Ⅲ：2年；阶段Ⅳ：3年；阶段Ⅴ：4年。前3个阶段采用定点标记的方法确定，即以每年6月新形成的鼠丘用木桩标记为准，阶段Ⅳ和阶段Ⅴ利用鼠丘年龄划分法，即在2011年分别以鼠丘植被盖度在20%和60%以下确定两个阶段的鼠丘，同样在6月用木桩标记。于2013年8月在每个阶段的标记鼠丘设置5个重复，以0.5 m×0.5 m样方法测定各鼠丘上各植物的盖度、生物量，同时在鼠丘附近选择同样大小的自然植被样方作为对照，每组样方重复5次。
1.2.2植物功能群划分及多样性计算
根据高寒草甸群落组成的特点，按照植物的生活型划分为4类群：（1）1~2年生植物；（2）莎草科植物；（3）多年生禾草；（4）多年生杂类草。多样性指标选用物种数（S）、Margalef丰富度指数（O）、ShannonWiener 指数（H′）和Pielou均匀度指数（E）4 个指标。
1.2.3数据处理
生物多样性计算采用孔凡洲等\[18\]在Excel软件中制作的生物多样性指数计算方法处理。方差分析和制图由SPSS 17.0软件和Excel 2003软件完成。
2结果与分析
2.1鼠丘植物群落外貌特征
植物群落组成受环境异质性的影响，在局部环境均表现出不同的外貌特征。由图1可以看出，不同的演替阶段高原鼢鼠鼠丘植物群落的总盖度差异显著（P
图15个演替阶段鼠丘植物群落盖度变化
Fig.1Changes of plant coverage on zokor mounds
in 5 succession stages
各生活型类群植物演替表明（图2），随鼠丘植被演替年限的增加，1~2年生植物盖度呈递增趋势，且第
图25个演替阶段鼠丘功能群植物群落特征
Fig.2The characteristics of plant community on zokor mounds in 5 succession stages
4年的盖度61.4%显著高于其他阶段及原生植被13.3%。杂类草也表现出同样的递增趋势，但是各阶段都低于原生植被。多年生禾草及莎草科植物盖度在各阶段群落中的比例较小（
表15个演替阶段鼠丘植物生物量在群落中的比例
Table 1Biomass of community on zokor mounds in 5 succession stage%
阶段 1、2年生植物 多年生禾本科植物 莎草科植物 多年生杂类草 群落
Ⅰ 100 0 0 0 100
Ⅱ 68.86 5.41 1.6 24.13 100
Ⅲ 47.61 2.55 3.09 46.75 100
Ⅳ 35.68 2.39 2.98 58.96 100
Ⅴ 51.54 3.65 0.15 44.66 100
CK 19.27 22.86 16.02 41.86 100
2.2植物物种多样性分析
物种多样性是衡量群落结构与功能的指标。物种多样性可以很好反应出群落的组成、变化及发展\[19\]。鼠丘群落中植物的多样性指数在不同阶段表现出一定的差异性，原生植被（对照）物种丰富度指数均高于不同演替阶段鼠丘群落。随着演替的进行，鼠丘群落物种丰富度呈增加趋势，顺序为原生植被>阶段Ⅴ>阶段Ⅳ>阶段Ⅲ>阶段Ⅱ>阶段Ⅰ，且阶段Ⅴ显著高于其他各阶段。Pielou均匀度指数与物种丰富度指数相互独立，在群落演替的早期，其均匀度一般相对较低，但是研究中发现从阶段2到原生植被未表现出均匀度递增的趋势。Shamonwiener指数在演替阶段呈先增后降低的趋势，且形成3年以上的鼠丘显著高于1~2年（表2）。
表25个演替阶段鼠丘植物多样性比较
Table 2Comparison of plant diversity in 5 succession stages
阶段 平均物种数 Margalef指数 Pielou指数 Shamonwiener指数
Ⅰ 1 - - 0
Ⅱ 6 6.132±2.243b 0.877±0.066ab 1.556±0.292c
Ⅲ 7 6.380±0.648b 0.895±0.030ab 1.663±0.261c
Ⅳ 11 8.279±1.958b 0.835±0.033b 2.143±0.228b
Ⅴ 12 10.450±1.102a 0.903±0.030a 2.071±0.079b
CK 20 12.519±0.426a 0.896±0.018ab 2.685±0.055a
注：同列不同小写字母表示差异显著（P
2.3植物生活型
植物生活型是指不同种类的植物对相似环境的趋同适应而在形态、结构、生理、尤其是外貌上所反映出来的植物类型\[20\]。从各阶段鼠丘植物的物种分布可以看出(表3)，阶段Ⅰ基本没有植物覆盖，只有零星分布的一年生杂类草灰绿藜（Chenopodium glaucum）。从阶段Ⅱ开始，1年生、2年生及多年生杂类草等演替初期物种，如灰绿藜、早熟禾、扁蕾（Gentianopsis barbata）、香薷（Elsholtzia ciliata）、黄鹌菜（Youngia japonica）、角茴香（Hypecoum erectum）、繁缕（Stellaria media）、二裂委陵菜等迅速入侵，在植物群落中占据优势地位，但是群落总盖度相对较低。随着鼠丘形成时间的推移，鼠丘土壤变得紧实，能够适应紧实土壤的具备较强根茎繁殖能力及直根系的物种在空间竞争中获得优势，成为群落中的优势种，有的甚至成为建植种，如二裂委陵菜、蒲公英（Taraxacum mongolicum）、黄芪（Astragalus membranaceus）等多年生杂类草相继出现。同时群落中出现了一些高寒草甸的代表植物，如垂穗披碱草、矮嵩草、线叶嵩草（Kobresia capillifolia）、针茅（Stipa capillata）等，但这些植物在群落中的盖度较低。在演替各阶段1、2年生植物物种数未发生变化，物种组成较为接近，多年生禾草及莎草物种
表35个演替阶段鼠丘植物群落组成
Table 3The vegetation composition on zokor mounds in 5 succession stages
植被
组成 植物统计
Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ CK
1、2年
生植物 灰绿藜
C.glaucum 早熟禾
Poaceae annua 早熟禾
P.annua 早熟禾
P.annua 早熟禾
P.annua 早熟禾
P.annua
狗娃花Heteropap
pus hispidus 狗娃花
H.hispidus 狗娃花
H.hispidus 狗娃花
H.hispidus 狗娃花
H.hispidus
黄鹌菜Youngia
japonica 黄鹌菜
Y.japonica 黄鹌菜
Y.japonica 黄鹌菜
Y.japonica 獐牙菜Swertia
bimaculata
扁蕾Gentianopsis
barbata 扁蕾
G.barbata 扁蕾
G.barbata 扁蕾
G.barbata 繁缕
S.media
繁缕Stellaria
media繁缕
S.media繁缕
S.media婆婆纳
Veronica didyma 蝇子草
Silene gallica
灰绿藜
C.glaucum 鹤虱
L.myosotis 鹤虱
L.myosotis 高山韭Allium
sikkimense灰绿藜
C.glaucum
角茴香Hypecoum
erectum 角茴香
H.erectum 角茴香
H.erectum 角茴香
H.erectum 车前Plantago
asiatica
高山韭
A.sikkimense
点地梅Androsace
umbellata
多年生
禾本科垂穗披碱草
E.dahuricus垂穗披碱草
E.dahuricus垂穗披碱草
E.dahuricus垂穗披碱草
E.dahuricus垂穗披碱草
E.dahuricus
植物 针茅
S.capillata 针茅
S.capillata 针茅
S.capillata 针茅
S.capillata
赖草
L.secalinus 赖草
L.secalinus洽草
K.cristata
无芒雀麦
Bromus inermis
莎草科
植物线叶嵩草
K.capillifolia 矮嵩草
K.humilis 矮嵩草
K.humilis 线叶嵩草
K.capillifolia 矮嵩草
K.humilis
苔草
Carex tristachya
线叶嵩草
K.capillifolia
多年生
杂类草冷蒿Artemisia
frigida 冷蒿
A.frigida 冷蒿
A.frigida 冷蒿
A.frigida 蒲公英
T.mongolicum
紫菀
Aster tataricus 球花蒿
Artemisia smithii 球花蒿
A.smithii 球花蒿
A.smithii 紫菀
A.tataricus
扁蓿豆
Ruthenian medic 蒲公英Taraxacum
mongolicum 蒲公英
T.mongolicum 紫菀
A.tataricus 褐苞蒿
A.phaeolepis
龙胆
Gentianas cabra 紫菀
Aster tataricus 紫菀
A.tataricus 扁蓿豆
R.medic 火绒草Leontopo
diu mjaponicum
马先蒿
Pedicularis oederi 黄芪
A.membranaceus 扁蓿豆
R.medic 紫蕊白头翁Pulsa
tilla kostyczewii 黄芪
A.membranaceus
兰石草
Tibet Lancea 扁蓿豆
R.medic 乌头
A.carmichaeli 乌头Aconitum
carmichaeli 扁蓿豆
R.medic
西伯利亚蓼Polyg
onum sibiricum 乌头
A.carmichaeli 二裂委陵菜
P.bifurca 唐松草Thalictrum
aquilegifolium 毛茛
R.japonicus
香薷
Elsholtzia ciliata 二裂委陵菜
Potentilla bifurca 兰石草
T.Lancea 多裂委陵菜
P.multifida 翠雀Delphinium
grandiflorum
海乳草
Glaux maritima 兰石草
T.Lancea翻白委陵菜
P.discolor 唐松草
T.aquilegifolium
二裂委陵菜
P.bifurca 多裂委陵菜
P.multifida
鹅绒委陵菜
P.anserina 翻白委陵菜
P.discolor
龙胆
G.cabraBunge 二裂委陵菜
P.bifurca
兰石草
T.Lancea 秦艽Gentiana
macrophylla
西伯利亚蓼
P.sibiricum 兰石草
T.Lancea
棘豆Oxytropis
bella
变化较大。阶段Ⅰ～Ⅳ多年生杂类草物种数量及组成也较为相似，但在形成4年的鼠丘群落中多年生杂类草数量却显著增加，物种组成与原生植被接近（表4）。
表45个演替阶段鼠丘物种数量分布
Table 4Quantitative distribution of plant species
in 5 succession stages
功能群 Ⅰ Ⅱ Ⅲ Ⅳ Ⅴ CK
1、2年生植物1 7 7 7 7 9
多年生禾本科植物 0 1 3 3 2 4
莎草科植物 0 1 1 1 1 3
多年生杂类草 0 9 9 8 14 15
合计 1 18 20 19 24 31
3讨论与结论
高原鼢鼠鼠丘植被恢复演替的研究国内开展较多\[10-15,17,25\]，张卫国等\[8\]对不同放牧条件下鼠丘植被恢复进行了研究，江小蕾等\[12\]对甘南玛曲不同演替阶段高原鼢鼠土丘植物群落的多样性进行了研究，结果表明，随着演替的进行，物种丰富度呈累积递增趋势，物种多样性指数在阶段Ⅳ达到峰值，阶段Ⅴ略有降低，这与Odum\[21\]对鼠丘植被恢复演替模型预测一致，即在鼠丘形成4年达到演替后期。这与江小蕾\[12\]的研究略有不同，其认为鼠丘植被在8～10年达到演替后期，可能是各自研究区植被物种组成、放牧强度、土壤结构及气候等因素不同而造成差异。而何俊龄、张黎敏等\[22，23\]通过土壤种子库与鼢鼠鼠丘植被恢复关系的研究推测鼠丘植被恢复周期在4~5年。以上结果都说明鼠丘植物群落的演替是一个快速恢复过程。
植物群落的生活型类群组成能综合反映草地生态环境对植物的影响。在不同阶段的群落中，随着演替的进行，鼠丘植被群落盖度显著增加，同时各阶段植被表现出不同群落外貌特征。从不同阶段鼠丘植被各种生活型类群占有的比例可以看出，当年形成的鼠丘基本上处于露状态。越年形成的鼠丘上，1、2年生植物占据了主要地位，随着鼠丘植被演替，1、2年生及多年生杂类草共同构成鼠丘群落优势种，演替初期它们大多数属于相对的所谓“机会种”，如香薷、兰石草、西伯利亚蓼、黄鹌菜等\[24\]，在高原鼢鼠种群密度区，此类植物成为群落优势种\[25\]。在演替的各阶段，鼠丘群落物种组成伴有一定的变异性，可能是受现有植被及土壤种子库的影响\[26\]，也可能受外界物种的入侵的影响\[27\]。在所有的群落中，莎草科植物和多年生禾本科植物所占比例都比较低，分别在0.1%～3.1%和2.3%～5.5%。除1年鼠丘外，其余4个群落中多年生杂类草占相对优势。高寒草甸的优势种如矮嵩草、线叶嵩草等在鼠丘植物群落中却未能占据优势地位，而杂类草长期占有竞争优势，受放牧及鼢鼠对鼠丘的二次利用等因素影响，短时间内不能完成顶级演替，有些鼠丘植被甚至开始新一轮的演替，这也是高原鼢鼠分布区草地退化的一个标志。随着高原鼢鼠的造丘活动，不同时期鼠丘特征各异，植物生活型功能群也发生变化。同时，鼠丘植被的恢复受环境因子的影响，如土壤微生物、水分等，研究中应考虑这些因素的影响。
在天祝高寒草甸高原鼢鼠鼠丘植被演替过程中，植被迅速恢复，物种组成趋于原生植被，但外貌特征差异较大；1~2年生及多年生杂类草在群落中占据优势地位，同时伴有外来物种的入侵；多年生禾草与莎草科植物在竞争中处于劣势。
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Investigation of vegetation succession on zokor
mounds of alpine meadow in Tianzhu
ZHOU Jianwei,HUA Limin,WANG Qiaoling,LIU Li,WANG Guizhen
（College of Pratacultural Science,Gansu Agricultural University/ Key Laboratory of Grassland
Ecosystem,Ministry of Education,Lanzhou 730070,China）
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关键词：新课改；职高数学；函数；教学
函数知识在职高数学知识体系中占据着十分重要的位置，它不但能够促使职高学生形成函数学习的数学思想，而且还能够将函数知识运用于实际之中以处理实际的问题，为将来的工作服务。函数知识之所以非常重要，主要在于函数概念的产生标志着数学思想方法的重大转折，即由常量数学转变为变量数学。而且函数一个最大的特点就是能够很好地运用于实际之中，这就使得数学的面貌发生了根本性的变化，而不仅仅是处于理论的位置。对于职高函数而言，既是教学的一个重点，又是学生学习过程中的一个难点。本文就是攫取了职高数学中函数的教学进行了研究。
一、函数概念的教学
1.函数的两种定义――“变量定义”及“映射定义”
（1）变量定义
函数的“变量定义”主要任务函数是现实世界之中变量与变量之间相互依赖的关系。由此可以得知函数的存在是一些变量依赖于另一些变量。具体可以概括为：现有两个变量x与y，若变量x在实数范围内进行变化时，变量y也随之变化，那么我们就可以称变量x为自变量，y为因变量，变量y为变量x的函数，可以记为：y=f（x）。
（2）映射定义
关于函数的映射定义，主要为：现有一集合A，其上取值于B集合上的函数f为笛卡尔积A×B的子集，那么我们可以记为：f：A×B，而且对于A上的每一个数值x，均存在集合B上的一个数值y，且y唯一，那么（x,y）∈f。对于函数的“映射定义”而言，显得十分抽象，因此在职高数学中很少用到。
2.理解高中数学函数概念时应注意的若干问题
职高数学中的函数，是一个非常重要的数学内容，无论在形成函数分析问题的思想，还是将函数知识运用于实际过程中。因此函数对于职高学生学习而言，是尤为重要的。对此在实际的教学过程中，应该加强学生对函数概念的理解，需要注意如下几个方面的问题：（1）函数的概念应该建立在解决实际问题上；（2）进行函数概念不同叙述之间的比较；（3）对函数的定义域、值域以及对应法则这三个方面的含义加以理解；（4）注意函数的各类表示方法。
二、函数思想在职高数学学习中的具体体现
1.函数与方程的教学案例及其分析
在实际的函数教学过程中，笔者发现函数与方程的联系是十分紧密的。例如，一个方程x2-3x-5=0就可以看做是y=f（x）=x2-3x-5与x轴的交点的横坐标。由这个例子就可以看出，我们在解决实际的函数问题的时候，应该将函数与方程紧密地结合起来，这样就会使问题迎刃而解。因此，在实际教学过程中，应该加强学生函数―方程思想的形成，首先将某个函数转化为具体的方程，然后根据其中的一些变量来确定函数的性质以及该函数的图象，希望能够通过方程或是方程组来对这些变量进行研究。对于函数学习中的方程思想而言，其解题的宗旨为“动中求静”，对函数这一由变量所组成的运动量进行等量换算。在职高数学学习过程中，函数与方程思想为数学学习的一条主线，因此在实际教学中应该注重函数与方程二者之间所存在的联系，并将这种思想运用于实际问题的解决之中。
例如，一函数为y=ax3+bx2+cx+d，其图象如下图所示，据此图象可以得知下面哪项为正确的？
A.b∈（-∞，0）
B.b∈（0，1）
C.b∈（1，2）
D．b∈（2，+∞）
上例就可以将函数的方程思想运用于其中，这样问题就迎刃而解了。由题干中给出的函数关系式可以得知，函数存在4个未知变量，而从函数的图象可以看出，函数与x轴存在三个交点，这就是说y=f（x）=0存在着三个根，这就可以运用待定系数法进行解题，首先将b看作是一个常量，然后再根据函数图象的特点来对b的范围加以求解。具体求解的过程如下：
解：由函数的图象可知
那么当x＞2时，y=f（x）＞0。所以，b＜0，故选A。
2.函数与不等式的教学案例及其分析
不等式可视为两个数值大小的比较。在处理不等式的有关问题时，注意运用函数思想指导，研究题设所提供的信息，通过观察分析，构造一个适当的函数，然后利用函数图象和性质加以研究，这样往往能使问题获得新颖别致、简洁明快的解答。这就是函数的不等式思想，也是一种比较常见的方法。
【关键词】高等数学；一致性；连续性；函数
一、高等数学函数一致性连续性的基本概念
高等数学中的一致连续性是从函数连续的基本概念中派生出来的新释义，它是指：存在一个微小变化的界限区间，如果函数定义域以内的任意两点间的距离永远不超过这个界限范围，则这两点相对应的函数值之差就能够达到任意小、无限小，这就是所谓的函数一致连续性概念。一直以来，高等数学函数一致连续的概念都是教学过程中的重点，也是难点之一，在多年的高等数学教学实践过程中，笔者深刻感受到学生在学习和掌握函数一致连续概念时的疑惑和困难。甚至有不少学生会有这样的疑问：函数连续和一致连续的本质区别究竟体现在哪里？
带着上述问题，我们对函数一致连续性进行研究和分析。函数的一致连续性是函数的一个重要的特征和性质，它标志着一个连续函数的变化速度有无“突变”现象，并对其连续性进行归纳总结。函数一致连续性，要求函数在区间上的每一点都保持着连续的特点，不允许出现“突变”现象，同时还进一步要求它在区间上所有点邻近有大体上呈现均匀变化的趋势。换句话说，函数一致连续性的定义为：对于任给定的正数ε，要求存在一个与自变量x无关的正数δ，使对自变量在定义域区间内的任意2个值x'和x"，只要二者的距离x'-x"＜δ，那么函数所对应的函数值f（x'）-f（x"）＜ε。显然，函数一致连续性的条件要比函数连续的条件强。在目前采用的高等数学的教材中，只是给出一致连续的基本定义，以及利用该定义证明函数f（x）在某区间上一致连续的数学方法，进而呈现出了函数一致连续的完美逻辑结果。这种教学理念是很好的，但是，从实践教学效果上看，又很不利于学生对定义的理解，尤其不利于学生对定义中提到的“δ”的理解，因此笔者建议教学工作者将函数一致连续性概念中所隐含的知识逐步解释清楚，以此来帮助广大学生更快更好地充分理解一致连续的概念和意义。高等数学函数连续性的基本定义为：设f（x）为定义在区间I上的函数，若对ε＞0，对于每一点x∈I，都存在相应δ=δ（ε，x）＞0，只要x'∈I，且x-x' ＜δ，就有f（x）-f（x'）＜ε，则称函数f（x）在区间I上连续。该定义说明了函数f（x）在区间I上连续的基本特征。函数一致连续的基本概念是：设f（x）为定义在区间I上的函数，若对ε＞0，存在δ（＞0），使得对任何x'，x"∈I，只要x'-x"＜δ，就有f（x'）-f（x"）＜ε，则称函数f（x）在区间I上一致连续。要特别注意的是，连续概念中δ与一致连续概念中的δ完全不同，一定要充分理解其各自的定义，才能避免混淆概念。为了帮助大家更好地理解函数一致连续性概念，现将函数函数不一致连续的概念进行一下描述：存在某个ε0，无论δ 是怎么样小的正数，在I上总有两点x' 和x"，虽然满足x'-x" ＜0，却有f（x'）-f（x"）＞ε。这就是函数不一致连续的概念，理解和学习函数不一致连续的相关知识，有利于我们更好地学习和研究函数一致连续性问题。
二、高等数学引入一致性连续性的意义和价值
高等数学教材中涉及了较多的理论和概念，比如函数的连续性与一直连续性，以及函数列的收敛性与一致收敛性等，都是初学者很容易混淆的相近概念，因而也成为了高等数学学习中的一个难点问题。在工程数学中，这些概念非常重要，笔者认为，搞清楚和弄明白函数的一致连续的基本概念，以及掌握判断函数是否具有一致连续特性的基本方法，无疑都将是理工科学生学好高等数学函数一致连续性理论知识的核心环节，也是日后成熟运用该数学方法的基础和前提。通过学习和比较，我们能够得出一个很明显的结论：一致连续要比连续条件强。高等数学函数一致连续是一个很重要的概念，在微积分学以及其他工程学科中常常会用到一致连续的知识，而且函数列的一致连续性和一致收敛又有着密切的相互关系。实际上，我们在进行函数列的收敛问题研究时，常常要用到函数列与函数之间的收敛、一致连续性、一致收敛等概念及其关系。函数一致连续的概念是学生学习高等数学的一个难点问题，证明某一个函数是否具有一致连续性是其中的瓶颈问题，这让很多理工科同学感到无从下手。为了解决这一难点，达到化抽象为简单的教学目的，笔者建议给出一致连续性的几种常见等价形式，能够很好地帮助学习高等数学的同学更易于理解和掌握函数一致连续性这一知识要点。高等数学中的函数一致连续性、函数列一致有界性、函数列一致收敛性等“一致性”概念是学习上的难点，也是教学大纲中的重点。因此，牢固掌握这些概念及与之有关的理论知识，对于培养学生良好的数学素养和创新能力都有着重要的意义。
函数一致连续的几何意义非常非常重要。数学分析抽象而且复杂难懂，这门学科本身就有着极强的逻辑思维和严密特征，主要体现在它能够采用最简明的数学语言来准确表述其他语言无法量化的复杂多变的事物发展过程。换言之，其作用在于，能够量化抽象事物的动态发展过程。其几何意义将在高等数学课程入门中起到一个有利引导作用，清晰明朗地向学生展示高等数学中最基本的思想方法和思维方式，帮助学生理解抽象概念，提高学生培养自身的创新思维能力。另外，探讨函数一致连续和一致收敛的关系，同时在有界区间上给出一致连续和一致收敛的等价关系，有利于学生在今后研究连续、收敛问题中拥有更多的参考依据。
三、解决高等数学函数一致性连续性问题的对策
1.一元函数在有限区间上的一致连续性
由于用函数一致连续的定义判定函数 是否一致连续，往往比较困难。于是，产生了一些以G.康托定理为基础的较简单的判别法。
定理1 若函数 在 上连续，则 在 上一致连续。
这个定理的证明方法很多，在华东师大版数学分析上册中，运用了有限覆盖定理和致密性定理来分别证明，本文选用闭区间套定理来证明。
分析：由函数一致连续的实质知，要证 在 上一致连续，即是要证对 ，可以分区间 成有限多个小区间，使得 在每一小区间上任意两点的函数值之差都小于 。
证明：若上述事实不成立，则至少存在一个 ，使得区间 不能按上述要求分成有限多个小区间。将 二等分为 、 则二者之中至少有一个不能按上述要求分为有限多个小区间，记为 ；再将 二等分为 、 依同样的方法取定其一，记为 ；......如此继续下去，就得到一个闭区间套 ，n=1，2，…，由闭区间套定理知，存在唯一一点c满足
（2-13）
且属于所有这些闭区间，所以 ，从而 在点 连续，于是 ，当时，就有
。（2-14）
又由（2-13）式，于是我们可取充分大的k，使 ，从而对于 上任意点 ，都有 。因此，对于 上的任意两点 ，由（2-14）都有 。（2-15）
这表明 能按要求那样分为有限多个小区间，这和区间 的取法矛盾，从而得证。定理1对开区间不成立。阻碍由区间连续性转变为区间一致连续性有两种情况：（1）对于有限开区间，这时端点可能成为破坏一致连续性的点；（2）对于无限区间，这时函数在无穷远处也可能破坏一致连续性。
定理2函数 在 内一致连续在 连续，且 与 都存在。
证明：若 在 内一致连续，则对 ，当 时，有
，（2-16）
于是当 时，有
。（2-17）
根据柯西收敛准则，极限 存在，同理可证极限 也存在，从而 在 连续， 与 都存在。
若 在 连续，且 和 都存在，则
令（2-18）
于是有 在闭区间 上连续，由Contor定理， 在 上一致连续，从而 在 内一致连续。
根据定理2容易得以下推论：
推论1 函数 在 内一致连续在 连续且 存在。
推论2 函数 在 内一致连续在 连续且 存在。
当 是无限区间时，条件是充分不必要的。
2.一元函数在无限区间上的一致连续性
定理3 在 内一致连续的充分条件是 在 内连续，且 都存在。
证明：（1）先证 在 上一致连续。
令 ，由柯西收敛准则有对 使对 ，有
。 （2-19）
现将 分为两个重叠区间 和 ，因为 在 上一致连续，从而对上述 ，使 ，且 时，有
。 （2-20）
对上述 ，取 ，则 ，且 ，都有
。 （2-21）
所以函数 在 内一致连续。
（2）同理可证函数 在 内一致连续。
由（1）、（2）可得 在 内一致连续。
若将 分为 和 ，则当 与 分别在两个区间时，即使有 ，却不能马上得出 的结论。
由定理3还容易得出以下推论：
推论3 函数 在 内一致连续的充分条件是 在 内连续，且 存在。
推论4 函数 在 内一致连续的充分条件是 在 内连续，且 与 都存在。
推论5 函数 在 内一致连续的充分条件是 在 内连续，且 存在。
推论6 函数 在 内一致连续的充分条件是 在 内连续，且 与 都存在。
参考文献：
[1]王大荣，艾素梅；分段函数在分段点处的求导方法刍议[J]；沧州师范专科学校学报；2005年03期
[2]袁文俊；邓小成；戚建明；；极限的求导剥离法则[J]；广州大学学报（自然科学版）；2006年03期
