发布时间：2023-11-07 11:28:29
序言：写作是分享个人见解和探索未知领域的桥梁，我们为您精选了8篇的探索平行线的条件样本，期待这些样本能够为您提供丰富的参考和启发，请尽情阅读。
《平面图形的认识（二）》是学好平面几何知识的重要基础，怎样才能掌握这一章节，我建议同学们从下列几方面入手.
一、 体会知识结构
二、 明确重点难点
本章的重点内容是探究两直线平行的条件和平行线的性质，探索三角形的有关性质和应用.难点则是平行线的判定与性质的条件和结论易混淆，探索多边形内角和与外角和公式过程中应用的化归思想需深入领会.
三、 理解知识要点
1. 认识同位角、内错角、同旁内角
（1） 同位角：两条直线被第三条直线所截，如果两个角在第三条直线的同一边，在被截两条直线的同一方向，那么这两个角叫做同位角.如图2中的∠1和∠2分别在直线c的同一边，并且都在直线a、b的上方.同位角是指两个角的位置关系，在判别“同位角”时，注意位置上的两个“同”：在第三条直线的同一边，在被截两直线的同一方向.同位角不一定相等.
（2） 内错角：两条直线被第三条直线所截，如果两个角在被截两条直线之间，在第三条直线的两旁，那么这两个角叫做内错角.如图2中的∠2和∠7分别在直线a、b之间，并且在直线c的两旁.内错角是指两个角的位置关系，内错角的特征：在被截两直线之间，在截线的两旁.内错角不一定相等.
（3） 同旁内角：两条直线被第三条直线所截，如果两个角在被截两条直线之间，在第三条直线的同旁，那么这两个角叫做同旁内角.如图2中的∠2和∠5分别在直线a、b之间，并且在直线c的同旁.同旁内角是指两个角的位置关系，同旁内角的特征：在被截两直线之间，在截线的同旁.同旁内角不一定互补.
（4） 同位角、内错角、同旁内角都是由两条直线被第三条直线所截而形成的，将其分别从图中分解出来，得出其基本图形可分别形象地记为“F” 形、“Z”形、“C” 形.当图形较为复杂时，一定要观察清楚同位角（或内错角、同旁内角）是哪两条直线被哪一条直线所截的.另外这三种角讲的只是位置关系，通常情况下，它们之间不存在固定的大小关系.
2. 两直线平行的条件
① 同位角相等，两直线平行.② 内错角相等，两直线平行.③ 同旁内角互补，两直线平行.
以上三种方法都是利用角的关系判断两直线的位置关系.具体做法：要判断两条直线平行，首先需要两个角，并且这两个角是两条直线被第三条直线所截成的同位角、内错角或同旁内角；其次是要具备角的大小相等或互补.在两者都具备的前提下，两条被截的直线互相平行.
3. 探索平行线的性质
① 两直线平行，同位角相等.② 两直线平行，内错角相等.③ 两直线平行，同旁内角互补.
同位角相等、内错角相等、同旁内角互补是平行线特有的性质.不要误认为凡同位角、内错角都相等，凡同旁内角都互补.
4. 两直线平行的条件与平行线的性质的区别和联系
（1） 平行线的性质和两条直线平行的条件的前提和结论恰好相反，运用时关键是弄清楚它们各自的前提和结论.
（2） 两条直线平行的条件是由角的数量和位置关系推得直线的位置关系，而平行线的性质则是由直线的位置关系推得角的数量关系.
5. 图形的平移
（1） 图形的平移：在平面内，将一个图形沿着某个方向移动一定的距离，这样的图形的运动叫做图形的平移.平移运动时，图形上的每一点都是沿同一方向移动相同的距离. 图形的平移由平移的方向和平移的距离决定.平移的距离是指对应点之间线段的长度.
（2） 图形平移的性质：① 平移不改变图形的形状、大小，即平移前后的两个图形全等，平移只改变了图形的位置.② 图形经过平移，连接各组对应点所得的线段互相平行（或在同一条直线上）并且相等.③对应线段平行且相等.
（3） 平行线之间的距离：如果两条直线互相平行，那么其中一条直线上任意两点到另一条直线的距离相等，这个距离称为平行线之间的距离.两条平行间的距离处处相等.
（4） 画平移图形：画平移后的新图形，要首先确定平移方向和距离，再确定关键点平移后的对应位置，最后按原有的方式依次连接，就可得到平移后的图形.作图的依据是平移的性质.
（5） 图形平移的应用：利用平移的性质可以巧算某些图形的周长和面积，还可以设计美丽的图案.
6. 认识三角形
（1） 三角形的概念：三角形是由3条不在同一条直线上的线段，首尾依次相接组成的图形.三角形有3条边、3个内角和3个顶点.
（2） 三角形分类：① 按边分类为：不等边三角形和等腰三角形；② 按角分类为：锐角三角形、直角三角形、钝角三角形.
（3） 三角形的三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边.要判断所给三条线段能否构成三角形，可以用两条较小的线段长之和与最大线段长进行比较，若前者大于后者，则这三条线段能构成三角形，否则，不能构成三角形.
（4） 三角形中的特殊线段：①在三角形中，从一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高线，简称三角形的高.三角形的高垂直于三角形的一边，一个三角形有3条高，并且3条高相交于一点.②在三角形中，一个内角的平分线与它对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段叫做三角形的角平分线.三角形的角平分线分三角形一角所成的两个角相等， 一个三角形有3条角平分线，并且3条角平分线相交于一点.③在三角形中，连接一个顶点与它对边中点的线段，叫做三角形的中线.三角形的中线分三角形一边为相等的两条线段， 一个三角形有3条中线，并且3条中线相交于一点.三角形的高、中线、角平分线都是线段.
7. 三角形的内角和
（1） 三角形的内角和：三角形3个内角的和等于180°.这个结论揭示了3个内角之间的数量关系.
（2） 直角三角形两锐角互余.
（3） 三角形外角的概念及性质：① 三角形的一边与另一边的延长线所组成的角叫三角形的外角.三角形的一个外角就是三角形某个内角的邻补角.② 三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和.三角形的一个外角大于任何一个和它不相邻的内角.
直线平行的条件和性质的内容是让学生在充分感性认识的基础上利用三种角的关系体会平行线的三种判定方法，它是空间与图形领域的基础知识，是《相交线与平行线》的重点，学习它会为后面的学习平行线性质、三角形、四边形等知识打下坚实的“基石”。同时，本内容学习将为加深“角与平行线”的认识，建立空间观念，发展思维，并能让学生在活动的过程中交流分享探索的成果，体验成功的乐趣，提高运用数学的能力。学生在学习这方面知识时会出现一些问题，一是考生基础知识不够扎实，概念理解不够准确，不能准确的认识这三种角；二是逻辑推理能力较差，有些能了解这三个角的关系与平行的关系，不会用几何语言去描述，三是不能很好的利用这三个角之间的关系去证明平行的相关问题针对找些问题谈谈本人在教学中的一点点见解：一、引导学生“正确理解概念”二、引导学生用规范的几何语言描述三、引导学生学会分析问题
直线平行的条件和性质的内容位于人民教育出版社义务教育课程标准实验教科书七年级下册第五章第二、三节。主要内容是让学生在充分感性认识的基础上利用三种角的关系体会平行线的三种判定方法，它是空间与图形领域的基础知识，是《相交线与平行线》的重点，学习它会为后面的学习平行线性质、三角形、四边形等知识打下坚实的“基石”。同时，本内容学习将为加深“角与平行线”的认识，建立空间观念，发展思维，并能让学生在活动的过程中交流分享探索的成果，体验成功的乐趣，提高运用数学的能力。
学生在学习这方面知识时会出现以下几种问题：一是考生基础知识不够扎实，概念理解不够准确，不能准确的认识这三种角；二是逻辑推理能力较差，有些能了解这三个角的关系与平行的关系，不会用几何语言去描述，三是不能很好的利用这三个角之间的关系去证明平行的相关问题。针对以上问题谈谈本人在教学中的一点点见解：
一、引导学生“正确理解概念”
其中同位角、内错角、同旁内角是两条直线被第三条直线所截形成的，它们主要是为学习平行的判定和性质服务的。是学习平行线的关键，而学生对于三种角的认识不够，在这里的学习中应当注意
（一）引导学生多“观察”
先从基本的三线八角入手，先了解最基本的这三种角的描述性定义，了解他们的本质属性，例如，对于同位角的认识可以引导学生观察得出这两个角分别在直线AB、CD的同一方（上方），并且都在直线EF的同一侧（右侧），这是“同位角”的本质属性。然后，可以用“位置相同”来描述这种位置关系，给出“同位角”的描述性定义。认识准确的角可以使学生对于一些复杂的图形能排除变式图形中的非本质现象。复杂图形中“背景”干扰的能力。
（二）引导学生会“识图、用图”
学好平面几何要求学生具有熟练的识图、用图能力，即从复杂的图形中区分出基本图形，并通过对基本图形的分析，识别出基本元素之间的关系。通过一些图形如上图的变化让学生能从复杂图形中去“分解”为简单图形的训练，这种训练能有效地帮助学生掌握识图技能，从而扫除学生识别内错角、同旁内角时可能存在的障碍。从而会识别图形（包括变式图形和比较复杂的图形）中的同位角、内错角和同旁内角。
通过这两个方面的引导使学生能很好的认识同位角，内错角和同旁内角，为平行线的学习打下好的基础。
二、引导学生用规范的几何语言描述
三种角的学习是为了平行线的性质和判定的运用，学生在刚接触几何时对于几何语言知之甚少，不会利用几何语言去描述这三种角和平行线之间的关系，而这方面的训练教学书中涉及比较少，在此应这样处理更有利于学生熟悉利用规范的几何语言来描述几何问题。找一些简单的问题，然后先给出简单的思路过程让学生填一些简单的原因，逐步摸索出遇到问题应该如何去想。
虽然这只是一些直接简单的证明，但对于学生规范几何语言描述大有帮助，实践说明这类训练对于刚接触的几何的学生尤其是理解能力较差的学生来说几何语言的规范性效果很好。
三、引导学生学会分析问题
分析问题解决问题是学生必须学会的方法，但是学生刚接触几何时不知道如何去解决这类问题，基本上是无处下手，在认识了三种角的特点以及与平行的关系后上述的简单证明题的填空不仅可以使学生规范几何语言，而且还对于学生了解分析问题的基本思路也有很大的帮助，当然仅是上面的训练还不够理解问题分析的思路，要引导学生从题目的已知条件中提取有用的信息，从题目的的求解（或求证）中考虑需要的信息即“看见已知联想性质，看到求证联想判定”，将获得的信息联系起来，进行加工、整和，一方面从已知到未知，另一方面从未知到已知，寻求正反两个方面的知识的“衔接点”即一个固有的确定的数学关系。从经验上升到自动化，从感性上升到理性，加深对理论的认识水平。提高解决问题的能力。
不同学生的思维风格和解决问题的习惯是不同，如分析型学生的思维倾向于局部到整体的解决问题的方法，综合型思维风格的学生则恰好相反，教师应当尊重和保护学生的自主性的选择权。要认真钻研教材，重视发挥教师的主导作用，充分调动学生的学习积极性和主动性，才能真正的提高教学效率，减轻学生负担。提高学生的综合素质。
参考文献
【关键词】三线八角；难点突破；教法探讨
如果两条直线被第三条直线所截，就会形成八个角，这就是所谓的“三线八角”，在这八个角中，有“同位角”、“内错角”、“同旁内角”等几个重要概念，因此习惯上把涉及同位角、内错角、同旁内角的几何问题统称为“三线八角”问题.因为绝大部分平行线的性质和判定问题都需要借助于“三线八角”来解决，所以它是平面几何一个传统的重点内容，同时它也是一个难点内容，一些学生往往因在解决三线八角问题时出错而导致学习遇阻，甚至产生厌学和分化.笔者在教学实践中对这一经典内容的教法作了一些探索，叙述于后供大家指正.1“三线八角”问题的教学难点及成因分析
在解决三线八角问题时，学生的出错点主要有两类：一类是不能正确识别图形中的同位角、内错角和同旁内角，另一类是在判定平行线或应用平行线的性质时，不能正确关联线和角.这两类错误有时也相互缠绕，使学生深受其苦.
三线八角问题之所以成为学生学习的难点，既与知识本身的复杂程度和学生的认知水平有关，也与教材对知识的呈现方式有关.
知识本身的因素.三线八角问题涉及三条线、八个角，信息容量大，图形变式多，而在变式图形中，充斥着大量的干扰因素，这是学生感觉困难的根本原因.
学生因素.学生在之前接触的几何问题，除了对基本平面图形和立体图形名称的识别外，系统学习的几何知识主要是线段、射线、直线和角，基本没有涉及变式图形，对图形的认识处于直观感知阶段，读图识图能力较弱，对几何关系的把握能力差，尤其是当接触到包含变式图形的问题时，往往因为外形直观上的改变而无所适从.
教材因素.我校使用的北师大版教材，是在探索两直线平行的条件一课中首次出现“同位角”的概念的，而且只做了简单描述，显然是有意淡化了概念.这样虽然把学生的注意力引向平行线本身，但却导致着学生对“同位角”这一概念的本质认识模糊，也进而导致了进一步研究平行线时学生不能熟练使用三线八角这一有力工具的缺陷.实际上，作为研究平行线的重要工具，三线八角本身是需要学生在学习平行线之前深刻理解并熟练掌握的.2“三线八角”教学难点的突破
2.1在基本图形中准确理解概念的内涵
笔者认为，对初一学生来说，同位角、内错角、同旁内角不是单从字面就能完全理解的概念，需要教师对概念本身的含义进行点拨讲解，使学生准确理解概念是解决问题的基础.
如图1，直线AB、CD被直线EF所截，EF称为“截线”，AB、CD是被截线.
同位角的字面意义是位置相同，识别同位角的关键是学生要领悟两个位置上的“同”即在截线EF的同一旁，被截两直线AB、CD的同一方向.根据以上可以判定图中满足“同位角”条件的有：∠1和∠5、∠2和∠6、∠3和∠7、∠4和∠8.
准确辨别内错角的要领是把握两角在被截两直线AB、CD的“内部”，交错在截线EF两旁.据此∠4和∠6、∠3和∠5为“内错角”.
同旁内角：在截线EF同旁，被截两直线AB、CD之间.满足的有∠4和∠5、∠3和∠6.
图2也是标准的基本图形，学生不难从基本图形中识别有关角.
2.2在图形变式中把握概念本质
几何图形千变万化，不管怎样的图形，只要能从中找到“基本图形”，就容易识别三线八角，常用的方法有补齐法和分离法.
（1）补齐法
图3的各图中有同位角、内错角和同旁内角吗？信息的缺失也会导致识别困难.和基本图形相比，这种图形似乎是残缺的、不完整的，刚开始接触这类图形时可用补齐法.比如，只要把图3各图中的相关线段适当延长，都可补齐为图4的基本图形，各类角也就很容易识别了.
（2）分离法
分离法，就是在复杂图形中分离出基本图形，以去除干扰信息（包括交点、线段和角），准确识别三线八角.
当考察∠1和∠2时，将与两角无关的因素去掉，比如按图6的方式把虚框中的图形遮挡，剩下的图形就是图7，此时就很容易看到直线AB、EF被直线CD所截，∠1和∠2在截线CD同旁，被截线AB、EF同方向，所以两角是同位角.类似的方法可识别图5中∠1和∠3是内错角，∠2和∠3是同旁内角.
2.3正确建立平行线与角的关联
学习“三线八角”，不可避免的会遇到由平行线推断相关角的数量关系，或是由角的数量关系推断直线的位置关系的题目，此时正确建立线和角的关联是解决问题的关键.下面看两个例子.
例1如图8，（1）如果AB∥CD，可推出∠1=∠2，∠3=∠4吗？
（2）已知∠1=∠2或∠3=∠4，能得到AB∥CD吗？
直线AB、CD为被截线，分别将直线AC、AD、BC作榻叵叻掷氤隼矗得到图9中的三个图形，很容易观察到∠1和∠2是内错角，而∠3和∠4是无关角.图10图11
反过来，已知∠1=∠2或∠3=∠4，可以把与∠1、∠2或∠3、∠4无关的线段隐藏，分别得到图10中的两个图形，可以看出，由∠1=∠2能推出AB∥CD，而由∠3=∠4不能推出AB∥CD.此类问题，也可用“描线法”分析，即在原图上用红笔或粗笔描绘出∠1和∠2的两边，或∠3和∠4的两边，可分别得到图11中的两个图，这两个图中描了线的突出部分，就分别是图10中的两个图形.
例2如图12，已知∠1=∠2=∠3=59°，求∠4的度数.
此题的难点在于图形中的干扰信息多，学生面对此题，往往不能正确判断由哪对角来判别a，b是平行的，求得a、b平行后，又不能识别哪个角与∠4是关联的？解决此问题的关键是排除干扰信息，解决问题的方法是分离法，比如把图中的线d平移到图13的位置，则立得两个三线八角的基本图形，∠1和∠3的同位角关系以及∠2和∠4的关联性也变得一目了然，问题顺利得到解决.
2.4实际问题数学化
新课程注重数学在实际生活中的应用，因此教材及近几年考试出现了大量以实际生活为背景的题目，解决这类问题的基本方法是把实际问题抽象成数学模型.
例3如图14，潜望镜中的两个镜子是互相平行放置的，光线经过镜子反射时，入射角等于反射角，则有∠1=∠2，∠3=∠4.请解释：为什么进入潜望镜的光线和离开潜望镜的光线是平行的？
由于实际问题情境的限制，虽然图14已经对平行镜面作了“放大”处理，但学生仍不易识别其中的三线八角.此时可以去除无关要素，放大有用信息，把此问题进一步抽象成几何图形，得到图15，这样原题就转化为：已知，如图15，a∥b，∠1=∠2，∠3=∠4，求证：c∥d.
关键词:几何教学思维能力训练 例谈
全日制义务教育《数学课程标准》指出:“义务教育阶段的数学课程,其基本出发点是促进学生全面持续、和谐地发展”,“使学生获得对数学理解的同时,在思维能力、情感态度与价值观等方面得到进步和发展。”在初中数学教育教学中,我们进行了一些有益的探索。本文结合《三角形内角和定理》一课的教学,谈一谈对学生进行思维能力训练的做法,以供读者参考。
《三角形内角和定理》是学生接触较早的定理之一,其内容和应用早已为学生所熟悉。因此,教学中要重点解决的问题是定理的证明,在定理的证明中,学生将首次接触和应用辅助线。于是在定理证明中“为什么要添加辅助线”和“如何添加辅助线”成为重中之重。通过“三角形内角和定理”的证明的具体教学实践,感受几何证明的思想,让学生体会辅助线在几何问题解决中的桥梁作用,感悟数学中数形结合的思想,训练学生的创新思维能力,成为几何教学中探索的重要内容。
一、在证明几何定理的实践中,引发调动学生思维的积极性
1.引导分析几何定理证明的必要性,启动学生思维
在讲授《三角形内角和定理》一课时,首先让学生通过剪裁、拼接的方法,将三角形的三个内角拼成一个角,并量得该角度数,得出三个内角的和为180度。然后引出定理证明的必要性:(1)测量会产生误差,通过观察、度量、猜测得到的结论不一定正确;(2)剪裁、拼接有限个三角形,还不足以说明所有三角形都有同样性质 ;(3)测量一些三角形内角和等于180度,可以作为数学发现的依据,但还不是数学证明,利用这种必要性,使学生产生疑虑,有疑虑,才能产生认知冲突,进而激发认知要求。
2.利用定理证明与发现的联系,激发学生思维
讲课时,先从学生已有生活经验入手,让学生体会生活中桥梁的重要性,同时引出搭建桥梁的注意事项,然后把生活中的桥梁向数学中的桥梁引申,借助剪裁、拼接三角形三个内角的过程分析,启发引导学生初步体会辅助线在几何证明中的桥梁作用。指导学生分析命题的条件和结论,条件相当于已知,结论相当于未知,指出已知和未知相当于河两岸,辅助线是连接两岸的桥梁。提问:“何处能提供180度”从而引发学生思维的发散和创新,学生容易想到“平角为180度”“平行线同旁内角和为180度”。然后教师引导学生分析:(1)如何添加辅助线(即如何架桥),明确添加辅助线的目的是将三角形三个内角向一个平角或互补的两个角转化。(2)在哪儿能添加辅助线(即在哪能架桥),教师组织学生剪裁、拼接三角形的三个内角,验证三角形内角和为180度,很容易得知:可以选择三角形的顶点、边上或三角形内部、甚至三角形外部。教师应注意分层次引导学生自己发现地点选择的多样性。学生不仅容易将三个内角移到一个顶点上,也能将三个内角移成平行线的一对同旁内角。此时,抓住了定理证明的实质,这两种思路都是利用平行线把分散的角相对集中起来,因而这两种思路可以相互转化,便把学生的思维引向了一个较高境界,引发了学生的自主探索。(3)辅助线有几种添法(可架几座桥),从地点上看可以有若干种,同时对平角或互补的选择又有所不同。(4)哪种最简捷(架哪座桥最省),让学生体会数学中最优化思想,培养学生学数学,用数学的意识。
二、在探求定理证明思路中开发学生的思维能力
1.遵循认知规律,深化学生思维
学生通过回忆对三角形的三个内角的剪裁、拼接,很容易得出图形.然后引导学生按图形补画线(辅助线),表现了学生会对直观模型进行抽象提炼,会对新图形进行严格的数学描述,学生的理性思维在实验变论证、感性变理性、直观变抽象的飞跃中得到了发展。教师指出,新补画的线为辅助线,即联系命题的已知和未知的桥梁。那么能不能通过只移一个内角得到三个内角和为180度,进而证明三角形内角和定理呢?得到从而引领学生掌握辅助线添加方法的多样性,深化学生思维。
2.多角度变换,激发学生思维
学生回顾剪裁、拼接三角形三个内角为一个平角的过程,成功地找出了定理证明的思路后,及时引导学生找出在三角形边上或三角形内部、外部添线的方法。继续探索引出利用两平行线同旁内角互补也可以证明,启发学生对比发现哪种方法最简捷,体会数学中的最优化思想,培养学生学数学、用数学的意识.
同学们经过比较得知,过C作CE平行AB,运用平行线内错角相等、同旁内角互补,证明三角内角和定理过程最简便;如果先延长BC,再过C作CE平行AB,运用平行线内错角相等、同位角相等及平角定义,证明三角形内角和定理,图形直观,思维简便。然后学生试写出完整的证明过程。经过多方面探讨,学生的发散思维能力得到了开发,学生探求定理证明的思路得到拓展,教学活动也达到了丰富多彩。
3.在民主的教学氛围中,鼓励学生创新思维
民主的教学作风,为学生提出问题,暴露思维过程提供了良好的教学氛围,在学生探索过程中,有的学生发现,作∠ACE=∠B证不出∠ECD=∠A,教师可引导学生从反面理解不成功的理由,是这样做得不到平行线。当学生提出作∠ACE=∠A再证∠ECD=∠B时需要∠ACD>∠A,(由于延长BC得到了∠ACD,默认了“外角大于不相邻的内角”)。引导学生探究:从图上看无论怎样做CE均在∠ACD内部,若CE在∠ACD外部,则CE必通过ABC内部与AB相交,这与CE平行AB矛盾。则CE一定平行于AB。进而得到∠A=∠ACE,∠B=∠BCE。这样添加辅助线这个难点在讨论探究中得到化解,一种富有创造性的思路在学生认识的不断修正和完善中产生,经过训练,创造性思维能力得到了有效培养。
参考文献:
《义务教育数学课程标准》教育部编 2001年北京师范大学出版社
例1 如图1所示，AA1∥BA2，求∠A1-∠B1+∠A2.
【分析】本题对∠A1、∠A2、∠B1的大小并没有给出特定的数值，因此，答案显然与所给的3个角的大小无关，也就是说，不管∠A1，∠A2，∠B1的大小如何，答案应是确定的.我们从直观图形入手，有理由猜想答案大概是0，即∠A1+∠A2=∠B1.要说明两角的和等于第三个角，通常可以通过添加辅助线把较大角分成两个较小角，首先使分出的一个角等于∠A1，这可以通过添加平行线实现，再说明余下的一个角等于∠A2即可.
【解答】如图1，过B1作B1E∥AA1，得∠1=∠A1. 又因为AA1∥BA2，所以B1E∥BA2，所以∠2=∠A2. 所以∠A1B1A2=∠1+∠2=∠A1+∠A2，即∠A1-∠A1B1A2+∠A2=0.
【点评】（1） 当已知与未知的转化不明显时，常常通过作辅助线的方法加以解决，过一点作已知直线的平行线是解决平行线问题时常用的作辅助线的方法；（2） 从上面的解题过程可以看出，这个问题的实质在于已知条件AA1∥BA2，A1B1、B1A2可以看作连接A1、A2之间的折线段，当连接A1、A2之间的折线段增加到4条时，如图2，仍然有结果∠A1+∠A2+∠A3=∠B1+∠B2（即各向右凸出的角的和=各向左凸出的角的和），即∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+∠A3=0.
进一步可推广为∠A1-∠B1+∠A2-∠B2+…-∠Bn-1+∠An=0，这时如图3，连接A1、An之间的折线段共有2（n-1）段A1B1，B1A2，…，Bn-1An（当然，仍要保持AA1∥BAn） .
【推广】有些简单的问题，如果抓住了问题的本质，那么，在本质不变的情况下，可以将问题推广到复杂的情况，这是一种提升自我思考能力的方法.
此题还可以进行如下变化：① AA1∥BA2这个条件不变，如果点B1向右移动到如图4的位置，那么∠A1、∠A2、∠B1之间又有怎样的关系呢？② AA1∥BA2这个条件不变，点B1向上移动到如图5的位置，那么∠A1、∠A2、∠B1之间又有怎样的关系呢？相信同学们可自行解答.
例2 在ABC中，高BD和CE所在直线相交于O点，若ABC不是直角三角形，且∠A=60°，求∠BOC的度数.
【分析】因三角形的高不一定在三角形内部，又ABC不是直角三角形，所以ABC的形状应分锐角三角形和钝角三角形两种情况讨论.
【解答】（1） 如图6，当ABC是锐角三角形时，高BD和CE所在直线相交于三角形内的O点，∠BOE=∠DOC=90°-（90°-∠A）=60°，所以∠BOC=180°-∠BOE=120°.
（2） 如图7，当ABC是钝角三角形时，高BD和CE所在直线相交于三角形外的O点，此时∠A与∠O分别是对顶角∠ACE与∠DCO的余角，由余角的性质可知，∠BOC=∠A=60°.
综上所述，∠BOC的度数是120°或60°.
【点评】（1） 解图形形状不唯一、几何图形位置关系不确定或与分类概念相关的问题时，常常用到分类讨论法；（2） 中线、高、角平分线是三角形中的三条重要线段，从它们所处的位置看，高与中线、角平分线不一样，中线、角平分线都交于三角形内一点，而高的位置随着三角形形状的变化而变化：锐角三角形三条高交于三角形内一点，直角三角形三条高交于直角顶点，钝角三角形三条高所在直线交于三角形外一点，今后研究三角形高的问题时都要注意符合题设条件的图形的多样性.
例3 如图8，将纸片ABC沿着DE折叠压平，则（ ）.
A. ∠A=∠1+∠2 B. ∠A=■（∠1+∠2）
C. ∠A=■（∠1+∠2） D. ∠A=■（∠1+∠2）
【分析】折叠中含有很丰富的相等的量，因此在折叠的动态变化中，寻找不变关系是解题的关键.在此题中，由三角形的内角和定理可知，不变关系是∠B+∠C=∠ADE+∠AED，在四边形BCED中，未知的量减少了，利用四边形的内角和是360°建立方程，就能够得到问题的答案.
【解答】由三角形内角和定理可知：∠A=180°-（∠ADE+∠AED），∠A=180°-（∠B+∠C），所以∠B+∠C=∠ADE+∠AED.
在四边形BCED中，（∠B+∠C）+（∠1+∠2）+（∠ADE+∠AED）=360°，所以（180°-∠A）+（∠1+∠2）+（180°-∠A）=360°，即∠A=■（∠1+∠2），故选B.
【点评】（1） 折叠类问题是近几年中考的热门考题，通常把某个图形按给定的条件折叠，通过折叠前后图形变换的相互关系来命题.折叠类问题立意新颖，变幻巧妙，能有效地培养同学们的识图能力及灵活运用数学知识解决问题的能力.（2） 此题是用代数法解几何计算问题，这种方法的基本思路是：引入未知数，运用图形性质建立方程或不等式，把问题转化为解方程或解不等式，因此这种方法也称为“方程思想”.如图9，把上题中的三角形纸片改成四边形纸片ABCD，你能否用上面的方法找到∠A、∠D与∠1、∠2的关系？请你动手试试看.
例4 已知ABC中，三边长a、b、c都是整数且满足a>b>c，a=10，那么满足条件的三角形共有多少个？
【分析】这是一道典型的几何类计数问题，如果一个个三角形去列举，不仅麻烦而且容易重复或遗漏，特别地，当a的取值很大时，列举根本不可能实现，因此解决此类问题通常需要分类讨论，为了不重复、不遗漏，还可以采用列表法.
解：由三角形的三边关系知b+c>a，因为b>c，a=10，可知b>5，又因为b
因此，满足条件的三角形共有1+3+5+7=16（个） .
让我们用两根食指比划比划每组中直线的位置关系。如果让你给这几种情况分类，你打算怎么分?先自己独立思考，再与小组同学交流交流，小组长做好记录和总结。以下是为大家整理的数学两条直线之间的关系教学案例资料，提供参考，希望对你有所帮助，欢迎你的阅读。
数学两条直线之间的关系教学案例一
两条笔直的铁轨，看成两条直线，把它们画在纸上，它们的位置关系如同等号。如果你也来画两条直线，还会有什么不同的位置关系呢?
学生画一画。
(二)、分一分，初步感知平行与垂直的特点
1、让我们用两根食指比划比划每组中直线的位置关系。如果让你给这几种情况分类，你打算怎么分?先自己独立思考，再与小组同学交流交流，小组长做好记录和总结。
2、、交流分类情况。
可能出现以下几种分法：
第一种：分两类——相交、不相交
第二种：分三类—— 相交、快要相交的，不相交
第三种：分四类—— 相交、快要相交的，不相交，相交成直角的。
(三)、归纳特点，探究规律
平行：
1、大家先来看第一类，这一类的两条直线的位置有什么特点，想象一下再画长点，会相交吗?
2、像这样的两条直线我们就叫平行线，谁能用自己的语言说一说，什么是平行线?
3、我们打开书56页，看看书中是怎么定义平行线的。(齐读)
4、在这个概念中，你想提醒同学们注意些什么?(“同一平面内”，“互相平行”)
5、引导学生正确表述两条直线互相平行。
6、介绍用符号表示平行线的方法。
7、出示课件：判断是否成平行关系。
8、再一次出示铁轨，你还能举出生活中平行的例子吗?
垂直：
1、下面我们再来看看第二类直线有哪些共同特点?(有交点，都成了四个角)能不能按照角的大小也把它们分分类?有的四个角都是直角，有的四个角不是直角)，你怎么知道他们相交后形成的角是直角呢?(三角板、量角器)，
2、谁知道像这样两条直线相交成直角是什么关系?
3、谁能用自己的语言说一说，什么是互相垂直?
4、我们打开书57页，看看书中是怎么定义互相垂直的。(齐读)
5、在这个概念中，你想提醒同学们注意些什么?(“相交成直角”，“互相垂直”)
6、引导学生正确表述两条直线互相垂直。
6、介绍用符号表示互相垂直的方法。
7、完成题卡：判断每组中两条直线的位置关系，并用符号表示出平行和垂直,写出读法。
8、生活中，很多时候平行和垂直都是同时存在的，把它们掺杂在下起，同学们能区分出来吗?
(四)、小结，梳理知识结构
刚才，同学们在画一画，分一分、说一说、找一找等探究活动中，知道了在同一个平面内的两条直线的位置关系可以分成两大类，相交和不相交。不相交的这一类叫做平行。相交的这一类按照是否成直角也可以分成两类，其中相交成直角的叫做垂直。生活中有了平行和垂直，我们的世界变得更加有序和美丽。
(五)、拓展练习，巩固知识
辨析题：1、两条不相交的直线叫平行线。
2、同一平面内的两条直线不平行就相交。
3、垂线和直角如同孪生兄弟，有垂线的地方就有直角。
4、如图 + 直线b叫垂线。
(六)、拓展提升
本节课，我们主要研究了同一个平面内两条直线平行和垂直的关系，如果再加入一条直线，你还能弄清它们之间的关系吗?
出示：如果两条直线都与第三条直线平行，那么，这两条直线之间是什么关系?
如果两条直线都与第三条直线垂直，那么，这两条直线之间是什么关系?
(七)联系生活实际，进一步提升平行与垂直的应用价值
出示图片：(铅锤测平行，水平仪定平行垂直，测量跳远成绩)
引导学生了解平行和垂直在生活中的应用，引发学生的深度思考，为下节课做渗透。
板书： 平行与垂直
不相交—平行 (∥ )( = )( )记作： a//b读作：a平行于b
同一平面内
相交—成直角—垂直( )(+)(⊥) 记作：a⊥b读作：a垂直于b
数学两条直线之间的关系教学案例二
知识与技能目标：
1、使学生初步理解垂直与平行是同一个平面内两条直线的两种特殊的位置关系。
2、学生结合生活情境，通过自主探究活动，初步认识平行线、垂线。
过程与方法目标：
学生在小组合作学习的过程中理解垂直与平行是同一平面内两条直线的两种特殊的位置关系，培养学生的空间观念及空间想象能力，合作探究能力。
情感、态度与价值观目标：
1、 通过讨论交流，使学生独立思考能力与合作精神得到和谐发展。
2、 学生在具体的情境中感受“垂直与平行”来源于生活，在知识形成过程中体验数学的价值。
【教学重点】
正确理解“同一个平面”“相交” “互相平行” “互相垂直” “平行线” “垂线”等概念，发展学生的空间想象能力。
【教学难点】
正确判断两条直线之间的位置关系(尤其是对看似不相交而实际上是相交现象的理解)和对“同一平面”的正确理解。
【教学用具】
白纸、尺子、三角板、水彩笔一支、小棒、多媒体
教学过程：
一、画图感知、研究两条直线在同一平面内的位置关系。
1、 今天这节课老师请来了一个老朋友，他是一条直线，那么直线有什么特点呢? (没有端点，可以向两边无限延伸)
师：直线就像孙悟空的…?
生：金箍棒。
2、想象活动(想象纸面上两条直线的位置关系)
师：老师和同学们都有同样的一张纸,现在请大家拿出来平放在桌上摸一摸这纸，然后谈谈你的发现。
生：这张纸很薄。
生：这张纸的表面是平平的。
师：也就是说我们手中的这张纸的面是一个平面。 (学生活动感知纸面是一个平面。)
师：同学们我们现在来想象一下，如果把这个面无限扩大，闭上眼睛想象一下，它是什么样子?
生：很大很大，越来越大。 (学生闭上眼睛想象)
师：如果在这个无限大的平面上，出现了一条直线，又出现一条直线，现在请你想一想这两条直线的位置关系是怎样的?会有哪几种不同的情况呢?(学生想象)
3、在纸上画出想象中的两条直线。 每个同学手中都有这样的白纸，现在咱们就把它当成一个无限大的平面，把你刚才的想法画下来。注意，一张白纸上只画一种情况。开始吧。(学生试画，教师巡视)
设计意图：通过学生的观察与想象，感知并感受无限大的平面。为下一步进行两条直线间位置关系的想象提供一个可操作的平台。想象平面上出现两条直线，不是让学生直接想象两条直线，而是一条一条的出现，有利于学生想象出更多的两条直线间的位置关系，培养学生空间想象力。一张纸上只画一种情况，目的提高学生分类时的可操作性。
二、观察分类，了解平行与垂直的特征。
(一)展示各种情况。
1、请你的同桌欣赏一下你的作品。
2、将你自己的作品展示给你所在的小组同学，并选出几张有代表性的作品(小组交流)。 师：哪个小组愿意上来把你们的想法展示给大家看看? (小组展示，将画好的图贴到黑板上)
师：仔细观察，你们画的跟他们一样吗?如果不一样，可以上来补充!(如果学生没有把所有的情况都想到教师给予补充) 教师给学生的作品进行编号。
师预设有以几种两条直线的位置关系：
设计意图：在学生自己确定了想法之后，再在小组中交流。充分利用学生自己的学习能力，然后选出有代表性的情况，展示在黑板上，其他小组观察后，补充不同的情况，这样学生的学习活动就经历了一个从个人到小组再到全班的逐层递进的过程。使在同一平面内两条直线间位置关系的各种情况，可能地通过学生的思考、想象、动手操作展现出来，为分类提供材料。
三、师生共同探究 揭示平行与垂直的概念
(一)揭示平行的概念
1、那剩下的这组直线相交了吗?(没有)想象一下，画长点，相交了吗?(没有)再长一点，相交了吗?(没有)无限长，会不会相交?(不会)(边提问边用课件演示)
2、那么，像这样在同一个平面内的两条直线画得再长再长也不会相交，你们知道这种在同一平面内永不相交的两条直线在数学上叫什么吗?我们就说这两条直线是平行线，这两条直线互相平行。(板书：互相平行)(学生试说不完整的概念)
3、小结： 象这样在同一平面内，永远不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。(课件出示，并让学生齐读概念)
4、你们知道为什么要加“互相”吗?(学生回答)
教师用谁是谁的同桌来说明平行线间的关系。 课件演示，老师强调：平行是两条直线之间的位置关系，可以说直线L1与L2互相平行，或者说L1平行于L2，L2也平行于L1。能不能说L1是平行线?
5、你觉得在这句话中，还应注意哪些词? 学生回答(同一平面、不相交)
师：“同一平面”是什么意思?(学生讨论)学生发言后师举例帮助学生理解，强调：判断两条直线是否是平行线时“在同一个平面内”和“不相交”这两个条件缺一不可。指出如果不在同一平面的情况，以教室的几个墙面为例。(假如在教室前面的墙面上画一条直线，然后在教室的侧面画一条直线，它们不相交但它们平行吗?)
6、辨析练习：课件出示，请学生判断并说出原因。
(二)、揭示垂直的概念
1、咱们再来看看两条直线相交的情况。你们发现了什么?(都形成了四个角)
2、你认为在这些相交的情况中哪种最特殊?(相交形成了四个直角)
3、两条直线相交成直角，而其他情况相交形成的都不是直角，有的是锐角，有的是钝角。
4、你是怎么知道他们相交后形成了四个直角呢?(学生验证：三角板、量角器)(板书：成直角)
5、你们知道在同一平面内，两条直线相交成直角，在数学上叫什么吗?(互相垂直)什么叫互相垂直?谁能用自己的话说说。(学生试说) 课件出示互相垂直的概念，让学生齐读。
6、强调其中一条直线叫做另一条直线的垂线，这两条直线的交点叫做垂足。
出示直线a1和a2互相垂直的情况，让学生说说它们之间的关系。 即：直线a1是a2的垂线，或者说a1垂直于a2， 也可以说a2是a1的垂线，或者说a2垂直于a1。
7、强调看两条直线是否互相垂直的关键是看它们相交所成的角是否直角，与两条直线放置的方向无关。
四、 练习巩固，深化垂直与平行的理解。
1、你能在运动场上找出平行或垂直的现象吗?(课件出示主题图)
2、生活中我们常常遇到垂直与平行的现象，你能举几个例子吗?(学生举例后教师适当添加学生没想到的例子。)
3、小结：通过刚才的学习，我们已经知道了同一平面内两条直线间有两种关系一种是相交，一种是不相交。同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行;如果两条直线相交成直角，那么这两条直线互相垂直。
4、揭示课题。(板书课题)
五、拓展延伸，发展空间观念。
下面咱们一起来做个游戏，(出示小棒)每根小棒代表一条直线。教师在电子白板上画图，学生用小棒在自己的课桌上摆放小棒。
(1)先摆一根3号的小棒，再摆一根1号小棒，使它与3号小棒平行。再摆一根2号小棒，使它也跟3号小棒平行。仔细观察1号和2号小棒，说说你们发现了什么?(互相平行)看看你摆的是不是互相平行?想象一下，有多少条直线跟3号小棒平行?
(2)先摆一根3号小棒，再摆一根1号小棒，使它与3号小棒垂直。再摆一根2号小棒，使它也跟3号小棒垂直。想象一下，有多少条直线跟3号小棒垂直?仔细观察1号和2号小棒，说说你们发现了什么?(互相平行)看看你摆的是不是互相平行?
六、 总结:
师：这节课你有什么收获?
学生谈自己的收获。结合学生所谈收获教师总结全课。
师：同学们你们都满载着收获，我们的生活离不开数学，数学能使我们生活变得更加有序，更加美好，让我们都做有心人吧!去感受数学的美，去感受生活的美。
七、 作业：
1、回家后继续寻找生活中垂直与平行的现象，讲给你的父母听，并说一说它们有什么作用?
2、动手折一折：(!)、用一张白纸折出两条互相垂直的折痕线。
(2)、用一张白纸折出两条互相平行的平行线。
八、板书设计
垂直与平行
不成直角
相交
同一平面内的两条直线 成直角 互相垂直
不相交 互相平行
数学两条直线之间的关系教学案例三
[教学目标]
1、引导学生通过观察、讨论、感知生活中的平行与垂直的现象。
2、帮助学生初步理解平行与垂直是同一平面内两条直线的两种特殊的位置关系，初步认识平行线和垂线。
3.培养学生的空间观念及空间想象能力，引导学生树立合作探究的学习意识。
[教学重点]
正确理解“互相平行”“互相垂直”等概念，发展学生的空间想象能力。
[教学难点]理解“平行与垂直”这两种关系的界定前提是“同一平面内”。
[教具、学具准备]
课件，水彩笔，尺子，三角板，长方形纸等。
[教学过程]
一、谈话导入。
师：同学们，今天老师请来了一位老朋友，你们想知道它是谁吗?(课件出示一条无限延长的直线)谁来介绍一下这位朋友?
师：直线就像孙悟空的…?
生：金箍棒。
二、探索体验，经历过程
(一)画图感知，确定研究对象。
过渡：今天我们继续研究有关直线的知识，就是两条直线在同一平面内的位置关系。
板书：两条直线
1、想象活动，想象纸面上两条直线的位置关系。
师：想一想，如果我们在这张长方形纸上画两条直线，这两条直线会有怎么样的位置关系呢?(学生想象)
2、动手操作。
(学生试画，教师巡视)
3、收集展示。
4、观察分类，了解平行与垂直的特征。
师：同学们的想象力可真丰富，画出这么多种情况。根据两条直线的位置关系你能给它们分分类吗?
5、汇报分类情况。
在分类过程中通过课件展示重点引导学生弄清看似两条直线不相交而事实上是相交的情况。(课件展示不相交的两条直线延长后的情况，完善分类标准。)
教师根据学生的分类板书：相交 不相交
(二)师生共同探究，揭示平行与垂直的概念
1、揭示互相平行的概念。
(1)通过交流揭示互相平行的概念。
在同一个平面内不相交的两条直线叫做平行线，也可以说这两条直线互相平行。(课件出示，并让学生齐读概念，互说概念)
(2)练习。(辨析练习：课件出示，请学生判断并说出原因。)
通过练习让学生理解“同一个平面”、“不相交”等的意思。
(3)小结
2、通过交流揭示互相垂直的概念
师：我们再来看看两条直线相交的情况。
(1)观察。两条直线相交成的四个角是什么角?
(2)汇报：两条直线有的相交成直角，有的是锐角，有的是钝角。
成锐角、钝角
板书：相交
成直角 垂直
(3)引出互相垂直的概念，你们知道在同一平面内，两条直线相交成直角，在数学上叫什么吗?(互相垂直)什么叫互相垂直?
(4)课件出示互相垂直的的概念。(齐读概念，互说概念)
(5)练习。(课件出示)
(6)自学互相平行、互相垂直的表示方法。
a与b互相平行，记作a∥b ，读作 a平行于b
a与b互相垂直，记作a⊥b ，读作 a垂直于b
(三)欣赏生活中的平行和垂直现象。
三、巩固练习
四、总结全课
五、作业
板书：
平行与垂直
不相交 互相平行
两条直线的位置关系 成锐角、钝角
(同一平面内 ) 相交
关键词：新课程；沟通；自主探究；合作学习
新课程标准中指出，数学教学是数学活动的教学，是师生之间、学生之间交往互动与共同发展的过程。课堂教学作为教师活动的主阵地，是学生学习科学文化知识的主渠道，也是学生获得知识与技能的主要途径。怎样才能较好地提高数学课堂教学质量?笔者根据多年的教学经验认为：关注学生的学习状况，激发学生的学习兴趣，增进师生之间和生生之间的良好沟通，让数学课堂焕发生命的活力，是提高数学课堂教学质量的关键所在。
一、创设问题情境。增进师生和生生之间的多向沟通
问题是数学的心脏，问题是思维的起点。创设有助于学生自主探索的问题情境，是学生课堂沟通探究的首要条件。教师要根据教学内容的特点，结合课堂教学实际，精心设计能激发学生的好奇心和求知欲的问题，使学生积极思维与探究。
例如，引入“探索三角形全等的条件(一)”时，教师设计问题情境：为了创建文明和谐的校园环境，学校决定在进行校园绿化时，在道路两旁增设两个全等的三角形草坪。施工单位已经完工，校方想验证这两个草坪是否符合要求，你认为该如何检验呢?谈谈你的想法。问题一提出，立刻引起了学生的讨论、猜测，使学生产生浓厚的兴趣，这就激起了学生已有的认知结构和当前研究课题的认知冲突，促使学生从不同角度探索解决问题的办法。
问题的创设可从实际生活中取材，数学来源于生活，又服务于生活，实际问题与学生生活密不可分，学生面对这些问题往往跃跃欲试，想学以致用；问题的创设也可以从趣味问题、数学家的故事、典故等引出，这样可加强对学生科学精神的培养，激励学生坚持真理，勇于创新；问题的创设还可从巩固旧知识上引发新问题，用知识的联系来启发思维，培养学生转化、类比等数学思想……问题的创设应注意从学生生活实际出发，与教学的内容紧密联系，并且还应有适当的难度，否则就不能激发学生沟通的兴趣。
二、营造动手实践、自主探究与合作交流的氛围。为学生沟通创造有利条件
新课程标准中指出数学教学活动必须建立在学生的认知发展水平和已有的知识经验基础之上。教师应激发学生的学习积极性，向学生提供充分从事数学活动的机会、技能、数学思想与方法，获得广泛的数学活动经验。而且事实上学生通过在做一做中探索发现规律并与同伴沟通交流，达到学习经验共享，长期坚持可以培养学生的合作意识与交流能力，在交流中锻炼自己，把思想表达清楚，并听懂、理解同伴的描述，提高表达能力和理解接受能力。
例如在七年级上册的第三章“字母能表示什么”中，先给出图形。
(1)按照图1所给的方式，搭1个正方形需要几根火柴棒?搭2个和3个正方形各需几根?
(2)搭10个这样的正方形需要多少根火柴棒?
(3)搭100个这样的正方形需要多少根火柴棒?你是怎样得到答案的?
(4)如果用x表示所搭正方形的个数，那么搭x个这样的正方形需要多少根火柴棒?
让学生通过动手搭正方形，通过亲身操作与思考找出正确答案，让每个学生都有成功的体验。同时，在经历探索正方形的个数与火柴棒的根数之间的规律的过程中，通过小组合作交流使学生运用自己的语言表达自己的方法，让学生体会探索一般规律的必要性，最终形成符号表达式，形成初步的符号感。在这一过程中，每个学生都有机会发表自己的观点和看法，无论这看法正确与否。其次在设计小组合作学习的步骤时，应由易到难，让不同层次的学生都有所思、有所得。
三、构建以学生为中心的数学课堂教学活动，让学生在沟通中发展
学生是课堂的主体，教师是数学学习活动的组织者、引导者和合作者。数学新课程提倡在课堂上生与生、师与生之间沟通互动、共同发展。教师的教学活动过程大致是：(1)精心设计教学过程，完善课程设计，积累教育素材，提高教育水平；(2)提供背景材料，引导、布置探索内容，参与讨论；(3)协调学生之间的交流；(4)完善评价体系和实施评价。学生应进行观察、实验、猜测、验证、推理与交流等数学活动。在这些过程中，数学教育从“文本教学”回归到“人本教育”，教师不再是真理的化身、绝对的权威，而是学生的朋友和伙伴，是智慧的指路人。教师主动走进学生的心灵，一方面要“尊重”、“保护”、“关爱”学生，另一方面又要“唤醒”、“激励”、“发展”学生。教师要像对待荷叶上的露珠一样，小心翼翼地保护学生幼小的心灵、智慧的火花。
在北师大版九年级上册“池塘里有多少条鱼”的教学中，教师引导学生进行模拟实验：
问题1：一个口袋里装有8颗黑棋，20颗白棋，任意摸出1颗，摸到黑棋的概率有多大?若任意摸出l0颗，你能推断这l0颗中可能有几颗黑棋吗?为什么?(教师演示后，学生顺利作答。)
问题2：一个装有若干围棋子的口袋里，只知道有8颗黑棋，那么有没有办法估计口袋里的白棋数?(关键条件：其中已知有8颗黑棋，其余均为白棋。学生分组讨论。)
师提示：根据规则，棋子不能全部摸出来数，也就是说，棋子可以摸一颗后放回，也可以摸一部分后放回(教师可以做一些动作演示)。
(由学生分组讨论，确定一名中心发言人交流。)
经过各组的讨论总共有三种方法：
生1：可以从口袋中每次任意摸出一颗棋子，记下颜色后放回，多摸几次后，以黑白次数比估计全体黑棋与全体白棋的数目比，从而推断口袋中的白棋数目。
生2：可以从口袋中每次任意摸出一把棋子，记下黑白数目比后放回，以黑棋或白棋出现的数目与总实验次数的比来估计全体黑棋或白棋与总棋子的数目比，从而推断口袋中的白棋数目。
生3：取8颗棋，称一下其重量，放回后，再称一下棋的总重量，根据其比例关系就可估计出白棋的数量。师：三个组的同学的回答都非常精彩，请大家思考一下，这三组同学分别用了什么样的思想方法来解决问题。
把学生的结论上升到理论高度，让学生知道方法正确与否必须有理论的支持。最后大家得出结论：生l组的方法是利用频率来估计概率的方法；而生2组是利用抽样，即通过抽取样本进行分析来估计全体的方法；生3组是对重量估计也属于抽样的方法，该方法在物理和化学实验中应用比较广泛，在摸棋子实验中可行，但换作其他重量不等的实物时，该方法有一定的局限性，不属于本节课研究的方法，但对学生能融会贯通各科知识要加以肯定。
师：为了鼓励他们，我们就用他们的名字命名这两种方案，分别称为“生1法”和“生2法”，大家说好不好?
生齐答：好。
师：那大家想不想分别用这两种方法试验试验?
生：(跃跃欲试)
师：那好。首先我们试试“生1法”(实验一)再试试“生2法”(实验-)
因此，要把学生作为课堂学习的主体，把理解学生的学习过程的基本规律作为教学策略的基础，把师生的和谐沟通作为引领和促进学生学习的基本过程，让学生在沟通中发展。
四、合理调控活动过程。让学生在沟通中提高
合理调控活动过程，对学生探究性学习至关重要。例如在教学北师大版数学七年级上“平行”一课时，教师在创设问题情景引入后引导学生讨论理解平行的定义，可以进行如下设计和课堂调控：
生：在同一个平面内永不相交的直线叫做平行线(其他学生补充)
师：“不相交的两条直线叫做平行线”，这一句话是否正确?(或者问：去掉“在同一平面内”是否可以?)引导学生思考，小组合作交流。
生：小组讨论，并回答，用两只笔演示直线既不相交也不平行的图形。
最后教师强调说明“在同一平面内”，因为在空间里存在既不平行也不相交的直线，同时强调平行线定义包含的三层含义：(1)“在同一平面内”是前提条件；(2)“不相交”就是说两条直线没有交点；
(3)平行线指的是“两条直线”而不是两条射线或两条线段。
教师板书：“平行线的定义：在同一平面内，不相交的两条直线叫做平行线。”
生：(体会记忆)
师：在空间里存在既不相交也不平行的两条直线——异面直线。
反馈调控预设：若反馈出学生对定义中“在同一平面内”的理解仍不够透彻，可使用多媒体直观展示正方体、立交桥等实物图形引导学生理解空间里既不相交也不平行的直线的存在方式。
师生总结：在同一平面内，两直线的位置关系是：相交或平行。
反馈调控预设：如有学生提出重合或垂直的位置关系，教师应及时指正。并举例说明在同一平面内，两直线重合应看作是一条直线；两直线垂直是两直线相交的特殊情况。:
教师的指导与调控指的是数学课堂上的师生互动。
关键词：一题多解 研究性学习 创新思维能力
美国心理学家吉尔福特说：“人的创造力主要依靠发散思维，它是创造思维的主要成分。”思维是智力的核心，思维能力的培养对学生当前的学习和未来的发展均有重要意义。而研究性学习活动正是解放学生思想，让他们在学习中研究、在活动中探索、在研究和探索中获得知识。因此，教师在数学教学中不仅要让学生获得新的知识，更重要的是如何利用数学的学科优势培养学生的创新思维能力。
现以一道初中数学几何题的教学谈谈研究性学习活动中应该如何培养学生的创新思维能力：
问题：如图（1），已知AD是ΔABC的中线，E是AD中点，CE的延长线交AB于F点，求AF∶AB的值。
分析：对于这类问题，一般是采用相似三角形法，得用三角形的相似比获得目标解。请同学们充分发挥想象力，应该如何构造相似三角形呢？
生1：（利用中点）过D点作AB的平行线。
生2：（利用中点）过D点作AC的平行线也可以证明。
教师：那么我们就请这两位同学上黑板书写证明过程好吗？
大家回答：好！
生1、生2写证明过程。
教师：利用中点D是不是只有以上两种证法了呢？
学生思考……
生3：延长AD至点G，使ED=GD，连接BG，如图所示，在ΔBGD和ΔCED中：
BD=CD
∠BDG=∠CDE
GD=ED
ΔBGD≌ΔCED；∠GBD=∠ECD；BG∥CE，即EF∥BG；AF∶AB=AE∶AG=1∶3。
教师：是不是还有其他的证明方法呢？
生4：过点E作BC的平行线交AB于点G也可以证明。
教师：请同学们思考生6的想法，看是不是能达到目的？
生5自动走上黑板书写道：
过E点作GE∥BC交AB于点G，如图所示，得ΔGEF∽ΔBCF。点E是AD中点，EG是ΔABD的中位线，即AG=BG；又AD是ΔABC的边BC上的中线，GE∶BC=GF∶BF=1∶4。设GF=x，则BF=4x；而BG=BF-GF=3x，AF=AG-FG=2x，AF∶AB=（2x+2x+x+3x）=1∶3。
生6：这个证明太过于复杂了，我还有比这个简单的证明。
教师：请生7说说你的证明方法。
生7：老师，我是这样想的，延长CF至点G，使EG=EC，连接AG，如图所示，在ΔDCE和ΔAGE中：
EA=ED
∠AEG=∠DECΔDCE≌ΔAGEAG=DC，∠AGE=∠DCE
EG=EC
AG∥BC。又AD是BC边上的中线，BD=CD=1/2 BC，AG=1/2BC；而ΔAGF∽ΔBCF，AF∶BF=AG∶BC=1∶2，AF∶AB=1∶3。
教师：同学们看，生7的证明是不是明显要比生6的证明简单些？（稍停片刻）是不是还有其他的证明方法呢？
……
教师：回顾本问题中的已知条件“点E是AD中点，AD是AB边上的中线”，你会否想到实际就是“AE∶DE=1∶1，AD∶DC=1∶1”呢？
当然，经过这样一点化，同学们都是容易理解的。教师紧接着引导：（1）如果把条件改为“AE∶DE=BD∶DC=1∶n（n是正实数）”，结果又什么样呢？（2）如果又把条件改为“AE∶DE=BD∶DC=m∶1（m是正实数）”呢？（3）如果把条件升级为“AE∶DE=BD∶DC=m∶n（m、n都是正实数）”，其结果又会怎么样呢？
