发布时间：2022-11-27 10:50:00
序言：写作是分享个人见解和探索未知领域的桥梁，我们为您精选了8篇的反比例函数的应用样本，期待这些样本能够为您提供丰富的参考和启发，请尽情阅读。
在八年级上册已经学过了一次函数的有关知识，学生对函数的概念也有过认识. 但由于函数的概念与数学上常见的一些概念和定义有比较大的区别，函数的概念还是不太容易被学生接受. 函数所体现的是量与量之间的关系，是一个比较抽象的概念. 因此在理解上会有些困难. 如果学生没有很好地理解函数的概念，那么函数的学习将会受到很大的阻碍. 在这个单元中，函数的概念的学习是一个重点. 函数的概念部分应该怎么样去教学才能让学生更容易理解呢？创设一定的情境是让学生理解和体会这个概念的有效方法. 如：
情境1：
（1）当路程一定时，速度与时间成什么关系？（s = vt）
（2）当一个长方形面积一定时，长与宽成什么关系？
[说明]这个情境是学生熟悉的例子，当中的关系式学生都列得出来，鼓励学生积极思考、讨论、合作、交流，最终让学生讨论出：当两个量的积是一个定值时，这两个量成反比例关系，如xy = m（m为一个定值），则x与y成反比例.
这一情境为后面学习反比例函数概念作铺垫.
情境2：
汽车从南京出发开往上海（全程约300 km），全程所用时间t（h）随速度v（km/h）的变化而变化.
问题：（1）你能用含有v的代数式表示t吗？（2）利用（1）的关系式完成下表：
（3）速度v是时间t的函数吗？为什么？
[说明]（1）引导学生观察、讨论路程、速度、时间这三个量之间的关系，得出关系式s = vt，指导学生用这个关系式的变式来完成问题（1）.
（2）引导学生观察、讨论，并运用（1）中的关系式填表，并观察变化的趋势，引导学生用语言描述.
（3）结合函数的概念，特别强调唯一性，引导讨论问题（3）.
情境3：
用函数关系式表示下列问题中两个变量之间的关系：
（1）一个面积为6400 m2的长方形的长a（m）随宽b（m）的变化而变化；
（2）某银行为资助某社会福利厂，提供了20万元的无息贷款，该厂的平均年还款额y（万元）随还款年限x（年）的变化而变化；
（3）游泳池的容积为5000 m3，向池内注水，注满水所需时间t（h）随注水速度v（m3/h）的变化而变化；
（4）实数m与n的积为-200，m随n的变化而变化.
通过以上几个情境的创设，对反比例函数的概念，学生们肯定也有了较深刻的理解. 掌握了反比例函数的概念之后，接下来学习的是用待定系数法求反比例函数的解析式，对于这部分内容，我认为求解析式偏重于方法，只要学生把方法掌握了，求解析式就变成了解方程的问题，在理解上并没有什么难处，求解析式这一块还算是反比例函数这章中相对容易掌握的一部分了.
二、反比例函数的图像及图像的性质
反比例函数的图像及图像的性质这一块的内容可以联系一次函数并将两种函数进行比较学习. 从复习一次函数的图像开始，通过回忆和比较有助于学生理解反比例函数的性质. 反比例函数的性质的理解和掌握可以通过探索的方式来让学生进行学习. 这阶段我主要是设计了如下的探索活动.
经过一系列的探索活动，学生对反比例函数的图像也能够理解和掌握. 反比例函数的图像性质如单调性这些内容在掌握了函数的图像之后就变得不难了，学会观察图像、并能把函数与图像联系起来，就能够很快理解函数的单调性. 在反比例函数的应用中，就是要学会综合运用反比例函数的解析式，函数的图像以及性质解决实际问题. 这一部分是对综合运用能力的考查，归根到底还是要对函数的图像以及性质有深刻的理解和掌握，才能从图形中挖掘出潜在的信息，或者是把文字描述转换到图像的表达上，对函数图像有深刻的理解才能很好地把知识运用到解决实际问题当中. 在学习反比例函数的过程中，一定要注意加强反比例函数与正比例函数的对比，把函数中蕴涵的重要数学思想作为本章的主要线索，加强学生对这种函数思想的理解和领悟.
【参考文献】
[1]雷晓宏.例说反比例函数的性质及应用[J].课程教育研究，2012（15）.
【关键词】 题组教学；例题；提高解题能力
“数学题组训练”是初中数学复习阶段中的知识综合应用阶段.所谓题组，就是在复习教学环节中把学习过的题目进行分类整理，精心设计具有系列化、程序化、有利于学生自学的题组，利用题组为学生创造最佳的学习情境，建立良好的认知结构，全面归纳解题方法，提高解题能力.本文结合选取反比例函数复习教学的典例对题组训练进行阐述.
一、运用题组教学，巧求反比例函数的k值
反比例函数是历年中考数学的一个重要考点章节，且多以大题的形式出现，常常结合三角形、四边形等相关知识综合考查.所以，应该引起广大学生的重视.反比例函数中k的几何意义也是其中很重要的知识，常在中考选择题、计算大题中进行考查.这类考题大多考点简单但方法灵活，目的在于考查学生的数学图形思维.本次专题目的在于让学生掌握反比例函数k几何意义这一知识要点，灵活利用这一知识点解决数学问题，并熟悉与反比例函数k几何意义的常见考查方式和解题思路.
例1 点A（-1，1）是反比例函数y=m+1[]x的图像上一点，则m的值为（ ）.
A.-1 B.-2 C.0 D.1
考点 反比例函数图像上点的坐标特征.
分析 把点A（-1，1）代入函数解析式，即可求得m=-2的值.
故选B.
点评 本题考查了反比例函数图像上点的坐标特征，经过函数的某点一定在函数的图像上.
例2 如图，O是坐标原点，菱形OABC的顶点A的坐标为（-3，4），顶点C在x轴的负半轴上，函数y=k[]x（x
A.-12B.-27C.-32D.-36
考点 菱形的性质；反比例函数图像上点的坐标特征.
分析 根据点C的坐标以及菱形的性质求出点B的坐标（-8，4），然后利用待定系数法求出k=-32即可.
故选C.
点评 本题考查了菱形的性质以及利用待定系数法求反比例函数解析式，解答本题的关键是根据菱形的性质求出点B的坐标.
二、运用题组教学，巧求反比例函数与一次函数的综合题
反比例函数是中考命题的主要考点，近几年中考试卷中出现了不少将反比例函数与其他函数、几何图形、方程（组）等综合编拟的解答题.其中，将反比例函数与其他函数综合命题是中考命题的新动向.
例1 如图，已知反比例函数y=m[]x的图像与一次函数y=ax+b的图像相交于点A（1，4）和点B（n，-2）.
（1）求反比例函数和一次函数的解析式；
（2）当一次函数的值小于反比例函数的值时，直接写出x的取值范围.
考点 反比例函数与一次函数的交点问题.
分析 （1）把A的坐标代入反比例函数的解析式，求出m=4，从而确定反比例函数的解析式，把B的坐标代入反比例函数解析式求出B的坐标（-2，-2），把A，B的坐标代入一次函数的解析式，即可求出a=2，b=2，从而确定一次函数的解析式y=2x+2；
（2）根据函数的图像即可得出一次函数的值小于反比例函数的值的x的取值范围：x
点评 本题考查了一次函数与反比例函数的交点问题，用待定系数法求一次函数和反比例函数的解析式及利用图像比较函数值的大小.解题的关键是：确定交点的坐标.
例2 如图，直线y=mx+n与双曲线y=k[]x相交于A（-1，2），B（2，b）两点，与y轴相交于点C.
（1）求m，n的值；
（2）若点D与点C关于x轴对称，求ABD的面积.
考点 反比例函数与一次函数的交点问题.
分析 （1）由题意，将A坐标代入一次函数与反比例函数解析式，即可求出m=-1与n=1；
（2）得出点C（0，1）和点D（0，-1）的坐标，根据三角形面积公式计算ABD的面积=1[]2×2×1+1[]2×2×2=3即可.
关键词： 课外知识； 数学课堂； 归纳教学
中图分类号： G424.21 文献标识码： A 文章编号：1009-8631（2010）07-0173-01
去年笔者有幸参加凯里“中小学校心里健康教育师资培训”研讨会，会上与会者对教育一词的解释是“教”――上所施，下所效，而“育”者养也，学生在学校学习是学而实习之，不亦说乎，天地相交产生万物是有规律可循的。作为教师来说，我们只有将方法教给我们的学生。然而，许多老师在课堂上，只是将课本知识进行解说和分析、归纳（事实上，课本中已将要点进行了归纳），而不重视课外知识。如果我们在教学中增加一些课外知识，那么，学生在学习或考试中，就会学、考轻松许多倍，特别是在考试中既节省时间又提高其准确率。
现就八年级第十七章反比例函数的“反比例函数上的点到两轴间的距离与两坐标轴所围成的图形”为例，探讨归纳教学。
1.归纳
例1，如图1，反比例函数y=（x＞0）的图像上任意一点A作x轴的垂线，垂点是C，连接OA，则AOC的面积是_______。
这道题是一道填空题，按常规，应该进行如下解题过程，设点A的坐标为（a,b）反例函数关系式知：ab=12，再由图像可知，AC＝b，OC＝a，所以，SAOC＝OC・AC=ab=×12=6。如果我们这样指引学生：B点是反比例函数y=y=（x＞0）的图像上一点，那么SBOD=_______。
由上面的A点可知：SBOD=OD・BD=xy=×12=6。由此可知，反比例函数图像上任意一点到坐标点的距离和到x轴（y轴）的距离与x轴（y轴）所围成的三角形面积是一定值，即三角形面积等于反比例函数的比例系数的绝对值的一半，进而可归纳为：
反比例函数图像上任意一点到坐标原点的距离和到x轴（或y轴）的距离与x轴（或y轴）所围成的三角形面积等于这个反比例函数的比例系数的绝对值的一半。
例2、如图2，点A是反比例函数的图像上任意一点，过点A，分别作x轴、y轴的垂线，垂足是B、C，则矩形ABOC的面积为_____。
我们可利用例1的归纳，连接OA，从而有S矩形ABOC=SAOB+SAOC=×3+×3=3。故有：反比例函数任意一点到两坐标轴的距离与两坐标轴所围成的矩形的面积等于反比例函数的比例系数的绝对值。
2. 应用
例3、如图3，点A（x1，y1），B（x2，y2）在反比例函数y=位于第一象限的分支上，AA1x于A1，BB1x于B1，记AOA1的面积为S1，BOB1的面积为S2，则S1______S2。（填“”或“=”）
由例1归纳，知S1=SAOA1=×2，S2=SBOB1=×2，故则S1=S2，从而应填“=”。
例4，如图4，正方形ABOC的边长为2，反比例函数y=过点A，则k的值是多少？
分析：因为正方形ABOC也是矩形，其面积等于22=4，由例2的归纳结果，可得k=S正方形ABOC=4。
因此，k=±4，再由于反比例函数图像在第二象限内，故k的值为-4。
1.情境链简洁些
梳理反比例函数应用的基本知识与技能，合理合情地创设学生熟悉的、源于生活的简洁情境，再将各个情境按照学生的认知结构编排成一条情境链。旨在通过情境链的辅佐达成课堂教学的“简中求道”――知识掌握简单些，技能训练简易些，数学思考自然些，问题解决顺畅些，课堂学习愉悦些……
2.知识掌握简单些
知识是学习的重要基础，因此应围绕核心知识进行设计，让陈述性知识的表述简洁些；让程序性知识的脉络清晰些；让知识间的联系自然些；让知识的再现容易些；让知识的保持长久些。
3.技能训练简易些
技能是学习的一个目标，因此应围绕基本技能进行教学设计，让知识学习的同时提高技能，由于本节课是反比例函数的应用，因此尽可能训练学生的“建模与用模”技能，同时由于八年级学生的抽象思维能力还很弱，因此尽可能训练学生的“由数思形，由形想数”的技能。
4.数学思考自然些
“数学思考”越来越引起专家和教师的重视，这是数学课程改革的必然结果。然而，由于八年级学生自身具有的“数学载体”“数学经验”有限，学生的数学思考可能会磕磕绊绊。但是教师可以设计出一些方案，让学生在磕磕绊绊地“数学思考”中学会数学反思，教师留一些时间，让学生反思，争取做到在习得知识的同时，通过反思觉得：数学味很浓，从数学角度看也“合情合理”，同时既有数学的逻辑成分，又有数学的直觉成分，从心底里觉得其比较自然，逐步步入到数学思考的轨道上。
5.问题解决顺畅些
问题解决是数学学习的主体，情境设置时，各个情境之间要有紧密联系，形成一组或几组问题串，解决前一个问题后，立即生成下一个问题，这就是我课上最常用的“源问题―解决问题―生成新问题―解决问题”问题循环教学模式，能确保问题间联系紧密，问题解决就顺畅些。
6.课堂学习愉悦些
关注学生的情感、态度、价值观是教育的理性回归，教学时设置学生身边的、熟悉的、源于生活的情境，这样学生在学习的过程中就会乐意参与，主动探索，在参与和探索中体验失败的艰辛、成功的喜悦。
【教学目标】
1.知识与技能：
（1）能将实际问题转化为数学中反比例函数的模型；
（2）能用反比例函数的图象与性质，分析和解决一些简单的实际问题。
2.过程与方法：
（1）在情境链的辅佐下，经历“实际问题―反比例函数模型―解决问题”的过程，提高建模和用模能力；
（2）在情境链的辅佐下，体悟反比例函数中的“数与形”“等与不等”等基本数学哲学雏形。
3.情感、态度、价值观：
（1）在解决身边的、有联系的实际问题的过程中，进一步体会反比例函数是刻画现实世界中数量关系的一种数学模型，感受生活中处处有数学，激发用数学的热情；
（2）体会情境的相互联系和转化，体悟到将复杂问题转化成简单熟悉问题是解决问题的基本方法和路径；
（3）随着问题解决的深入，发现数学可以解决身边的很多问题，逐步认识数学的价值，提高学习数学的兴趣。
【教学过程及设计意图】
一、情境引入
今天早上，我早早来到美丽的清江中学，站在校门口，发现同学们来学校的方式不尽相同，如步行、骑自行车和乘公交车，出于好奇也为了上好本节课，我打听来一些情况，下面请大家帮我解决一些问题。
【用比较随意的生活问题情境引入，可以营造一个宽松的氛围，有利于学生的思维自由放飞，快速进入数学思维空间，为逐步体悟“生活处处皆数学”打下伏笔。】
二、解决问题
问题一 上学路上
小省、小清和小中是你们的同学，三位同学距学校分别为2公里、4公里和6公里，他们分别步行、骑自行车和乘公交车来学校，如果他们同时到校，探索速度与时间的关系。
子问题1（小省步行）
（1）如果小省步行的速度是每分钟100米，小省上学路上要花多长时间？
（2）如果小省步行的速度是每分钟v米，小省上学路上要花多长时间？
【1.第（1）问实际上是小学中给定具体数据的“行程计算”问题，第（2）问实际上是一类数据中的行程问题，也可看成是一个公式，其本质是用字母表示数。
2.该问题的教学活动可以是：采用“师生问答”形式，但要注意充分利用情境。设想一下，如果本课采用提问形式复习行程问题公式：“v=”或“t=”，学生会感到枯燥无味。两问是反比例函数的基本问题，条件与结论简单明了，利于学生快速融入课堂；而该设计配上小省上学路上的动画，熟悉、生动的情境，学生倍感亲近、真切，学习兴趣就上来了。
3.总结归纳提升时，结合反比例函数的表达式，并画出反比例函数的图象，从“数”与“形”两个视角认识具体实际问题中的反比例函数，并从这两个视角归纳出（1）和（2）两问实际上是特殊与一般的关系。】
子问题2（小清骑自行车）
（3）小清骑自行车与小省同时来学校，求小清骑车的速度；
（4）如果小清某天上学的速度为每分钟v1米，放学回家的速度为每分钟v2米，小清上学和放学回家花费的时间之比是多少？
【1.第（3）问要利用第（1）问的结论，抓住“同时到校”这一条件；第（4）问实际上是两个反比例函数问题，列出关系式：v1t1=6000，v2t2=6000，进而得出=。
2.该问题的教学活动可以是：师生共同分析、解答和板书，规范学生的书面表达。有些学生探索第（3）问时，会有少条件的感觉，此时教师要做的是，留足时空，让学生认真审题，必要时可以合作交流，希望出现不同的呈现。第（4）问中，由于距离一定，有些学生会有这样的直觉：时间之比等于对应速度之比的倒数。这是很好的状态！实际上，确定问题解决的方向，体现在解决问题的各个环节，直觉能定下解题方向，而解题方向的确定是解答的第一步，这在教学中非常重要，所以，教学时可以先让学生进行不动笔的独立思考，做整体解题方向的谋划，经常在这一方向上尝试，学生容易找到解答思路。
3.总结归纳提升时，结合反比例函数及其图象，比较子问题1中的特殊与一般的关系，学生体悟到当特殊有序数对（点）动起来，一系列的特殊有序数对（点）就是一般情况的反比例函数（图象），这有助于整体理解反比例函数，也为高中学习函数和解析几何打下基础。】
子问题3（小中乘公交车，带出环境污染）
（5）小中等待公交车约3分钟，如果公交车速度为每分钟300米，小中来学校大约要多长时间？
（6）一次遇上雾霾天气，公交车的平均速度不超过每分钟100米，小中要在7：30之前到校，并要留足等车的时间至少为5分钟，问小中最迟在什么时刻就要到达候车点？
【1.第（1）问仍是问题1第（1）问的变式，第（2）问是前两小问题的综合，要求略高一些。
2.该问题的教学活动可以是：学生口头表述，教师适当板书，在理解问题1和2的基础上，总结解决两个问题的方法，自主探索解决“反比例函数应用”问题的通法，并力求通法的书面表达简洁、完整和规范。本题设计一些较接近真实的实际情境，有一些干扰的情境，因此应分清主次，抓住重点――反比例函数的应用，其他的只是一些简单的调整或补充。
3.总结归纳提升时，要结合前面4个问题，明确（5）（6）两个问题主要内容仍是反比例函数，只是适当改变次要的情境，从而说明“从问题的主要部分入手”是解决问题的常规方法。并提出环境问题已成为全社会关注的热点问题，从而带出问题二。】
问题二 环境整治
子问题1（环境治理）
污水处理厂计划新建一个长方体污水处理池。处理池的底面积S（m2）与其深度h（m）之间的函数关系如图。
（1）求处理池的体积，请写出S与h之间的函数关系式；
（2）由于绿化以及辅助用地的需要，经过实地测量，处理池的长和宽最多只能分别设计为40m和30m，那么处理池的深度至少达到多少时才能满足要求（保留两位小数）？
【1.第（1）问，以反比例函数的图象作为已知条件，待定解析式；第（2）问，给出长方体两个量的范围，求第三个量的范围。
2.该问题的教学活动可以是：让学生到讲台上结合图象，边演示边与其他学生交流，教师适当点评。第（1）问，是面对图象情境，培养学生读图、识图和用图能力；第（2）问，让学生建立等与不等之间的联系，逐步认识到等与不等是相对的，即它们既有联系，又有区别，逐步渗透辩证的数学哲学思想，并体验如何将复杂的问题转化成熟悉的问题的思维路径，这里比较陌生的“不等问题”就有两种转化的路径：借助函数的图象直观和运用熟悉函数的等式形式。
3.总结归纳提升时，从“数”与“形”两个方面分别归纳总结与提升，重点和学生一起体悟“面积S随高度h的增大而减少”的真实情境，同时顺便指出应有“防重于治”的理念，带出环保问题。】
子问题2（环境保护）
学校准备绿化校园，利用围墙的一个直角，（∠ABC=90°）围成一个面积为600m2的绿化带，由于场地限制，要求墙面AB的长不长于60m，且不短于35m。
（1）求墙面BC的长度范围；
（2）探索斜边AC的长是否可能为50米，说明理由。
【1.第（1）问利用反比例函数图象，结合图象直观求出BC的长度范围，也可以利用反比例函数的性质，确定墙面BC的长度范围；第（2）问利用反比例函数的两个变量之间的关系，设AB=x（x>0），则BC=，由勾股定理可得x=40或x=30，结合条件，可得AB=40m，BC=30m。
2.该问题比较开放，教学活动可以是：学生先自主探索，再合作交流。第（1）问条件中墙面AB的范围反映到图象上，其图象只是反比例函数图象的一部分，教学时从代数式和图象两个角度，领会范围的含义；由于第（2）问是探索型的问题，教学时，要腾出时空，让学生自己充分思考、探究和交流。
3.总结归纳提升时，结合上面的问题，归纳出反比例函数模型的特征：两个量的积为定值；结合问题二中的子问题1，重点体悟反比例函数中的等与不等的关系，进一步体悟“万事皆有联系”，从而产生环境综合防治的念头，进而带出问题三“调研报告”。】
问题三 调研报告
小省、小清和小中根据上述一些环境问题，作了大量的调查研究，完成了纸质的调查报告，字数为2400个。老师看了调查报告，觉得很好，就准备录入电脑，转邮淮安环保局。
（1）若老师边录边校对打字速度为每分钟60个字，则录完调查报告需多少时间？
（2）若老师先录再校，每分钟录入字数为120个，每分钟校对字数为80个，请问老师采用哪种方式完成较省时？
【1.第（1）问利用反比例函数；第（2）问两次应用反比例函数，再比较两种方法所需时间，进而比较两种方法的优劣。
2.该问题的教学活动可以是：课堂练习，用于学生独立探索和小结，同时获悉教学反馈信息。作为课堂结束，尽可能让学生回归到简单的、本质的数学问题中，因此问题不宜繁难，同时课堂上独立练习，有助于学生积极思考，从而形成个性化的思考，教师同时根据教学反馈布置作业和后续教学。
一、“反比例函数的图像和性质”的教学设计
复习引入:
问:反比例函数的解析式和定义域?
师:这节课,我们研究在直角坐标平面中反比例函数的图像和性质。
出示课题:18.3.2反比例函数的图像和性质(1)
(一)三个操作,确定观察实例
(2)描点
(3)连线
师:按照自变量从小到大,即按点从左到右,用光滑的曲线连接,并向两方伸展。所画图像向两方延伸,会不会与坐标轴相交?
小结:根据解析式,如果x所取值的绝对值越来越大,那么y的对应值的绝对值越来越小;而x所取值的绝对值越来越小(不为零),则y的对应值的绝对值越来越大。由此可知,图像向右或向左延伸,与x轴越来越靠近;图像向上或向下延伸,与y轴越来越靠近,但都不会与坐标轴相交。
操作2(师生同步画图)
类比操作1,画反比例函数 的图像。
(2)描点
(3)连线
师:对学生画图中出现的问题进行投影讲评,引导学生小结画反比例函数图像应注意的事项。
3.操作3(学生独立画图)
画反比例函数和 的图像。
(老师示范 自变量x的取值、描点)
(二)三次类比,分析本质属性
师:我们前面研究正比例函数是通过图像得到性质,这里我们同样通过函数图像来归纳反比例函数的性质。
问:正比例函数的图像是什么?那么反比例函数的图像是什么?(投影表格)
完成正反比例函数图像部分的填写
1.类比思考
问:正比例函数有哪些性质?
师:观察、比较上面四个函数的图像,类比正比例函数性质的研究,请各小组从“图像的位置分布、函数的增减性”几个方面讨论反比例函数有哪些性质。
讨论参考问题:
(1)函数的图像分别位于哪几个象限内?
(2)随着图像上的点的横坐标x逐渐增大,纵坐标y是怎样变化的?
(3)图像的每支都向两方无限延伸,它们可能与x轴、y轴相交吗?为什么?
2.类比归纳
反比例函数(k是常数,k)的性质:
(边归纳边完成表格)
分组讨论,修正性质
师:以函数为例,若在第一象限的分支上取两点,如a(1,6),b(3,2),可知自变量x的值逐渐增大,y的值随着逐渐减小;若在第三象限的分支上取两点,如c(-1,-6),d(-3,-2),可知自变量x的值逐渐增大,y的值随着逐渐减小。但如果,分别在第一、三象限各取一点,如a(1,6),d(-3,-2),是否符合这一增减性规律?
生:应该加上“在每个象限内”或“在对于每个分支而言”或“当x>0或x<0”时,等等。
3.类比小结
对照表格,谈谈正反比例函数图像和性质的异同点。
(三)三层练习,进行巩固运用
(1)比例系数k分别是多少?
(2)图像分别在哪些象限?
(3)图像在每个象限内,y的值随x的值的变化而怎样变化?
课堂小结
谈谈你学习的收获和体会
(学生没有提到的部分,老师通过引导直接讲解,帮助学生进行小结)
师:同学们回答的很好,这节课我们不仅学习了画反比例函数的图像,还研究了它的性质,更重要的是我们感受了学习知识的方法。上节课我们学习了反比例函数的概念,这节课我们学习了如何画反比例函数的图像,归纳得出了反比例函数的性质,下节课我们将运用这些性质来解决一些问题。
二、对数学概念课教学设计的几点思考
“反比例函数图像和性质”的内容教学,学生在前面已经学习了正比例函数的解析式、图像和性质,反比例函数的解析式。本节课的教学重难点有两个:一是会用描点法画反比例函数的图像;二是结合图像分析归纳反比例函数的基本性质,并掌握这些性质。
反比例函数的图像和性质较正比例函数而言,较难操作画图,比较抽象,不易理解。这堂课力求在学生已有知识结构的基础上,让学生在动手操作、性质比较、自主探究的过程中不断地发现新知识,从而促进学生对有关反比例函数图像和性质的知识构建。
(一)注重两种数学概念学习形式的有机结合
数学概念学习主要有两种形式:一是数学概念形成,二是数学概念同化。数学概念形成需要的是对物体或事件的直接经验,从这些物体或事件中抽象出它们的共同属性。而在数学概念同化的过程中,重点在于学生把新知识与头脑中已有的有关知识联系起来。但两者不是互相排斥的,在数学教学中可以把这两种数学概念学习形式有机的结合起来,常常能收到较好的效果。
本例中设计了三个操作、三次类比、三层练习,让学生经历了“观察操作实例——分析本质属性——修正本质属性——练习简单运用”等几个阶段,这里运用的是数学概念形成的学习形式。本例从具体的操作实例出发,对反比例函数从k>0和k<0的两种情况分类研究操作画图,归纳得出了反比例函数图像性质的“本质属性”,再通过具体实例函数 在第一象限的分支上的两点a(1,6),b(3,2)和第三象限的分支上的两点c(-1,-6),d(-3,-2),对性质进行检验与修正,最终概括得到反比例函数的性质。然而,在分析本质属性中,本课将正反比例函数的图像和性质进行三次类比,运用了数学概念同化的学习形式。使新概念与原有认知结构中有关观念建立联系,把新概念纳入到相应的概念体系中,同化新概念。
通过数学概念形成和数学概念同化两种学习形式的结合运用,学生对“反比例函数的图像和性质”既有感性认识又有理性认识,从具体到抽象,符合人的认识规律,提高了教学效率,使学生能够在较短的时间内正确理解数学概念所反映的事物的本质属性。
(二)注重数学思想方法的渗透
对数学而言,知识的发生过程,实际上也就是思想方法的发生过程。因此,概念的形成过程、结论的推导过程、方法的思考过程、问题的发现过程、规律的被揭示过程等都是向学生渗透数学思想方法的极好机会。
本例的一个重难点是“理解和掌握反比例函数的图像和性质”。在性质归纳中设计了“类比思考”、“类比归纳”、“类比小结”三个环节,对正反比例函数进行充分的类比,让学生更好的体会利用函数图像来研究函数性质的研究方法,降低学习难度,对反比例函数的图像和性质的掌握会更好。
另外,本课将反比例函数分成“k>0”和“k<0”两种情况进行研究,渗透了分类讨论的数学思想。在反比例函数增减性的讲解中,借助图像和具体的点和坐标,再从具体到抽象,充分运用数形结合的数学思想方法,帮助学生更好的理解性质中的难点。
数学的概念、性质和定理等知识都明显地写在教材中,是有“形”的,而基本的数学思想方法却隐含在知识的教学过程中,是无“形”的,并且不成体系散见于教材各章节中。在概念课的教学过程中,我们老师应注意把握好数学思想的渗透时机,寻找适合学生的认知发展水平的渗透方法。
(三)注重数学概念的过程教学
数学知识的发生、发展、形成和应用的过程,是课程目标内容,也是课程学习内容。在数学概念课教学中,要抓住数学概念的本质属性及其内部联系,结合学生的能力状况及知识水平,采用多种方式,组织学生参与概念的分析、概括、形成过程,变“成果教学”为“过程教学”。
例如在“反比例函数增减性”的教学中,不是直接给出“在每一象限内”这一前提,而是先由学生类比得出“k>0时,y的值随x的增大而减小;k<0时,y的值随x的增大而增大”这一不正确的结论。再给出具体的函数上的两点a(1,6),d(-3,-2),讨论是否符合这一增减性规律。最后,对得到的结论进行修正。
学生在这一讨论后,提出了不同的修正方案,有“对于每一个分支而言”、“对于每个象限”而言、“当x>0时”等。这一开放性的教学策略,为学生提供更多的机会和时间,让学生提问和质疑、尝试和探究、讨论和交流、归纳和总结,使课堂成为学生能动地、创造性的生成过程,避免了把数学概念绝对化,让学生形成“正确的答案可能不止一个”的认识。
总之,数学概念的教学,既是数学教学的重要环节,又是数学学习的核心,其根本任务是准确地揭示概念的内涵与外延,使学生思考问题、推理证明有所依据,能够创见性地解决问题。概念教学的效果如何,将直接影响学生对数学知识的理解、掌握和应用。因此,在概念教学中,教师要根据课程标准对概念教学的具体要求,创造性地使用教材,努力优化概念教学设计,把握概念教学过程,真正让学生在参与的过程中产生内心的体验和创造。
整理
参考文献:
[1]瑜文琪.要重视概念和知识的发展过程的教学.中学数学教学参考,2000.
[2]奚定华等.数学教学设计.华东师范大学出版社,2001.
本节课内容是《反比例函数》起始课，属于一节概念新授课，教材为苏教版《数学》八年级下册第11章反比例函数第一课时。本课教材从已有的小学知识“两个量的乘积一定，那么这两个量成反比例”出发，设问：成反比例的两个量之间的关系，怎么用函数表达式来描述？于是引出操作题：南京与上海相距约300km，一辆汽车从南京出发，以速度v（km/h）开往上海，全程所用时间t（h）。写出t、v的关系式，并填写下表：
随着速度的变化，全程所用时间发生怎样的变化？时间t是速度v的函数吗？
教材给出了一组对应关系，从对应关系的表达式找共同特征得出反比例函数的定义。
我在设计时考虑，既不能脱离教材，又要结合实际，因此对操作题进行改编作为课题情境导入。本节课是学生在学习了一次函数以及特例正比例函数后，又一次进入函数领域对函数再认识的过程，学生的学习既区别于一次函数，又建立在一次函数的学习基础之上，因此起始课对函数概念的回顾就很有必要，在教学方法上可以采取回忆得出一次函数的过程的方法。但是用什么样的方式让学生能回忆起函数的抽象概念并能总结出反比例函数的概念，是笔者在教学设计时遇到的最大困难。很显然教师直接给出定义并不合适，这样不能让学生真正体会反比例函数的意义。我认为，本节课的重点是进行抽象反比例函数的概念的教学，进而理解反比例函数的概念，难点同样是理解反比例函数的概念。
【初稿设计】
介于上述考虑，笔者首先给出教学设计初稿。
情境导入1：接到参赛通知，冯老师开车从苏州到南京，据了解走沪宁高速平均速度为100km/h，行驶的路程s（km）随时间t（h）的变化而变化。
问题1：此题中常量是什么？变量是什么？
问题2：变量s与时间t的关系式是什么？s是t的函数。（s=100t）
问题3：回忆什么是函数？
情境导入2：在出发前，冯老师去加油站把油加满，已知汽车的油箱为50升，路程中平均每千米耗油量为0.1升，油箱中剩余的油量y（升）随行驶里程x（公里）的变化而变化，y与x的函数关系式是什么？
情境导入3：从苏州到南京，汽车的里程表上显示一共行驶约200km，全程所用时间t（h）随平均速度v（km/h）的变化而变化，t与v的函数关系式是什么？
结合教材实例列出4个函数关系式。
思考：上述函数表达式中哪些是已学的函数，分别是什么函数？一般式是什么？
讨论：剩下的几个函数有什么共同特征？（此处安排学生讨论，教师总结学生讨论结果）
至此，得出课题反比例函数。在得出课题后与学生一起总结反比例函数的一般式以及完整定义。（中间略）在一些概念习题后讲解了待定系数法，并做相应练习，最后总结。
针对初稿设计，我试上了一节课，通过学生表现发现这样的设计存在很大的问题。
（1）由于没有任何铺垫，在给出“情境导入1”中的一个正比例函数s=100t就让学生回答什么是函数，学生基本一无所知，一来因为函数知识的学习已经过了一个学期，间隔较长。二来函数概念本来就过于抽象，与学生学情不符，此处耗时较长。
（2）讨论问题问学生剩下几个函数有什么共同特征？问题太大，没有针对性，学生不知道从哪个方面来回答，给出的答案与教师预设相去较远，远离了本课教学目标。教师解释也很困难。
（3）习题部分过多讨论了待定系数法，题目偏难，学生做起来很困难。导致最后重点偏离，难点没有突破。
【改进后的设计】
经过了并不成功的试上课后，听取了听课教师的意见，我又仔细阅读了教材，中间听了一节本校小学部六年级的《认识反比例关系》的随堂课，深受启发。小学教师更注重对学生提问的引导，将问题分得很细，很有针对性，一节课解决的问题不多，但是基本上学生在上完一节课后能对本课的重点有一个深刻的印象。同时也发现了中小学教材在衔接上存在一些不同步，导致学生进入初中在学习函数关系的时候已经对比例关系有所淡忘。因此我在重新设计的时候有了新的想法，将小学的比例关系融合到本课的概念的抽象部分，试图通过正反比例关系来认识正反比例函数，在改进后的备课中也更好地使用了教材上的表格操作题，对教学设计作了如下的修改。
情境导入：接到参赛通知，冯老师开车从苏州到南京，车的里程表上显示一共行驶约200km，全程所用时间t（h）随平均速度v（km/h）的变化而变化。
问题1：这里有几个量？常量是什么？变量是什么？
问题2：你能用含有v的代数式表示t吗？（t=）
问题3：利用问题2中的关系式补全下表中的t（表格中给出两个t的数值是为了不让学生在计算上浪费时间）。
问题4：随着平均速度v的增加，全程所用时间t 发生了怎样的变化？
问题5：给定变量v的值，t都有唯一确定的值与它对应吗？
问题6：时间t是速度v的函数吗?为什么？
问题7：时间t是速度v的一次函数吗？
通过一个情境和一组问题，复习函数概念，区别于设计初稿中由一个关系式直接问函数概念，此处把问题细化，每个问题学生都很容易回答，设置问题串的目的主要为问题6做铺垫，在问题中感受函数定义中的三个要素：两个变量；一种变化关系；对一个变量，另一个变量有唯一确定的值与之对应。
情境引入后，紧接着再给出4个生活实例要求学生列出函数关系式，其中两题承接情境引入形成一个完整的情境设计，分别列出一个一次函数和一个一次函数特例正比例函数。另两题均为反比例函数，一题是以图表形式呈现，避免函数表现形式过于单一，一题是利用书本例子，使得函数表达式中的k出现负值，而更完整。
通过5个函数表达式的展示，请学生找出已学过的函数，并写出一般式。然后观察剩下的三个表达式，请学生先从形式上找它们的共同点并结合已学过的函数的一般式总结这些新的函数的一般式。通过展示的一次函数和正比例函数的一般式学生更容易通过对比写出新的一般式。
接着留下正比例函数和新写的函数一般式，让学生回忆小学学过的两个量之间的比例关系，说出正比例函数中两个变量成什么比例关系，并且成这样的比例关系的两个量之间什么是一定的。通过填空的形式学生更易回答。紧接着问新的函数关系的两个变量什么是一定的，成什么比例。学生很容易回答上来。这样的设计既回顾了小学比例关系，又与本课密切相关，抽象解释出概念的过程，自然又有效。
在得出概念及符号表达式后，总结注意点，并结合式子变形，得出反比例函数的另外两个表现形式。然后给出例1：下列函数中，哪些是y关于x的反比例函数？如果是，比例系数k是多少？
（1）y= （2）y=- （3）y=1-x（4）y=-（5）y=（6）y=（7）y=3x-1（8）y=
此题设计中预计学生会在判断（2）的比例系数k上出现问题，另外可能会在（8）的判断中忘记k≠0的要求而判断错误。因此在讲解此题的时候可以考虑由学生独立完成，学生逐一回答，并建议学生在判断是否反比例函数的时候尽量往三个表达式的不同形式上靠，在学生出现错误的时候及时纠正。
训练可以让学生对反比例函数概念的判断、对函数表达式的几种不同形式有更深刻的印象。
在（8）出现错误时可引出：
如果函数y=为反比例函数，求函数的解析式。随后增加学生练习：当m取什么值时，函数y=（m+1）xm-2是反比例函数？
例2以教师讲解为主，板书规范书写格式。巩固练习让学生上黑板板书。之后设计4个简单的课堂反馈练习，目的是实时检测课堂效果。
在练习了较多数学题目后，重新回到生活中的数学，给出一个实例：要建造一个面积为260m2的三角形花坛，底边长是a（m），高度是h（m），h是a的反比例函数么？（此题的判断需要学生对列出的式子进行简单的变形变为反比例函数的一般形式来判断，从中希望能让学生再一次深化理解：当两个变量的乘积是一定不为零的常数时是反比例函数。）
实例后增加两个变形：1.如果花坛是一个等腰三角形，周长是300m，底边长为a（m），腰为b（m），那么a是b的反比例函数么？2.如果花坛是一个等边三角形，周长C（m）是边长a（m）的反比例函数么？通过反例进一步让学生学会判断一个函数是否是反比例函数。
然后可以让学生根据生活实例去编题，让同伴判断是否是反比例函数，既可以加深学生对反比例函数概念的理解，又可以在学生学到疲倦的时候再次活跃课堂气氛。
最后引导学生总结本节课所学内容，并留下课后思考题，做到将本节课的知识迁移到别的学科，注重学科之间的结合。我改进后的设计去掉了待定系数法，使得本课的目标更明确，放弃了难题的训练，更注重对于抽象概念的教学过程，舍得在抽象概念教学过程中花时间，让更多学生参与其中，避免了教师教的痕迹，设计问题更具针对性，注重启发学生思考。情境设计虽贴近生活实际，但密切联系数学问题，避免了学生回答脱离预设想法。
【课例呈现】
一、教学目标
1.理解反比例函数的概念。
2.能根据实际问题的条件确定反比例函数的表达式。
3.会判断一个给定的函数是否为反比例函数。
4.通过探索现实生活中数量间的反比例关系，体会认识反比例函数是刻画现实世界特定数量关系的一种数学模型，进一步深化理解函数的概念。
二、教学重点难点
重点是经过抽象反比例函数概念的教学过程，理解反比例函数的概念。
难点是领会反比例函数的意义，理解反比例函数的概念。
三、教学过程
（一）创设情境，激发热情
【问题1】师：接到参赛通知，冯老师开车从苏州到南京，路上遇到一些问题，正好与本课所学内容相关，同学们愿意帮助老师一起来解决这些问题么？
生（众）：愿意。
师：那就让我们一起开始一段短暂的旅行吧。
PPT显示引例：接到参赛通知，冯老师开车从苏州到南京，车的里程表上显示一共行驶约200km，全程所用时间t（h）随平均速度v（km/h）的变化而变化。
师：这里有几个量？常量是什么？变量是什么？
生1：3个，常量是200，变量是时间t和速度v。
师：你能用含有v的代数式表示t吗？
生2：t=。
师：非常好，那么请同学顺着这位同学的回答来帮老师填写完整下表。
学生完成，生3回答。
师：随着平均速度v的增加，全程所用时间t发生了怎样的变化？
生4：速度v变大，时间t变小（小学里对反比例关系的变量间的关系表述，这里没有刻意去研究k的符号问题，仅仅让学生有一种反比的感受）。
师：给定变量v的值，变量t都有唯一确定的值与它对应吗？
生（众）：是的。
师：时间t是速度v的函数吗？为什么？（特意在上个问题的引导下去问函数的抽象定义，为了使得学生体会一一对应的关系）
生5：是的，因为t是随着v的变化而变化的，并且它们之间是一一对应的关系。（学生虽然不能完整叙述定义，但是基本能说出几个要点。）
教师展示完整答案：因为在这个变化中，有两个变量v和t，给定变量v的值，变量t都有唯一确定的值与它对应，所以t是v的函数。
（因为有一组问题的引导，生5回答的时候答出了两个变量之间满足函数关系必须要有一一对应的关系。这也是函数概念中比较抽象、学生易忘记的地方。教师在学生回答完后展示完整答案并强调注意点是有必要的，视觉的感受会比听觉更直接更深刻。）
师：时间t是速度v的一次函数吗?
生6：不是，因为不符合一次函数的表达式。
师：很好，我们的现实生活中存在许许多多的变量，而函数是刻画变量之间关系的一种有效数学模型，下面请同学帮老师再来写写生活中不同的函数关系式。（此时并没有着急提问这是什么函数？而是另外给出一系列的生活场景，让学生进一步感受函数在生活中的意义。）
【问题2】用函数关系式表示下列问题中变量之间的关系。
（1）在出发之前，冯老师去加油站把油加满，已知汽车的油箱为50升，路程中平均每千米耗油量为0.1升，写出油箱中剩余的油量Q（升）与行驶路程x（千米）的函数关系式。
（2）油每升7.6元，实际加油费用y（元）随加油量x（升）的变化而变化，写出y与x的函数关系式。
（3）把一张百元人民币兑换成零钱，如果手边有10元、5元、20元等不同面值的零钱，兑换的张数y随面额x的变化而变化，写出y与x的函数关系式。
（4）实数m与n的积为-150，写出m与n的函数关系式。
（二）合作交流，探求新知
师：t=、y=7.6x、Q=50-0.1x、y=、m=中哪些是我们学过的函数？它们是什么函数？
生7：y=7.6x、Q=50-0.1x是我们学过的一次函数。
师追问：一次函数的表达式是什么？
生7：y=kx+b（k为常数，k≠0）。
师：y=7.6x还被称作什么函数？
生7：正比例函数。
师：正比例函数的一般式是什么呢？
生7：y=kx+b（k为常数，k≠0）。
师：很好，正比例函数是一次函数y=kx+b当b=0时的特殊形式。那么请同学们观察剩下的几个函数表达式，从形式上看有什么共同特征？可以与你的同伴讨论一下。
众生讨论，教师参与。（在给出了一次函数及特殊情况正比例函数的表达式后，让学生类比一次函数先从形式上来认识反比例函数）
生8：我认为剩下的几个函数从形式上看左边都是一个变量，右边都是一个分式。并且分式的分母是一个变量，分子是常数。
师：非常好，还有同学补充么？
生9：我认为等式左边是因变量，等式右边的字母是自变量，并且自变量在分母上，所以不能取0。
师：很好，那你能模仿一次函数还有正比例函数的表达式，给具有共同特征的函数写个一般式么？
生9：我认为一般式可以写成y=。
师：非常好，那么我们看看一次函数的k有什么要求，再看看这个函数里的k有什么要求？
生9：k是常数且k≠0。
师（PPT展示，板书修改完整表达式）：很好，在大家的帮助下，我们得到了新的函数的表达式，我们再一起仔细来看一下正比例函数和这个新函数的表达式，（此时PPT擦去y=kx+b，仅留下y=kx和y=的表达式以及相关的4个函数表达式），请同学们回忆小学学过的比例关系，想想看在这两个表达式中，两个变量都成什么比例关系？
学案呈现回忆小学学过的比例关系（学生一边接受教师的提问，一边对照学案的填空，回答更有针对性）
两个量的一定，这两个量成比例。
两个量的一定，这两个量成 比例。
生10：在正比例函数中，两个变量是成正比例的。
师追问：那么成正比例关系的两个量什么是一定的？
生10：这两个量的比值是一定的。
师：太棒了，这位同学对小学知识掌握得很好。那么再请一位同学说说看，符合y=函数特征的两个变量成什么比例关系？
生11：成反比例关系。
师追问：满足什么一定关系的两个变量成反比例关系？
生11：这两个变量的乘积是一定的。
师：很好，那么如果要你们给这些函数取个名称的话可以叫什么呢？
生（众）：反比例函数（到这里本课的概念部分全部引出，基本上是学生思考、讨论、探索自主得出。）
师板书课题《11.1反比例函数》，与学生一起填写完整反比例函数概念。
新授概念：形如的函数叫做函数，其中x是量，y是x的，k是。
【阶段小结】反比例函数的定义中，有两点要注意：
①k≠0，②x≠0（两个不为零）
利用所学知识，对于y=（k≠0）可变形为下列哪些形式。
①y=kx-1（k≠0）②xy=k（k≠0）③=k（k≠0）
【阶段小结】y是x的反比例函数的几种等价形式:
y=（k≠0）
一般形式
（三）例题讲解，理解概念
师：我们知道了什么是反比例函数，那么同学们能从下面这些函数中找出反比例函数么？
例1：下列函数中，哪些是y关于x的反比例函数？如果是，比例系数k是多少？
（1）y=（2）y=-（3）y=1-x（4）xy=-2
（5）y=-（6）y=（7）y=3x-1（8）y=
学生练习，教师巡视。请学生逐一回答。
生12：我认为（1）中y是x的反比例函数。
师：好的，请说出比例系数k。
生12：（1）中k=4，（2）也是，但是我不确定k是多少。
师：（2）中的k不太好找，不如我们从反比例函数的一般式来看，我们可以把（2）写成y=-×（板书）请你接着写写一般形式。
生12：y=
师：那此时你能看出k是多少么？
生12：k=-。
师：很好，当我们不能很容易看出k时，不如把函数写成反比例函数的一般形式再来找k。
生13：（4）（7）也是，k分别是-2和3。
师：好的，请问（4）（7）分别是反比例函数的哪种表达形式？
生13：xy=k（k≠0）和y=kx-1（k≠0）。
师：非常好，还有反比例函数么？
生13：我认为（8）也是，比例系数是a。（此时出现预设的错误，并且下面学生在窃窃私语。）
师：老师好像听到有不同意见，请有不同意见的同学来说说看。
生14：我认为（8）不是，因为没有强调k≠0。
师：非常好，这位同学考虑得很细致，的确，在判断的时候一定要注意比例系数k必须不为0。
（另外对学生不太理解的（7）也作适当的讲解。）
【阶段小结】我们在判断一个函数关系式是否是反比例函数的时候，可以尽可能地往三种不同表达形式上去靠，或者通过公式变形去靠近反比例函数的一般形式，这样更容易找出k的值。
例2：如果函数y=为反比例函数，求函数的解析式。
教师板书解题过程：
解：由题意得：2k+5=1
k+1≠0，解得：k=-2
k≠-1，k=-2。
反比例函数的解析式是y=。
【小结】做此类题目，把所有满足的条件都用式子表示出来，解出答案代入原式，不要误将这里的k当成比例系数k。
【巩固练习】当m取什么值时，函数y=（m+1）xm-2是反比例函数？（学生板书，答案正确，格式规范。）
（四）课堂反馈，实时检测
1.下列函数：①y=2x-1；②y=-；③y=x2+8x-2；④y=；⑤y=；⑥y=⑦x（y-1）=1中，y是x的反比例函数的有（填序号）。
2.y是x的反比例函数，比例系数k是-，则y与x的反比例函数关系式是 。
3.已知y=-3xm-7是正比例函数，则m=_______，若是反比例函数，则m=_______。
4.若函数y=（m-3）x是反比例函数，则m=。
（五）合作交流，数学应用
师：我们做了一些题目，巩固了反比例函数的概念，再来看看所学反比例函数在我们生活中的应用。
【问题】要建造一个面积为260m2的三角形花坛，底边长是a（m），高度是h（m），h是a的反比例函数么？（此处图略）
生解答：S=ah=260
ah=520
h=
因为符合反比例函数的一般形式，所以h是a的反比例函数。
师：很好，所以我们在判断两个变量是否是反比例函数时，有两种方法，一是看表达式，二是看两个变量的乘积是否是一个不为零的常数。再看看下面题目的两个变形。
1.如果花坛是一个等腰三角形，周长是300m，底边长为a（m），腰为b（m），那么a是b的反比例函数么？
2.如果花坛是一个等边三角形，周长C（m）是边长a （m）的反比例函数么？
师：你还能举出生活中反比例函数的例子吗？与同伴交流一下。
（六）反思总结，共同提高
1.引导学生说出反比例函数概念的注意点，并注重与生活实例的结合。
2.引导学生归纳知识、掌握类比正比例函数、总结研究函数的一般方式，为接下来的函数图像学习奠定基础。
（七）课后探索，知识迁移
背景知识讲解：杠杆原理
动力×动力臂=阻力×阻力臂
如图，阻力为1000N，阻力臂长为5cm。设动力为y（N），动力臂为x（cm）（图中杠杆本身所受重力略去不计。杠杆平衡时：动力×动力臂=阻力×阻力臂）。
（1）求y关于x的函数解析式。这个函数是反比例函数吗?如果是，请说出比例系数；
（2）求当x=50时函数y的值，并说明这个值的实际意义；
（3）利用y与x的解析式说明当动力臂长扩大到原来的n倍时，所需动力将怎样变化？请学生猜想一下。
想一想：如果动力臂缩小到原来的1/n时，动力将有怎样的变化。
【教学反思】
在整节的设计过程中，我通过多次反复磨课修改，发现整节课的难点在于对概念的生成，因为课堂教学是一个动态生成的过程，学生随时会有与施教者预定设计相背离的“意外”出现，因而整节课如何设计有效的问题很重要，施教者有必要引导学生不背离本节课的核心。问题是数学的心脏，是思维的起点，本课的设问主要从引导性问题、探究性问题、巩固性问题着手，力求遵循学生认知特点和学习规律，达成有效的学习目标。另外我认为在平时的教学中，教师不应仅仅关注本课的知识点，应该多了解、多联系学生情况，若能结合他们已有知识甚至小学的基础知识，或者更多地了解他们进入高中以后这部分知识所占的地位来备课，或许能对学生这门学科的生成性学习起到一个很好的推动作用。
本课没有在题目难度上为难学生，作为一节起始课，没有必要设置太难的题目，而是更多地让学生打开思维，用类比正比例函数的定义给出一般式的特征等方式来学习反比例函数，让学生能通过一节课学会某种数学思想和数学方法。学生经历主动探索的过程并从中收获知识是能增强他们学习数学的自信的。
关键词：新课程改革；初中数学教学；合作学习；应用研究
初中是义务教育向高等教育过渡的关键时期，而对于数学而言，不仅是一门逻辑科目，还是一门应用性科目，所以在教学过程中需要突出“学以致用”的理念。合作学习是由国外传入中国的一种科学的学习方法，即通过传统个体的摸索学习转变为整体的配合学习、探讨学习以及探索学习，在学习过程中体现团队的精神以及凝聚力，同时善于听取和采用他人的思想，并研究自身的个性思想，为学习提供基础。新课程背景下，合作学习在初中数学教学中的应用对于实施素质教育具有重要的意义。
一、当前初中数学合作学习开展面临的问题
1.学习自主性无法突出
当前的义务教育，学生学习的主动性普遍无法体现出来，究其原因，主要是学生受到长期应试教育思想的影响，对学习已经麻木，导致知识接受是被动且古板的，学习主动性不高。而对于合作学习来说，开展的基础是学生本身具有主动性，至少具有主动意识，所以主动性不突出也是目前初中数学教学合作学习开展首先需要克服的第一难题。
2.学习的目标性不明显
任何学习都需要具备一个明确的目标，而数学学习也不例外，对于合作学习方法下的数学学习而言，学习的目标存在一定的隐蔽性，特别是不同学生的学习目标存在差异性，从而导致学习目标不够明显，对于整个小组合作学习的效果也造成了不良的影响。很多教师则过于放任合作学习，让学生自由发展，从而导致学习过程成为一个形式化的过程，而且学习目标也十分不明显，这也是合作学习法推行需要克服的主要问题。
3.评估手段缺乏科学性
教学评估是任何教学活动必不可少的内容。虽然合作学习是一个探索主动学习的过程，但是依然需要教师的科学评估作为依据和指导，便于学生了解学习的效果。
二、新课改背景下初中数学合作学习的策略
1.转变课堂主体，体现学生主动学习的意识
对于教师而言，要想提升合作学习的效果，首先需要让学生自身具有主动学习的意识，这就需要转变课堂教学的主体了。即学生是课堂的主体，教师是课堂的主导者，教师需要完成学习任务的制定、素材收集以及讨论问题的汇总。例如，新人教版九年级教材所涉及的“反比例函数”的内容中，教师选择一堂课作为合作学习，首先教师需要任务，即像“了解什么是反比例函数”“反比例函数与正比例函数的区别是什么”“反比例函数的图形性质是怎样的”等等，然后学生可以在10分钟时间内完成多人一组的自由分组，进行合作学习，学生通过一段时间的资料查询、课本分析及小组讨论后，对于研究任务进行揭晓。又如，对于反比例函数的概念，学生可以通过书本很快找到，即两个变量相乘是一个常数，而这个常数不等于0，即可以称这两个变量互为反比例。然后是问题“反比例函数与正比例函数的区别是什么”，学生可以通过讨论进行分析和研究，一些学生认为区别可以从之前所学正比和反比的概念去区分，即假设一个变量变大，那么另外一个变量变大，则可以确定函数为正比例函数，而相反，一个变量变大，而另一个变量变小，则可以判定函数为反比例函数，而有些学生则通过函数图象进行判断，正比函数图象是一条倾斜的直线，而反比例函数图象则是两条不相交的曲线。最后是小组合作探索，小组学生画出两个函数图象，使个别学生受到启发，很快得出结论：正比例函数的图象可以与x轴、y轴有交点，而反比例函数图象不行，只能无限趋近于x轴和y轴，从而完整区分两者，而根据这一显著的区别，也能得出反比例函数的递增递减特性。
2.强化引导方法，体现数学学习的明确方向
采用合作学习方法，要求教师从课堂教学的主宰者转化为课堂教学的引导者。这不代表采用合作教学教师就可以完全放手，而是对教师的教学水平提出了更高的要求。学生对于学习主要内容缺乏认识，会让学习过程缺乏方向性，也存在一定的盲目性，这就需要教师适时进行教学干涉和引导。以“三角形内角和定理”教学为例，教学中从学生已有的知识结构出发，让学生回忆在小学阶段是如何得到“三角形的内角和是180°”的结论，并结合认识实际，让学生在剪一剪、拼一拼的动手操作中，再一次由“形”到“数”感受到上述结论的形成过程，利用学生在度量时可能得不到“三角形的内角和是180°”的现象，引起认知的困惑，教师进而顺势引导，让学生观察黑板上所拼的图形进行思考：我们已经用拼图的方法将三个角放在一起，能否通过作图的方法达到这一目的？给出一定时间让学生进行讨论交流共同探索，发现可以通过作平行线实现这一目标。教师在活动中巧妙地引入课题，让学生经历了定理的“猜想―验证”过程，又获得了初步的数学活动经验，培养了学生转化思想、分类讨论思想等良好的数学品质。所以，对于合作学习而言，教师的引导作用是合作学习能否取得成功的关键因素。
总之，数学本身就是一门应用性较强的科目，运用合作学习法具有一定的优势性。同时，合作学习过程中的自主意识培养以及思维能力形成都是传统教学中无法比拟的。合作学习要达到良好的教学效果，需要我们一线教师的不断努力，课前做足准备是前提条件，课中的因势利导、循循善诱是基础，课后的不断总结与大胆创新是保障。
参考文献：
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关键词：函数；图像；性质；核心；教学体会
中图分类号：G632 文献标识码：B 文章编号：1002-7661（2013）04-076-01
一、初中数学中函数概念的核心地位与概念的核心
函数是从数量关系的角度描述运动变化规律的数学概念，是从数学角度反映千变万化的世界的重要模型。
从数学科学本身看，函数概念的产生是数学发展的重要里程碑。初等数学与高等数学的重要分界是：前者基本上是常量数学，而后者则主要是变量数学，而变量数学的主要研究对象基本上都是以函数形式呈现的。
从数学教育角度看，函数无疑也是中学数学课程的一个核心概念。在学习函数概念之前，数学课程中基本是讨论静态的数学问题，教学中引入函数概念，不仅使讨论内容增加了运动变化的问题，而且提供了居高临下重新认识已学内容的观点，使得中学生头脑中的数学知识体系的得到扩大与提升；对基本初等函数的学习，使中学生的数学思维更为活跃；函数图象是使中学生体会数形结合的思想方法的典型范例。
二、对函数图象与性质知识的深层次理解
初中数学中，函数专题包含四部分内容.具体如下：
（1）函数的概念及图象：函数的概念，函数的表示方法，函数的定义域，函数的图象；
（2）一次函数：一次函数的解析式，一次函数的图象，一次函数的性质，直线与坐标轴的交点，一次函数与一次方程、不等式，实际问题与一次函数；
（3）反比例函数：反比例函数的解析式，反比例函数的图象，反比例函数的性质，实际问题与反比例函数；
（4）二次函数：二次函数的解析式，二次函数的图象，二次函数的性质，抛物线与坐标轴的交点，二次函数与二次方程、不等式，实际问题与二次函数。
函数的图象与性质贯穿着这个专题的每个内容，是每种函数都要着重研究的对象，通过对函数的图象与性质的研究，可以让学生更好的理解函数的概念，更好的应用函数解决相关问题。
三、学生常见的问题及解决的策略方法
（1）从函数图象中获取信息解决问题的困惑
函数图象中总是蕴含着很多的信息，学生的困惑是如何把实际问题与函数图象联系起来，学生总是不知如何提取重要信息，通过例题讲解，要让学生学会如何在函数图象中获取信息，并通过图象中的数据来求解 。在教学中让学生学会数形结合的方法、体会数形结合的思想是解决问题的关键。老师通过例题的讲解，让学生体会何时需要观察图象确定信息，何时需要使用解析式通过计算来进行定量分析。
（2）描述反比例函数单调性及应用问题的困惑
学生在描述和使用反比例函数的单调性的时候总是容易犯一个错误：忘记考虑所在象限.反比例函数并不是连续单调递增或递减的，而是具有局部的增减性，因此在描述反比例函数的单调性时，必须要强调在各自象限内。关于使用单调判断函数值的大小时，更应该注意自变量是否同号或异号。这一点应该让学生记住，并且通过例题让学生真正体会和理解。这些问题实际上是强调了反比例函数变化趋势的描述；比较两个函数值的大小，教学中教师要注意给学生分析清楚两个自变量是否在同一个增减区间内；交代明白比较大小时要注意自变量异号时应使用函数值的正负判断，让学生去体会函数值同号时应使用函数单调性来判断的技巧。
（3）通过函数图象确定解析式中系数关系问题的困惑
同一类函数的图象是类似的，例如一次函数的图象都是直线，反比例函数的图象都是双曲线，二次函数的图象都是抛物线。但是随着系数的变化，图象的形状也会有小幅变化.另外系数也影响着函数图象的形状和位置。在同一坐标系中两个函数图象的位置与形状、如何通过图象之间的关系来确定系数的大小关系是学生难以解决的问题，所以通过例题可以让学生理解。教师在讲解这一类问题时，要从不同的角度去思考。
（4）利用函数图象分析实际问题的困惑
实际问题、动态几何等问题中经常会有两个变量的函数关系.要学会通过问题确定函数图象，有些可以确定解析式，有些不容易确定解析式，但可以通过变量的变化趋势分析得到图象。已知问题中两个变量的函数图象，判断实际问题中的相关条件。所以教师在讲解过程中要引导学生如何从生活实际中提炼出有关数学问题，再用数学方法解决实际问题 。
四、教学体会小结